期末培优高频易错押题卷(试题)-2024-2025学年五年级上册数学人教版

2024-2025学年五年级上学期期末质量检测 姓名 班级___________ 座位号 ………………………装…………订…………线…………内…………不…………要…………答…………题……………………… 小学数学试题 考试时间：80分钟 测试内容：五上全册 温馨提醒： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、座位号等信息。 2．请将答案正确填写在试卷答题区。 一、选择题 1．一个油桶最多能装油4.5千克，要装300千克油，需要（    ）个这样的油桶。 A．7 B．66 C．67 2．要运7吨货物，每辆车可以装0.8吨，需要（ ）辆车． A．8.75 B．8 C．9 3．32.5×1.8=1.8×32.5运用了（ ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 4．买7个梨重2.1千克，买这样的梨10千克，约有（      ）。 A．30多个 B．50个以上 C．不到20个 5．图书角有a本故事书，文艺书的本数是故事书的1.2倍，1.2a－a表示（    ）。 A．文艺书的本数 B．文艺书比故事书多的本数 C．文艺书和故事书的总本数 6．下列各式中，（    ）不是方程。 A． B． C． 7．一筐番茄的质量是一篮土豆的5倍．如果土豆有x千克，那么番茄和土豆一共有（　　）千克． A．4红 B．5x C．6x 8．循环小数3.456456…的小数部分第2022位上的数字是（    ）。 A．4 B．5 C．6 二、填空题 9．小明坐在第6列第2位，他的位置用数对表示为( )，小红坐在小明的前面，小红的位置用数对表示为( )。 10．光年是计量天体距离的单位，1光年约9.5万亿千米。距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，合( )万亿千米。 11．0.368÷0.16可转化为( )÷16，得数是( )。63÷0.27可转化为( )÷27，得数保留一位小数是( )。 12．一个梯形，在它的同一侧给上底和下底都增加5cm，它增加的图形是( )；若梯形的高是7.5cm，那么梯形的面积增加了( )。 13．把一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原数多32.4，原数是( )。 14．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.2×0.9( )7.2                 1.04×3.57( )3.57×0.14 5.24( )5.24÷0.7                3.2÷0.01( )3.2×0.01 15．六年级（2）班广播操的队列，共有7列，每列7人。若甲同学是第3列从前面数第2人，可表示为（3，2），则乙同学是第7列倒数第3人，应表示为( )。 16．○、□、△各代表一个数，且满足○＋□＝43，□＋△＝57，○＋△＝48，则○＝( )，□＝( )，△＝( )。 17．三角形的面积是0.12平方分米，底是0.4分米，高是( )分米， 三、判断题 18．数对（4，2）表示的是第四行，第二列。  ( ) 19．一个正方体的六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一次，掷出的数字是“6”的可能性最大。( ) 20．比x大7.8的数是17.5，x的值是9.7。( ) 21．一个数的3.4倍一定大于这个数。( ) 22．9.3÷1.1的商是循环小数，保留两位小数是8.45。( ) 23．因为硬币有正、反两面，所以把一枚硬币连续掷20次，正面朝上的一定有10次．( ) 24．32.5×1.6与16×3.25的计算结果相同。( ) 四、计算题 25．直接写出得数。                                                                     26．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 15.2×0.39－0.39×5.2            0.125×32×2.5 0.5×2.17×0.2              1.6×99 27．解方程． 3x－12×6＝6　　　    　　　7x÷3＝8.19    　　　1.8x＋2.4x＝24.3－13.8 28．求下面各图形中阴影部分的面积。（单位：cm） （1） （2） 五、作图题 29．我是小小绘画师。 （1）只有红、黄两种颜色，指针指到红色区域的可能性大。 （2）只有黑白两种颜色，指针指到两种区域的可能性一样大。 六、解答题 30．我国有13个省总共33.4万平方千米的土地已经沙漠化，如果不采取措施，每年还会以0.12万平方千米的速度扩展． 31．为表彰期末考试成绩优秀学生，李老师到文具店购买若干本笔记本，她交给售货员100元，售货员找回2.5元给她。已知每本笔记本7.5元，李老师买了多少本笔记本？ 32．园林处在一条路的两侧每隔5米栽一棵树，共栽了88棵（只一端栽），这条路长多少米？ 33．张红买笔记本和笔共花了19元，笔记本买了4本，笔买了几支？ 34．学校有一块长方形的苗圃，长10米，宽8.6米．这块苗圃的面积是多少平方米？在苗圃四周围上篱笆，篱笆长多少米？ 35．小明家七月份用水12.4吨，八月份用水13.7吨，九月份用水11.6吨。如果每吨水的价格是2.8元，这三个月共付水费多少元？（得数保留一位小数） 36．为了节约能源，某居民楼全部改用节能灯，这样每户每天平均可节约用电1.28千瓦时，该楼内有30户居民，那么，九月份该楼用户一共可以节约用电多少千瓦时？ 37．兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭 只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？ 第 1 页 第 1 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 姓名 班级___________ 座位号 ……………………… 装 ………… 订 ………… 线 ………… 内 ………… 不 …………要………… 答 ………… 题 ……………………… )2024-2025学年五年级上学期期末质量检测 小学数学试题 考试时间：80分钟 测试内容：五上全册 温馨提醒： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、座位号等信息。 2．请将答案正确填写在试卷答题区。 一、选择题 1．一个油桶最多能装油4.5千克，要装300千克油，需要（    ）个这样的油桶。 A．7 B．66 C．67 2．要运7吨货物，每辆车可以装0.8吨，需要（ ）辆车． A．8.75 B．8 C．9 3．32.5×1.8=1.8×32.5运用了（ ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 4．买7个梨重2.1千克，买这样的梨10千克，约有（      ）。 A．30多个 B．50个以上 C．不到20个 5．图书角有a本故事书，文艺书的本数是故事书的1.2倍，1.2a－a表示（    ）。 A．文艺书的本数 B．文艺书比故事书多的本数 C．文艺书和故事书的总本数 6．下列各式中，（    ）不是方程。 A． B． C． 7．一筐番茄的质量是一篮土豆的5倍．如果土豆有x千克，那么番茄和土豆一共有（　　）千克． A．4红 B．5x C．6x 8．循环小数3.456456…的小数部分第2022位上的数字是（    ）。 A．4 B．5 C．6 二、填空题 9．小明坐在第6列第2位，他的位置用数对表示为( )，小红坐在小明的前面，小红的位置用数对表示为( )。 10．光年是计量天体距离的单位，1光年约9.5万亿千米。距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，合( )万亿千米。 11．0.368÷0.16可转化为( )÷16，得数是( )。63÷0.27可转化为( )÷27，得数保留一位小数是( )。 12．一个梯形，在它的同一侧给上底和下底都增加5cm，它增加的图形是( )；若梯形的高是7.5cm，那么梯形的面积增加了( )。 13．把一个小数的小数点向右移动一位，所得的数比原数多32.4，原数是( )。 14．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7.2×0.9( )7.2                 1.04×3.57( )3.57×0.14 5.24( )5.24÷0.7                3.2÷0.01( )3.2×0.01 15．六年级（2）班广播操的队列，共有7列，每列7人。若甲同学是第3列从前面数第2人，可表示为（3，2），则乙同学是第7列倒数第3人，应表示为( )。 16．○、□、△各代表一个数，且满足○＋□＝43，□＋△＝57，○＋△＝48，则○＝( )，□＝( )，△＝( )。 17．三角形的面积是0.12平方分米，底是0.4分米，高是( )分米， 三、判断题 18．数对（4，2）表示的是第四行，第二列。  ( ) 19．一个正方体的六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一次，掷出的数字是“6”的可能性最大。( ) 20．比x大7.8的数是17.5，x的值是9.7。( ) 21．一个数的3.4倍一定大于这个数。( ) 22．9.3÷1.1的商是循环小数，保留两位小数是8.45。( ) 23．因为硬币有正、反两面，所以把一枚硬币连续掷20次，正面朝上的一定有10次．( ) 24．32.5×1.6与16×3.25的计算结果相同。( ) 四、计算题 25．直接写出得数。                                                                     26．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 15.2×0.39－0.39×5.2            0.125×32×2.5 0.5×2.17×0.2              1.6×99 27．解方程． 3x－12×6＝6　　　    　　　7x÷3＝8.19    　　　1.8x＋2.4x＝24.3－13.8 28．求下面各图形中阴影部分的面积。（单位：cm） （1） （2） 五、作图题 29．我是小小绘画师。 （1）只有红、黄两种颜色，指针指到红色区域的可能性大。 （2）只有黑白两种颜色，指针指到两种区域的可能性一样大。 六、解答题 30．我国有13个省总共33.4万平方千米的土地已经沙漠化，如果不采取措施，每年还会以0.12万平方千米的速度扩展． 31．为表彰期末考试成绩优秀学生，李老师到文具店购买若干本笔记本，她交给售货员100元，售货员找回2.5元给她。已知每本笔记本7.5元，李老师买了多少本笔记本？ 32．园林处在一条路的两侧每隔5米栽一棵树，共栽了88棵（只一端栽），这条路长多少米？ 33．张红买笔记本和笔共花了19元，笔记本买了4本，笔买了几支？ 34．学校有一块长方形的苗圃，长10米，宽8.6米．这块苗圃的面积是多少平方米？在苗圃四周围上篱笆，篱笆长多少米？ 35．小明家七月份用水12.4吨，八月份用水13.7吨，九月份用水11.6吨。如果每吨水的价格是2.8元，这三个月共付水费多少元？（得数保留一位小数） 36．为了节约能源，某居民楼全部改用节能灯，这样每户每天平均可节约用电1.28千瓦时，该楼内有30户居民，那么，九月份该楼用户一共可以节约用电多少千瓦时？ 37．兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭 只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？ ( 第 1 页 ) ( 第 1 页 ) ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案： 1．C 【分析】已知一个油桶最多能装油4.5千克，求装300千克油需要多少个这样的油桶，就是求300里面有几个4.5，用除法计算，得数采用“进一法”保留整数。 【详解】300÷4.5≈67（个） 需要67个这样的油桶。 故答案为：C 2．C 【详解】试题分析：要求运7吨货物需要几辆车，根据题意，也就是求7里面有多少个0.8，根据除法的意义用除法解答即可． 解：7÷0.8≈9（辆） 答：需要9辆车． 故选C． 【点评】此题属于有余数的除法应用题，要注意联系生活实际，用进一法进行解答． 3．A 【详解】两个数相乘，交换因数的位置积不变，这叫做乘法交换律．据此解答． 4．A 【分析】买7个梨重2.1千克，用2.1千克除以梨的个数，求出平均每个梨大约重多少千克，再用10千克除以平均每个梨的重量，即可求出约有多少个梨。 【详解】2.1÷7＝0.3（千克） 10÷0.3≈33（个） 所以如果买这样的梨10千克，有30多个。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查了小数除法的意义的应用，要熟练掌握。 5．B 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，故事书本数×1.2＝文艺书本数，文艺书本数－故事书本数＝文艺书比故事书多的本数，据此分析。 【详解】图书角有a本故事书，文艺书的本数是故事书的1.2倍，1.2a 表示文艺书的本数，1.2a－a表示文艺书比故事书多的本数。 故答案为：B 【点睛】关键是理解字母可以表示任意数，可以用字母将数量关系表示出来。 6．B 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．，是等式，有未知数，是方程； B．，不是等式，所以不是方程； C． ，是等式，有未知数，是方程。 故答案为：B 【点睛】关键是理解方程的意义，方程一定是等式，但等式不一定是方程。 7．C 【详解】解：x×5+x＝6x（千克） 答：番茄和土豆一共有（6x）千克． 故选C． 8．C 【分析】循环小数3.456456…的循环节是456，每3个数字一循环，求小数部分第2022位上的数字，就是求2022里面有几个3，还余几，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环里的第几个数；如果没有余数，刚好整除，则说明小数部分第2022位上的数字刚好是6，据此解答。 【详解】2022÷3＝674 可以整除，没有余数， 说明循环小数3.456456…的小数部分第2022位上的数字是6。 故答案为：C 【点睛】本题考查周期问题，从循环小数中找到规律，再根据规律求解。 9． （6，2） （6，1） 【分析】数对中，第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此解答即可。小红坐在小明的前面，由第2位变成第1位，列数不变。 【详解】小明坐在第6列第2位，他的位置用数对表示为（6，2），小红坐在小明的前面，小红的位置用数对表示为（6，1）。 【点睛】明确数对表示位置的特点。 10．40.09 【分析】1光年约9.5万亿千米，距地球最近的一颗恒星约有4.22光年，根据乘法的意义可知，4.22万光年合4.22×9.5＝40.09万亿千米。 【详解】4.22×9.5＝40.09（万亿千米） 则合40.09万亿千米。 【点睛】完成本题要注意小数点位置的变化。 11． 36.8 2.3 6300 233.3 【分析】在计算除数是小数的除法时，根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算；得数保留一位小数要看小数点后面第二位，再根据“四舍五入”法取值即可。 【详解】0.368÷0.16可转化为36.8÷16，得数是2.3； 63÷0.27可转化为6300÷27，得数保留一位小数是233.3。 【点睛】熟练掌握小数除法的计算方法是解答本题的关键。 12． 平行四边形 37.5 【分析】若在梯形的同一侧上底下底都增加5 cm，则增加的是一个与原梯形等高的平行四边形，据此利用平行四边形的面积公式即可求出增加的面积。 【详解】梯形的上底和下底都增加5cm， 如下图所示， 增加的部分平行且相等， 故增加的图形是平行四边形， 平行四边形的面积为。 【点睛】解答此题的关键是明确增加部分是一个平行四边形，并得出平行四边形的底与高的值即可得解。 13．3.6 【分析】利用差倍公式“差÷（倍数－1）＝较小数”即可求得。 【详解】32.4÷（10－1） ＝32.4÷9 ＝3.6 【点睛】找出倍数之差是灵活运用差倍公式解答题目的关键。 14． ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】在小数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身； 在小数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。据此解答。 【详解】0.9＜1，所以7.2×0.9＜7.2； 1.04＞1，0.14＜1，可得1.04×3.57＞3.57，3.57＞3.57×0.14，所以1.04×3.57＞3.57×0.14； 0.7＜1，所以5.24＜5.24÷0.7； 0.01＜1，可得3.2÷0.01＞3.2，3.2＞3.2×0.01，所以3.2÷0.01＞3.2×0.01。 【点睛】此题的解题关键是掌握小数乘法和小数除法的计算法则。 15．（7，5） 【分析】第七列数对中第一个数用7表示，倒数第3人，就是正数第五人，所以用（7，5）表示。 【详解】第七列数对中第一个数用7表示，倒数第3人，就是正数第五人， 如下图： 故答案为：（7，5） 【点睛】此题主要考查数对与位置。 16． 17 26 31 【分析】根据题意先求出○＋□＋△的值，再利用○＋□＋△－（○＋□）求出△，同理求出□和○。 【详解】因为○＋□＝43，□＋△＝57，○＋△＝48，所以○＋□＋□＋△＋○＋△＝43＋57＋48，整理得○＋□＋△＝74。 ○＋□＋△－（○＋□） ＝74－43 ＝31 ○＋□＋△－（□＋△） ＝74－57 ＝17 ○＋□＋△－（○＋△） ＝74－48 ＝26 所以，则○＝17，□＝26，△＝31。 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 17．0.6 【分析】根据公式：三角形的面积＝底×高÷2，可求得：高＝三角形面积×2÷底，再结合题中的几个关键量，即可求解。 【详解】由分析可得： 0.12×2÷0.4 ＝0.24÷0.4 ＝0.6（分米） 所以高是0.6分米。 【点睛】此题熟练掌握三角形的面积公式即可解题，注意易错点要留意题中的单位是否统一，如果单位不相同要统一单位。 18．× 19．× 【分析】可能性的大小与数量的多少有关，哪个数字比较多则出现的可能性就大，反之就小；只要正方体六个面上有的数字，掷一次，每个面上的数字都有可能出现，据此分析。 【详解】一个正方体的六个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，掷一次，掷出的数字是“6”的可能性和掷出“1、2、3、4、5”的可能性一样大，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】可能性的大小与事件的基本条件和发展过程等许多因素有关。如果数字多，发生的可能性就大一些。 20．√ 【分析】根据题意可知，“x＋7.8＝17.5”，据此列方程解答即可。 【详解】x＋7.8＝17.5 解：x＋7.8－7.8＝17.5－7.8 x＝9.7 故答案为：√ 【点睛】明确题目中存在的数量关系是解答本题的关键。 21．× 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法进行计算即可。 【详解】由分析可知： 这个数可能是0，如0×3.4＝0，则结果等于这个数。故原题干说法错误。 【点睛】本题考查求一个数的几倍是多少，明确用乘法是解题的关键。 22．√ 【分析】列竖式计算除法，商保留两位小数，对商的小数部分的第三位上的数字四舍五入，取近似数，据此解答。 【详解】 小数部分45循环出现，所以商是循环小数；商的小数部分的第三位上的数字是4，舍去，商的近似数是8.45。 故答案为：√ 【点睛】本题考查循环小数的认识及小数除法商的近似数。 23．× 【分析】硬币只有正、反两面，一个硬币抛10次，正面朝上的可能性为，正面朝上可能为10次，由此判断。 【详解】硬币有两个面，发生的情况有两种：一个是正面朝上，一个是反面朝上，可能性都为，把一枚硬币连续挪20次，正面朝上的可能性为10次，这属于不确定事件中的可能性事件，而不是一定是10次。所以原题说法错误。 【点睛】此题考查事件的确定与不确定性，每次掷硬币正、反面朝上的可能性相同，因此具有不确定性。 24．√ 【分析】根据小数乘法的计算法则进行分析，按整数乘法先求出积，再看因数中一共有几位小数，积就有几位小数。 【详解】32.5×1.6与16×3.25，都是先按325×16求出积，因数中都一共有2位小数，积也都有2位小数，所以原题说法正确。 【点睛】关键是掌握小数乘法的计算法则，计算过程与整数乘法相同，主要是最后确定积的小数数位。 25．25；26；1.2；0.065 9；7.8；405；13.3 26．39；10 0.217；158.4 【分析】15.2×0.39－0.39×5.2，利用乘法分配律进行简算； 0.125×32×2.5，将32拆成8×4，利用乘法交换结合律进行简算； 0.5×2.17×0.2，利用乘法交换律进行简算； 1.6×99，将99拆成（100－1），利用乘法分配律进行简算。 【详解】15.2×0.39－0.39×5.2 ＝（15.2－5.2）×0.39 ＝10×0.39 ＝39 0.125×32×2.5 ＝0.125×（8×4）×2.5 ＝（0.125×8）×（4×2.5） ＝1×10 ＝10 0.5×2.17×0.2 ＝0.5×0.2×2.17 ＝0.1×2.17 ＝0.217 1.6×99 ＝1.6×（100－1） ＝1.6×100－1.6×1 ＝160－1.6 ＝158.4 27．x＝26； x＝3.51； x＝2.5 【详解】3x－12×6＝6 解：3x－72＝6 3x－72＋72＝6＋72 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 7x÷3＝8.19 解：7x÷3×3＝8.19×3 7x＝24.57 7x÷7＝24.57÷7 x＝3.51 1.8x＋2.4x＝24.3－13.8 解：4.2x＝10.5 4.2x÷4.2＝10.5÷4.2 x＝2.5 28．9平方厘米；2800平方厘米 【分析】（1）阴影部分是一个三角形直接利用三角形的面积公式即可求得； （2）阴影部分面积＝长方形面积－梯形的面积×2。 【详解】（1）（9－6）×6÷2 ＝3×6÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） （2）100×60－（60＋100）×20÷2×2 ＝100×60－160×20÷2×2 ＝6000－3200 ＝2800（平方厘米） 29．见详解 【分析】（1）只要红色区域比黄色区域多，指针指到红色区域的可能性就大； （2）黑白两种颜色同样多，指针指到两种区域的可能性一样大。 【详解】（1） （2） 画法不唯一 【点睛】可能性的大小与事件的基本条件和发展过程等许多因素有关。当条件对事件的发生有利时，发生的可能性就大一些。 30．34.6万平方千米． 【详解】试题分析：先用“0.12×10”计算出10年增加的沙漠化面积，然后加上原来沙漠化的面积（33.4）解答即可． 解：33.4+0.12×10， =33.4+1.2， =34.6（万平方千米）； 答：10年后可能性是34.6万平方千米． 【点评】解答此题的关键是：根据每年增长的荒漠化面积、年数和增长的荒漠化总面积之间的关系，进行解答即可． 31．13本 【分析】总价÷单价＝数量，交给售货员的钱数－找回的钱数＝笔记本总钱数，笔记本总钱数÷单价＝数量，据此列式解答。 【详解】（100－2.5）÷7.5 ＝97.5÷7.5 ＝13（本） 答：李老师买了13本笔记本。 【点睛】关键是理解单价、数量、总价之间的关系，掌握小数除法的计算方法。 32．220米 【分析】用总棵数÷2，先求出马路一侧树的棵数，一端载，棵数＝段数，用一侧的段数×间距即可。 【详解】88÷2×5＝220（米） 答：这条路长220米。 【点睛】注意要看清题目条件，例如马路有两侧，是只在一侧栽树还是两侧都栽树，把两侧都栽树的情况转化为一侧，考虑一侧的情况即可。 33．6支 【分析】根据“总价＝单价×数量”表示出购买笔记本花去的钱数，购买笔花去的钱数＝总钱数－购买笔记本花去的钱数，最后根据“数量＝总价÷单价”求出购买笔的数量，据此解答。 【详解】（19－2.5×4）÷1.5 ＝（19－10）÷1.5 ＝9÷1.5 ＝6（支） 答：笔买了6支。 【点睛】掌握单价、总价、数量之间的关系是解答题目的关键。 34．这块苗圃的面积是86平方米，在苗圃四周围上篱笆，篱笆37.2米 【详解】试题分析：长方形的面积S=ab，长方形的周长C=（a+b）×2，据此代入数据即可求解． 解：10×8.6=86（平方米）； （10+8.6）×2=37.2（米）； 答：这块苗圃的面积是86平方米，在苗圃四周围上篱笆，篱笆37.2米． 点评：此题主要考查长方形的周长和面积的计算方法在实际生活中的应用． 35．105.6元 【详解】（12.4+13.7+11.6）×2.8 ＝37.7×2.8 ＝105.56 ≈105.6（元） 答：这三个月共付水费105.6元。 36．1152千瓦时 【详解】1.28×30×30=1152（千瓦时） 37．兄原来养鸭320只，弟原来养鸭230只 【详解】解：设兄原来养鸭x只，则弟原来养鸭只． （只） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$