3.3抛物线 单元测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3抛物线章节检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2．已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设，，联立整理得， 则，解得且， ，， 所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 3．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 4．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 5．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 6．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 7．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长AB，设AB交直线与点， 由抛物线定义可知，， 所以的周长为, 又因为，所以， 所以的周长的取值范围是. 故选：D. 8．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】依题意，设，过点的切线， 联立得， 令，解得，故得， 同理可得， 记交于点交于点交于点，联立､的方程解得， 同理可得，则． 另外直线，化简得：; 直线,化简得：．    如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则 过点垂直于轴的直线交直线于点，解得， 因为， 所以，即切线围成的三角形的面积为． 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（   ） A． B．若为的中线，则 C．存在直线使得 D．对于任意直线1，都有 【答案】AD 【详解】由题意，, 设，不妨令，都在第一象限， 联立，则，且，即，则， 则直线的斜率为，因此， 当轴时，此时,此时直线的斜率为， 要使与抛物线有两个交点，则，故，A正确， 所以，，则，如图所示， 对于B：若为的中线，则，结合可得，所以，故，进而，则，故B错误； 对于C：若，过作准线的垂线，垂足为，即，即为等腰直角三角形， 此时，即,，所以， 所以，所以，所以，则此时，为同一点，不合题设，故C错误； 对于D,，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确． 故选：AD． 10．已知点，直线与轴交于点B，Q是直线上的动点，曲线上的动点满足，直线过点且与曲线交于， (、在的两侧)两点，则下列结论正确的是(    ). A．曲线的方程为 B．若，则 C． D．若，则为线段的中点 【答案】ABD 【详解】选项A：由题知，即点到直线的距离，， ，由抛物线的定义知，曲线为以为焦点、直线为准线的抛物线， 曲线的方程为，故A正确. 选项B：设，，易知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，代入并整理得， ，解得或， ，，， 由抛物线的定义知，，，，由题知，同号， 不妨设，都为正，则，，， 又，，，， ， ，同理可得，，故B正确. 选项C：由抛物线的定义及知，， ，，故C错误. 选项D：，，， ，为线段的中点，故D正确. 故选：ABD. 11．造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．点的横坐标的取值范围是 C．面积的最大值为2 D．若点的坐标为，则 【答案】ACD 【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：， 当时，曲线的方程为， 对于A：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：整理可得：，则， 可得，解得，故B错误； 对于C：，令，则， 所以， 所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D：若， 则 ， 其与矛盾， 故不成立，故，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为 ． 【答案】 【详解】由题意设直线的方程为，，，， 焦点为， 直线的倾斜角为，，直线的倾斜角为，， 是的角平分线，则，即， 所以，即， 由得，，， ，， 又，，，， 代入得． ， 由得 ，， 由得，， 所以，化简得， 解得（舍去负值）， 所以直线的方程为，即， 故答案为：． 13．已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题设，可设，联立抛物线得，， 若且，则，，故， 由抛物线定义知，，， 由，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.    故答案为： 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为.    16.（本小题15分） 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)， (2). 【详解】（1）抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. （2）由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 17.（本小题15分） 设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    18.（本小题17分） 已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 19.（本小题17分） 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【详解】（1）设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； （2）由题意，可设直线，则， （i）设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3抛物线章节检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 6．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，点F是抛物线的焦点，点A，B分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（   ） A． B．若为的中线，则 C．存在直线使得 D．对于任意直线1，都有 10．已知点，直线与轴交于点B，Q是直线上的动点，曲线上的动点满足，直线过点且与曲线交于， (、在的两侧)两点，则下列结论正确的是(    ). A．曲线的方程为 B．若，则 C． D．若，则为线段的中点 11．造型为“”的曲线称为双纽线，在平面直角坐标系xOy中，与定点距离之积等于的动点的轨迹为双纽线．记时的双纽线为曲线，点是曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为4 B．点的横坐标的取值范围是 C．面积的最大值为2 D．若点的坐标为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线l在第一象限与C交于A，B两点，且为的平分线，则直线l的方程为 ． 13．已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 14．过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 16.（本小题15分） 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并求的值； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 17.（本小题15分） 设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 18.（本小题17分） 已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 19.（本小题17分） 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$