精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷（五四学制）

杨浦区2024学年度第一学期初三期中质量调研 数学学科试卷 2024.11 （测试时间：90分钟，满分：100分） 考生注意： 1、本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知，，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形，一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 3. 已知在中，，，那么下列关系式正确是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（ ） A B. C. D. 5. 已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知在中，点G是中线上一点，且，点D、E分别在边上，经过点G，那么下列结论中，错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果点E与点C重合，那么 C. 的和是一个定值 D. 的和是一个定值 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：________． 8 计算：___________ 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，，，那么线段_________． 10. 如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长比是_________． 11. 已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________ 12. 如图，已知，，如果，那么_________． 13. 已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是_________ 14. 如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 15. 如图，已知点P在等边三角形的边的延长线上，，射线与的延长线交于点Q，如果，，那么_________． 16. 如图，在中，，连接，如果，，那么________． 17. 为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是__________米． 18. 如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么______． 三、解答题：（本大题共7题，满分46分） 19. 如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． （1）求长； （2）设，用向量、表示向量，即______． 20. 如图，在中，，，，求的长． 21. 如图，与相交于点，将、、的面积分别记为、、，当时，试探究、、有怎样的等量关系，并说明理由． 22. 在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． （1）请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） （2）直接写出线段与线段之比的比值． 23. 已知：如图，在中，，点D在边的延长线上，点E在线段上，． （1）求证：； （2）如果，连接，求证：． 24. 如图，在锐角中，是高，，点E是中点． （1）求的正切值； （2）点F在线段的延长线上，且，连接，如果，求的值． 25. 如图1，已知梯形，，，． （1）当，时，求梯形的面积； （2）作的垂直平分线交射线于点E，交于点F． ①如图2，当点E与点B重合时，求的余弦值； ②当经过的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦区2024学年度第一学期初三期中质量调研 数学学科试卷 2024.11 （测试时间：90分钟，满分：100分） 考生注意： 1、本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知，，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 2. 下列图形，一定相似的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析． 【详解】解：A、两个等边三角形的三个角对应相等均为，故一定相似，符合题意； B、两个等腰三角形的顶角不一定相等，不一定相似，不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，不一定相似，不符合题意； D、两个菱形的角不一定对应相等，不一定相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 3. 已知在中，，，那么下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等知识点，牢记余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 故选：． 4. 已知向量与非零向量方向相同，且其长度为长度的3倍；向量与方向相反，且其长度为长度的6倍，那么下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键． 根据向量的方向和模的关系可得，从而可得，即可求出结论． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 故选：B． 5. 已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 6. 如图，已知在中，点G是中线上一点，且，点D、E分别在边上，经过点G，那么下列结论中，错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果点E与点C重合，那么 C. 的和是一个定值 D. 的和是一个定值 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中线、梯形中位线等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可判断A；作交的延长线于点F，由，得，，结合可判断B；把变形得，作作交的延长线于点F，作交的延长线于点M，证明，得，，然后证明是梯形的中位线，结合可判断C；由排除法可判断D． 【详解】解：A．∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即该选项正确，符合题意； B．如图，作交的延长线于点F， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即该选项正确； C． ． 作作交的延长线于点F，作交的延长线于点M， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是梯形， ∵是中线， ∴是梯形的中位线， ∴． ∵， ∴， ， ∴为定值，故该选项正确； D．∵A，B，C正确，由排除法可知的和是一个定值不正确，符合题意． 故选D． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，先求出特殊角的三角函数值，再计算加法即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 8 计算：___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的运算．直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 已知线段c是线段a、b的比例中项，，，那么线段_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段的比例中项，根据线段比例中项定义得到是解答的关键．根据线段的比例中项定义求解即可． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又，， ∴． 故答案为：． 10. 如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的周长比是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是， 这两个相似三角形的周长比是， 故答案：． 11. 已知在中，点D是边的中点，，，那么的长是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键．证明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图， ∵点D是边的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：． 12. 如图，已知，，如果，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 13. 已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与x轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，正方形内接于，点D、E分别在边上，点G、F在边上，如果，，那么的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点，先通过等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据正方形的性质确定平行线，继而确定，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算． 【详解】解：过点A作交于点 ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，已知点P在等边三角形的边的延长线上，，射线与的延长线交于点Q，如果，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键．通过等边三角形的性质结合外角证明即可求解． 【详解】解：如图， ∵等边三角形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，连接，如果，，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质和判定得到，是解决本题的关键． 作于F，作于，设，则，证明，得，再解方程即可． 【详解】解：作于F，作于， 设，则， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， （舍）， 故答案为． 17. 为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，先证明，得出，再分别证明和得出，，将数值代入，进行计算，即可作答．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 设为米，则， 解得：， 设米，米， ，， ∴， ∴ 同理得， ∴ 可得，， 整理得：， 解得：， 米． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质等知识，根据三角形的面积公式与，可求出，根据翻折与已知可得出，根据角平分线性质定理和三角形面积公式可求出，设，则，，在中，根据勾股定理求出即可求解，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图， 设到的距离为， 则， 由翻折的性质可知，， ∵在同一直线上， ∴， ∴点到、的距离相等，设此距离为， 则， 设，则，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，满分46分） 19. 如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． （1）求的长； （2）设，用向量、表示向量，即______． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）运用，，证明，再把，代入，进行计算，即可作答． （2）求出，，再利用三角形法则求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点，，． ∴ 则 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ∵，， ，， 是的中点， ， ∴， 则． 故答案为：． 20. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，可得，再进一步求解即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 如图，与相交于点，将、、的面积分别记为、、，当时，试探究、、有怎样的等量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式可得，，由可证得，进而可得，于是得证． 【详解】解：，理由如下： 点到、的距离相等， ， 点到、的距离相等， ， ， ， ， ， ． 22. 在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． （1）请画出所有符合要求四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） （2）直接写出线段与线段之比的比值． 【答案】（1）见解析； （2）或． 【解析】 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【小问1详解】 解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； 【小问2详解】 解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 23. 已知：如图，在中，，点D在边的延长线上，点E在线段上，． （1）求证：； （2）如果，连接，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角性质，得结合等边对等角，得，，故，因为，所以证明； （2）因为，所以，结合，则，，因为是的中点，所以，故，证明，则，由等边对等角以及三角形内角和得出，整理得，即可作答． 【小问1详解】 解：在中， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接，取的中点，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角性质和内角和，等边对等角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 如图，在锐角中，是高，，点E是的中点． （1）求的正切值； （2）点F在线段的延长线上，且，连接，如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切定义可得，设，则，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据正切定义得出，在中，根据勾股定理求出，，进而求出，然后根据正切定义求解即可； （2）过F作于H，根据等腰三角形的性质可得出，， ，根据余角的性质可得出，则，证明，得出，根据三角形外角性质可得出，由（1）中可知，可求出，证明，则，得出，在中，根据勾股定理求出，，则，，在中根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：过D作于F， ∵，是高，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过F作于H， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正切的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 25. 如图1，已知梯形，，，． （1）当，时，求梯形面积； （2）作的垂直平分线交射线于点E，交于点F． ①如图2，当点E与点B重合时，求的余弦值； ②当经过的中点时，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，过点D作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，解直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据梯形面积公式求出结果即可； （2）①连接，过点D作，交于点G，证明四边形为菱形，得出，证明，设，则，，证明，得出，求出或（舍去），得出根据三角函数定义求出结果即可； ②连接，，证明，得出，证明，得出，证明，得出四边形为平行四边形，说明，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，过点D作，交于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； ②连接，，如图所示： 根据①可知：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $