精品解析：浙江省重点中学九校联考2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024学年第一学期九校联考期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2x=5y， ∴． 故选B． 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据顶点式直接写出顶点坐标，即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象的顶点坐标是． 故选：A． 3. 抛物线经过点，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点代入可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将点代入，得， 解得， 故选：A． 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键． 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性即可得到函数图象的对称轴． 【详解】解：， 令，则或， 函数图象与x轴的交点坐标为，， 函数图象的对称轴为直线， 故选：D． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题． 【详解】解：由题知， 抛物线的开口向上，且对称轴是直线， 所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小． 又， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性判断函数值的大小是解本题的关键． 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸 A. 20 B. 23 C. 26 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DP垂直AB得到点P为AB的中点，由AB=6可求出AP的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OP，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径． 【详解】解：连接OA， ∵AB⊥CD，且AB=10寸， ∴AP=BP=5寸， 设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x， ∵CP=1， ∴OP=x-1， 在直角三角形AOP中，根据勾股定理得： x2-（x-1）2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25， 即2x=26， ∴CD=26（寸）． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键． 9. 已知函数，若则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，无最大值 C. 当时，有最小值 D. 当时，有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图： 由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 10. 已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，平方差公式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据，可得，又由于，，都是大于1的数，可得，，，进而得出，，，可得：，再根据完全平方公式可得，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，，都是大于1的数， ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每空2分，共14分． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 12. 已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质．熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，增减性，是解决问题的关键． 根据抛物线的开口向上，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而增大，根据和，得到． 【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 13. 的半径长为5，弦，则弦的弦心距为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先过点O作于点D，由垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，点O作于点D， 则， ∵圆的半径是5，即， ∴在中，． 故答案为：4． 14. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质求得，再根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，E为内一点，满足且．若，，则弦的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 延长交于M，延长交于N，先由圆周角定理的推论证明，再证明四边形是平行四边形，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴证明四边形是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴， ∵为圆心，半径为2， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为；． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知x：y＝2：3，求： （1）的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 【答案】（1）-2；（2）x＝6，y＝9 【解析】 【分析】（1）结合题意，设x＝2k，y＝3k，代入代数式计算，即可得到答案； （2）由（1）得x＝2k，y＝3k，结合x+y＝15，可计算得k的值，从而得到答案． 【详解】（1）由x：y＝2：3，设x＝2k，y＝3k 2； （2）由（1）可知，x＝2k，y＝3k ∵x+y＝15 ∴2k+3k＝15 ∴k＝3 ∴x＝6，y＝9． 【点睛】本题考查了比例、一元一次方程、分式的知识；解题的关键是熟练掌握成比例线段、一元一次方程和分式的性质，从而完成求解． 18. 甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式计算即可求解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及乙同学选中C号球拍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：甲先从中随机选取1个，则甲同学未选中A球拍的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴． 19. 如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 【答案】（1）；（2）6 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点的坐标代入求出的值，即可得解； （2）令，解方程得出点，坐标，再用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， 或， ，； ， ． 【点睛】本题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，解本题的关键是求出抛物线解析式，是一道比较简单的中考常考题． 20. 如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为． （1）求截面中弦的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，根据题意画出图形是解答此题的关键． （1）作交于，连结，由点是圆心，，可得， 从而得出，再由勾股定理得出，最后求得的长； （2）连结，由，，可得出，从而得出，最后求出有水部分弓形的面积． 【小问1详解】 如图，作交于，连结， 是圆心，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，连结， ，， ， ， ． 21. 某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元． （1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元 （2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式． （3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价． 【答案】（1）； （2） （3）与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）由“若销售单价每涨元，每周销量就减少件”知，按每件元销售，每周销量为（件），由利润销售数量（售价成本）可得答案； （2）直接根据“如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件”即可求解； （3）利用“利润销售数量（售价成本）”可得关于的二次函数，于是利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若按每件元销售，每周销量为（件）， 毛利润为（元）． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得，， 一周销售量件与元的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ， 当时，毛利润有最大值，最大值为， 与的函数关系式为，一周毛利润的最大值为元，此时的销售单价为元． 22. 如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 四边形是菱形，理由如下： ，， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据圆周角定理推出，进而结合题意推出，从而由等腰三角形的性质得到； （2）根据平行线的性质得出，进而推出，结合题意和全等三角形的性质得到四边形是平行四边形，再根据推出，从而得到四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 【答案】（1） 证明：∵弦， ，， ∴． ， ． （2） （3） 证明：连结EC， ，都是所对的圆周角， ． ， ． 又，， ． ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角． （1）根据弦可得，，由弧、弦的关系可得结论； （2）由为直径得，再根据圆周角定理可得结论； 、 （3）连结EC，得，，证明，进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接如图， 为直径， ． ， ． ． 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的周长； （3）若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 是直径， ， ∴， ， ， ∴， 点为弧得中点， ， ， ． （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）连接，易得，，则，，根据点为弧得中点，得出，进而得出，即可求证； （2）根据勾股定理得出，用等面积法求出，再根据勾股定理可得出，，则，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴在中，， ∵， ∴， 解得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴在中，， ， 的周长． 【小问3详解】 解：①当时， ， ②当时， 与重合，过点F作于点H，连接, ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴，则， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴； ③当时，连接，连接交于点G， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴，， 根据勾股定理可得：，， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形和求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九校联考期中教学质量检测 九年级数学试题卷 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间120分钟． 2.答题前，在答题纸上写上姓名和准考证号 3.须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明 4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 抛物线经过点，则a的值是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中有一个经典的“圆材埋壁”问题： “今有圆材埋壁中，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? "意思是： 如图，CD是⊙O的直径， 弦 AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，则直径CD的长是 （ ）寸 A. 20 B. 23 C. 26 D. 30 9. 已知函数，若则下列说法正确的是（ ） A. 当时，有最小值 B. 当时，无最大值 C. 当时，有最小值 D. 当时，有最大值 10. 已知，且，，都是大于1的数，若满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每空2分，共14分． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 12. 已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是______． 13. 的半径长为5，弦，则弦的弦心距为______． 14. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则_______________． 15. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，E为内一点，满足且．若，，则弦的长为________． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知x：y＝2：3，求： （1）的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 18. 甲、乙两位同学相约打乒乓球，有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C，D)． （1）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，求甲同学未选中A球拍的概率； （2）若甲先从中随机选取1个乒乓球拍，乙再从余下的乒乓球拍中随机选取1个，求乙选中C球拍的概率； 19. 如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）求△BCD的面积． 20. 如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为，截面中有水部分弓形的高为． （1）求截面中弦的长； （2）求截面中有水部分弓形的面积． 21. 某商场销售成本为每件元的商品据市场调查分析，如果按每件元销售，一周能卖出件；若销售单价每涨元，每周销量就减少件设销售单价为元． （1）若按每件元销售，每周销量为______件；毛利润为______元 （2）求出一周销售量（件）与（元）的函数关系式． （3）设一周销售获得毛利润元，写出与的函数关系式，并求出一周毛利润的最大值以及此时的销售单价． 22. 如图，已知是的直径，B，C是两侧圆上的动点，且，过点C作，交直径于点F，连结， （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 24. 如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的周长； （3）若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $