第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形 单元测试题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册 一、单项选择题(每小题4分,共40分) 1 ．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形 2 ．下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ） A ．对边相等 B ．对角相等 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直 3 ．已知口ABCD ，对角线 AC，BD 相交于点 O ，要使口ABCD 为矩形，需添加下列的一个条件是( ) A ．OA ＝OC B ．OA ＝OB C . ∠BAC = ∠BCA D ．AC⊥BD 4 ．两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分（四边形）是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 5 ．用四个全等且有一个内角为 30 ° 的直角三角形不能拼出的图形是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 6 ．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O ，OB ＝4 ，E 为 AD 边中点，且 OE ＝，则菱形 ABCD的面积等于（ ） A .12 B.20 C .24 D.48 7 ．四边形 ABCD 中，若点 E ，F，G ，H 分别是边 AB ，BC，CD ，DA 的中点，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形，对角线 AC，BD 交于点 O ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形 EFGH 不一定是平行四边形 B ．当 AC=BD 时，四边形 EFGH 一定是矩形 C ．当 AC⊥BD 时，四边形 EFGH 一定是菱形 D ．当 AC⊥BD 且 AC=BD 时，四边形 EFGH 一定是正方形 8 ．如图，已知点 D ，E，F 分别是△ABC 三边的中点，连接 AD ，DE ，DF，以下不正确的结论是( ) A ．四边形 AEDF 一定是平行四边形； B ．若 AD 平分∠A ，则四边形 AEDF 是正方形； C ．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是菱形； D ．若∠A ＝90 ° , 则四边形 AEDF 是矩形 9 ．如图，△ABC 中， ∠ACB ＝90 ° , ED 垂直平分 AB ，分别交 AB 、BC 于点 D ，E ，连接 CD 、AE ，CD = 4 ，AE ＝5 ，则△CDE 的面积是（ ） A . B . C . D . 10 ．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 、F 分别是边 AD ，CD 上的点，且 AE ＝DF，AF 与 BE 交于点 G ，取 BF 中点 H，连接 GH，CG，则下列结论：①AF＝BE；②BF＝2GH；③△ABG 与四边形 EGFD 面积相等；④当点 E 是 AD 中点时，BC=CG ，正确的结论是（ ） A . ①② B. ①②③ C. ②③④ D . ①②③④ 二、填空题(每小题4分,共20分) 11．如图，菱形 ABCD 中，已知∠ABD ＝25 ° , 则∠C 等于______ ° . 12 ．已知菱形的一个内角为 60 ° , 较长对角线的长为 2，则较短对角线的长为______. 13 ．如图，长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将长方形 ABCD 沿折痕 DE 进行折叠，使点 A 恰好落在边BC 的点 G 处，若 CD ＝6 ，DA ＝10 ，则 BE 为 _______ . 13 题图 14 题图 15 题图 14 ．如图，在矩形 ABCD 中，点 P 在边 AD 上，E，F 分别为 BC、PB 的中点，若 AB ＝2 ，AD ＝3 ，则线段 EF 的最大值为_______ . 15 ．如图，点 E 是正方形 ABCD 外一点，连接 AE、BE 和 DE，过点 A 作 AE 垂线交 DE 于点 P ．若 AE ＝AP =2 ，PB ＝6 ．下列结论： ①△APD≌△AEB； ②EB⊥ED； ③点 B 到直线 AE 的距离为； ④S 正方形ABCD ＝32+4；⑤S△APD+S△APB ＝2+．则正确结论有_________. 三、解答题(本大题共 10个小题,共90分) 16.(本小题满分6分)如图，正方形OABC在x轴上方，已知点A（-5 ，0）在x轴上. 将正方形绕着原点O顺时针旋转，使点A的对应点落在A1（-3 ，4）； （1）画出四边形OA1B1C1； （2）直接写出点C1 的坐标. 17. (本小题满分 6 分)小明在学习矩形这一节时，知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ”，由此引 发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？即：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这 个三角形是否为直角三角形？ 通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程： 已知：如图 1 ，在△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，连接 CD ，且CD=, 求证： △ABC 为直角三角形 证明： 由条件可知，AD ＝BD ＝CD 则∠A = ∠DCA ， ∠B =∠DCB 又∵∠A+∠DCA+∠B+∠DCB =180° ∴ ∠DCA+∠DCB ＝90 ° 爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图 2 、图 3 两种不同的证明思路， 证法一：如图 2 ，延长 CD 至 E ，使 DE ＝CD ，连接 AE 、BE； 思路：先证四边形 ACBE 是平行四边形→ 四边形 ACBE 是矩形→ 结论. 证法二：如图 3 ，分别作 AC，BC 的中点 E，F，连接 DE ，DF，EF； 思路：先证四边形 ECFD 是平行四边形→ 四边形 ECFD 是矩形→结论. 请你选择其中一种证法，并写出完整的证明过程； 18. (本小题满分 9 分)如图，已知△ABC； （1）尺规作图：先作△ABC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D ，再作 AD 的垂直平分线 EF， 分别与AB ，AC 交于 E，F，连结 DE，DF；（不写作法，保留作图痕迹） （2）请直接写出四边形 AEDF 是什么四边形．（不写证明过程） 19. (本小题满分 8 分)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，其中 AB ＝25cm ，AC ＝30cm ．求对角线 BD 的长和菱形 ABCD 的面积. 20. (本小题满分 9 分)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 B 的对应点为点 E， AE 与 CD 交于点 F. （1）判断△AFC 的形状，并说明理由； （2） 已知 DA ＝4 ，AB ＝8 ，求点 F 到 AC 的距离. 21 ． (本小题满分 10 分)如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 交于点 O ，过点 D 作DP∥OC，过点 C 作 CP∥OD ，连接 CP， （1）请判断四边形 CODP 的形状，并说明理由. （2）如图 2 ，如果将题目中的四边形 ABCD 改为菱形，判断四边形 CODP 的形状，并说明理由. （3）如果要使四边形 CODP 的形状是正方形，请直接写出四边形 ABCD 的形状．（不写证明过程） 22 ． (本小题满分10 分)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴负半轴上，顶点 B 在y 轴正半轴上，顶点 C、D 均在第二象限，已知 A（-3， 0），B（0 ，4）； （1）求顶点 C 的坐标； （2）在y 轴找出点 P ，使 PA+PC 的值最小，并求出 P 的坐标. 23 ． (本小题满分 10 分)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O ，经过点 O 的任意一条直线分 别交 AD ，BC 于点 E ，F. （1）求证：OE ＝OF； （2）连接 BE，DF，已知 AB ＝4，BC ＝8 ；当四边形 EBFD 是菱形，求 EF 的长. 24 ． (本小题满分 10 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 DC 上，AE ＝CF，连结 BE ，BF，BE 与对角线 AC 相交于点 G ，且 BE ＝EF. （1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）若 AE ＝1 ，求△BEF 的面积. 25 ．(本小题满分12分)已知四边形ABCD是正方形，点E是直线BC的一点，∠AEF＝90 ° , 且EF交正方形外角 的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G ，连接AC . （1）如图1 ，当点E在BC上时，求证：AE=EF ．（提示：在AB上截取BM＝BE ，连接EM，证△AEM≌ △EFC）； （2）如图2 ，当点E在BC延长线上时，( 1 )中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立， 请说明理由； （3）请直接写出AC，EC，FG的数量关系. 图 1 图 2 学科网（北京）股份有限公司 $$