精品解析：湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高一上学期11月月考数学试题

2024—2025学年度上学期2024级 11月月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则的取值构成集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的定义可得或，讨论求解，注意集合元素的互异性. 【详解】由，可得或， 若，即，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合集合元素的互异性，舍去. 综上，的取值构成的集合为. 故选：B. 2. 若：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解两个不等式，分别得到和，根据真包含关系，得到是的充分不必要条件. 【详解】，故，解得， ，解得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 3. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故A错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知且，相符，故B正确； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故D错误. 故选：B. 4. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值. 【详解】由题意，，又a，b为正实数， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 5. 已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a＝f（log2），b＝f（3），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可． 【详解】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数， ∴函数f（x）在[0，+∞）上是减函数， a＝f（log2）＝f（﹣log25）＝f（log25）， b＝f（3）＝f（﹣log23）＝f（log23）， ∵0＜2﹣0.8＜1＜log23＜2＜log25， ∴f（2﹣0.8）＞f（log23）＞f（log25）， 即c＞b＞a， 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键． 6. 设，若、是方程的两相异实根，则有（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项. 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 8. 设函数，，若，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数，分情况求解不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，解得，则. 综上所述，由，解得， 当时，由，可得，，解得，则； 当时，由，可得，显然成立，则； 当时，由，可得，，解得或，则. 综上所述，，解得. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列命题叙述正确的是（ ） A. ，当时， B. ，当时， C. ，当时， D. ，当时， 【答案】CD 【解析】 【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小. 【详解】对于A，取，满足，且， 此时，，故A错误； 对于B，取，满足， 此时，则，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 10. 若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（ ） A. 当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B. 当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C. 若，则 D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据解析式中各量的意义，代入求解即可. 【详解】为正常数. 对于A，， 由，得， 所以，解得，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，由，得，即， 则，故正确； 对于D，设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 设这杯水从冷却到所需时间为分钟， 则， 因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，其图象关于中心对称. 若，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据中心对称为，得到，进而判断A；B选项，变形得到，赋值即可判断B；C选项，根据函数的对称中心得到，即可判断C；D选项，根据题目条件得到，变形为，即可判断D. 【详解】A选项，根据中心对称为，得到， 则，故A正确； B选项，由A知，，则， 则，即， 则，令，则，故B错误； C选项，根据中心对称为，得到， 则， 令，则，所以为奇函数，故C正确； D选项，因为，所以， 即，故， 令，则， 故为偶函数，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用对数型复合函数与具体函数的定义域解法即可得解. 【详解】对于， 有，即，解得或. 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则问题转化为，时恒成立，采用分离参数法，求出函数，的最大值即可． 【详解】令，则问题转化为，时恒成立， 即，恒成立， 而函数， 当时，， ，即为所求． 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的解析式作出函数的图象，然后利用换元法将关于的方程恰有3个不同的实数根，转化为有两个不同的实数根，且，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：因为函数，作出函数图象如图所示， 因为关于的方程恰有3个不同的实数根， 所以令，根据图象可得，有两个不同的实数根，且，，， 记，则有， 解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或16 【解析】 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【小问1详解】 由题知，解得，； 故. 【小问2详解】 由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程，即可直接求出的值； （2）把对恒成立，转化为对恒成立，所以只需要求函数在上的最小值即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，解得(舍)或， 所以. 【小问2详解】 因为对恒成立， 所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，所以， 因为，由对勾函数的性质，知在 内单调递增， 所以， 所以只需，故实数的取值范围为. 17. 已知函数是定义域为上的奇函数． （1）求，的值； （2）证明：在定义域内是单调递减函数； （3）解关于的不等式． 【答案】（1）， （2）证明：由（1）可得， 设， ，① 因为， 所以， 所以①，即在定义域内是单调递减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由和奇函数的性质可得； （2）利用立方差公式结合函数单调性的定义证明即可； （3）由奇函数和递减函数解抽象函数不等式即可； 【小问1详解】 由题意可得，即， 又时，是奇函数，所以 即，可得， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以原不等式可化为， 又在定义域内是单调递减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元； 方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a， （1）试问哪种购买方案花费更少?请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值 【答案】（1）方案二，理由：方案一的总费用为元， 方案二的总费用为元， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ，，，，， 令，即， ， 当时，时，上式等号成立， ，可得， ， 当且仅当，时，等号成立， 所以两种方案花费的差值S的最小值为24元， 当且仅当，，，时，等号成立. 19. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可. （2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可. （3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可. 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. 【小问2详解】 ，，即， 或舍去， ， 令，由指数函数性质得在上为增函数， ，， 由二次函数性质得当时，， 而，，的值域是， 故的值域是. 【小问3详解】 由于，， 因为是奇函数，所以， 故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数， 由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 左右同时平方得对恒成立. ， 解得，综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期2024级 11月月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则的取值构成集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a，b为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数．若a＝f（log2），b＝f（3），c＝f（2﹣0.8），则a，b，c的大小关系为（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. c＜a＜b 6. 设，若、是方程的两相异实根，则有（ ） A. ， B. ， C. D. 7. “学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 8. 设函数，，若，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列命题叙述正确的是（ ） A. ，当时， B. ，当时， C. ，当时， D. ，当时， 10. 若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足为正常数.现有一杯开水放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（ ） A. 当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为 B. 当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟 C. 若，则 D. 这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短 11. 已知函数的定义域为，其图象关于中心对称. 若，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______ 13. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数，且关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数（且）的图象经过点和. （1）求的解析式； （2）若，求实数的值. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数是定义域为上的奇函数． （1）求，的值； （2）证明：在定义域内是单调递减函数； （3）解关于的不等式． 18. 随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元； 方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a， （1）试问哪种购买方案花费更少?请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值 19. 设定义在上的奇函数且， （1）求的值 （2）已知，函数，，求的值域； （3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $