第3章一次方程与方程组单元测试卷 2024—2025学年沪科版数学七年级上册

沪科版七年级上册第3章一次方程与方程组单元测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1在式子，，，，中，一元一次方程有    个． A. B. C. D. 2.解一元一次方程时，去分母正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若是方程的解，则的值是  (    ) A. B. C. D. 4.解方程时，两边都除以，得，其错误原因是(    ) A. 方程本身是错的 B. 方程无解 C. 两边都除以了 D. 小于 5.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果立方米木料可制作方桌的桌面个或制作桌腿条，现有立方米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？设用立方米木料做桌面，那么桌腿用木料立方米，根据题意，得(    ) A. B. C. D. 6.某工程队需动用台挖土、运土机械，每台每小时能挖土或运土 ，为了使挖出的土能及时运走，设安排台机械挖土，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 8.王同潇远同学带了元去市场买水果，她买了千克的哈密瓜，千克的葡萄，还剩元设哈密瓜每千克元，葡萄每千克元，得方程则下列说法中，正确的是(    ) A. 千克葡萄的价格可以是元 B. 若千克哈密瓜的价格是元，则千克葡萄的价格是元 C. 若，分别表示哈密瓜、葡萄的单价，则，一定是方程的解 D. 若是方程的解，则，都可以表示哈密瓜、葡萄的单价 9.下列式子变形正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.现有四个大小相同的长方形，可拼成如图和图所示的图形，在拼图时，中间留下了一个面积为的小正方形，则每个小长方形的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.若，，则的值为______． 12.已知是方程的解，则的值为          ． 13.九章算术是中国古代的数学专著，是算经十书中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要          分钟． 14.一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如我们称使得成立的一对数，为“相伴数对”，记为若是“相伴数对”，则________． 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 15.解方程： ． 16.解下列方程组： ； ． 四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程组：． 小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入得______． 这个方程组的解是______，该同学解这个方程组的过程中使用了______消元法，目的是把二元一次方程转化为______． 请你用另一种方法解这个方程组． 18.本小题分 若是关于的方程的解，求的值． 19.本小题分 解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式．下面是解方程的主要过程，请在如图的矩形框中选择与方程变形对应的依据，并将它前面的序号填入相应的括号中． 等式的基本性质 等式的基本性质 分数的基本性质 乘法分配律 解：原方程可化为______ 去分母，得______ 去括号，得______ 移项，得______ 合并同类项，得乘法分配律 系数化为，得等式的基本性质 20.本小题分 某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车辆，还剩人没有座位；租用辆，还空个座位求参加研学的学生人数． 21.本小题分 已知关于，的二元一次方程组和的解相同，试求，的值． 22.本小题分 滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 元 元 元 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算时长费按行车的实际时间计算远途费的收取方式为：行车里程以内含不收远途费，超过的，超出部分每千米收元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为与，两人付给滴滴快车的乘车费相同． 求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟 实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候，已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多，计算两人各自的实际乘车时间． 23.本小题分 在数轴上，若到的距离刚好是，则点叫做的“幸运点”，若到、的距离之和为，则叫做、的“幸运中心”． 如图，点表示的数为，则点的幸运点所表示的数应该是______； 如图，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为，现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，该蚂蚁所在的点是点、的幸运中心？ 如图，在数轴上，点所表示的数是，点所表示的数是，且，点是、两点的幸运中心，点是点的幸运点，求、两点距离的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】不是等式，错误；对；对；有个未知数，错误；不是等式，错误． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：去分母，得，    故选：． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：错误的地方为：方程两边都除以，没有考虑是否为， 正确解法为： 移项得：， 合并得：， 系数化为得：． 故选：． 出错的地方为：方程两边除以，没有考虑为的情况，据此判断即可． 此题考查等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 利用一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，利用桌面桌腿数量，进而得出等式即可． 【解答】 解：根据题意，得：． 故选：． 6.【答案】  【解析】若安排台机械挖土，则安排台机械运土， 由题意得， 故选 B． 7.【答案】  【解析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺得：；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一． 【详解】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺可知：绳子比木条长尺 ； 绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：绳子对折后比木条短尺， 即． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：由题意可知，设哈密瓜为每千克元，葡萄每千克元，得到得出，把代入，得， 解得：，此种情况不符合实际，故选项A错误； B.当时，则， 解得：，故选项B错误； C.若，分别表示哈密瓜、葡萄的单价，则，一定是的解，故选项C正确； D.若是方程的解，则，不一定可以表示哈密瓜、葡萄的单价，故选项D错误． 故选：． 根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确从而可以解答． 本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，根据题意列出正确的算式，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：、在等式的两边应该除以同一个不为的数该等式才成立，原变形错误，故此选项不符合题意； B、在等式的两边同时减去得，原变形错误，故此选项不符合题意； C、在等式的两边同时乘，该等式仍然成立，原变形正确，故此选项符合题意； D、在等式的两边同时除以得，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：． 根据等式的性质进行判断． 本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质． 等式性质：、等式两边加同一个数或式子结果仍得等式； 、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 10.【答案】  【解析】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 每个小长方形的面积， 故选：． 设小长方形的长为，宽为，由图可得，则，解得即可就得最后结果． 本题考查了二元一次方程组的应用，考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能根据图形找到相关数量关系列出算式． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了解二元一次方程组和代数式求值，正确选用解题方法是解题关键． 直接利用已知条件，解方程组由得出，即可得出答案． 【解答】 解：  ，  ， ，得， 因此，． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：因为是方程的解， 所以把代入方程可得，， 解得． 13.【答案】  【解析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ， 解得，， 速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】此题考查了等式的性质，弄清题中的新定义，能够正确化简等式并进行变形是解答此题的关键． 利用新定义“相伴数对”列出算式，化简得到，再变形即可得到的值． 根据题意若是“相伴数对”，那么， 整理得：， 所以． 故答案为：． 15.【答案】解：去括号得：， 移项合并得：， 解得：；      去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：．  【解析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.【答案】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为； 方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 则方程组的解为．  【解析】各方程组利用加减消元法求出解即可． 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17.【答案】解：，  ，加减  ，一元一次方程； 由，可得：， 把代入，可得：， 解得， 把代入，解得， 原方程组的解是．  【解析】解：小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入得， 所以这个方程组的解是，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程转化为一元一次方程． 见答案． 小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入得，所以这个方程组的解是，该同学解这个方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程转化为一元一次方程． 用代入消元法解这个方程组即可． 此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 18.【答案】解：因为是关于的方程的解， 所以， 解得：， 所以 ．  【解析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 把代入方程得出的值，最后代入求值即可． 19.【答案】        【解析】解：原方程化为 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得合并同类项法则 把未知数的系数化为，得等式的基本性质， 故答案为：；；；． 方程利用分数的基本性质化简，再利用等式的基本性质两边乘以去分母，去括号后利用等式的基本性质移项，合并后将系数化为，即可求出解． 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：设每辆车能乘坐人， 根据题意，得， 解得， 故人， 答：参加研学的学生有人．  【解析】设每辆车能乘坐人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，租车问题，正确找到等量关系是解题的关键． 21.【答案】解：联立得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 把，代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：．  【解析】联立各方程组中第二个方程求出的值，进而求出的值，即可得出与的值． 此题考查了二元一次方程组的解，同解方程，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 22.【答案】解：设小王乘坐滴滴快车的实际行车时间为，小张乘坐滴滴快车的实际行车时间为． 由题意得， 化简得． 答：这两辆滴滴快车的实际行车时间相差． 由及题意得 解得 答：小王的实际乘车时间为，小张的实际乘车时间为．   【解析】见答案 23.【答案】解：，， 表示的数是或． 设经过秒，蚂蚁所在的点是点、的幸运中心， 此时蚂蚁所在的位置表示的数是：， 根据题意，得， 即， ， 解得； ， 解得； 综上，经过秒或秒，蚂蚁所在的点是点、的幸运中心． 设点表示的数是，点表示的数是， 根据图，可知， 根据题意，得， 当在的右侧，此时，， 解得， 当在的右侧，此时，， 解得， ， 当在的左侧，此时， 当在的左侧，此时，， 解得， 当在的左侧，此时， 解得， ， 当在的右侧，此时， 综上，、两点的距离最小值为．  【解析】根据幸运点的定义求解即可； 先表示出经过秒，蚂蚁所在位置表示的数，再根据幸运中心的定义列方程即可； 先根据给定的幸运点和幸运中心的定义，表示出，两点表示的数，再分情况讨论：点在的右侧，点在的左侧，分别计算的值，即可求出最小值． 本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离、动点问题，理解新定义并灵活运用是解决本题的关键． 第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$