精品解析：山西省太原市2024-2025学年高二上学期11月期中学业诊断数学试题

2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午7：30-9：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 过点和的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 10. 已知正四棱锥中，，是的中点，是底面的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分） 12. 直线在轴上的截距为______. 13. 已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______. 14. 已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______. 四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 16. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求OE的长. 17. 已知圆与圆. （1）若圆与圆相内切，求的值； （2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 18. 如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，. （1）求证：平面平面ABCD； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 19. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图所示.设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，记，. （1）若，，求椭圆的方程； （2）证明：动点的轨迹为椭圆； （3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线距离为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高二年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午7：30-9：00） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为，即，所以. 故选：D 2. 圆的圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般式化为标准式，即可得到结果. 【详解】将圆化为标准式可得， 所以圆心为. 故选：A 3. 过点和的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得椭圆焦点在轴，且，，即可得到结果. 【详解】由题意可知，点和分别是椭圆长轴和短轴的一个端点， 且椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 且，，则椭圆的标准方程为. 故选：B 4. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，解得， 则. 故选：C. 5. 已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设与直线平行的直线为，再将代入，即可得到结果. 【详解】因为直线，即， 设与平行的直线为， 将代入可得，解得， 所以直线方程为. 故选：A 6. 已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，且当直线与直线垂直时，弦最短，代入计算，即可得到结果. 【详解】由直线可得， 令，解得，所以直线恒过定点， 且圆的圆心，半径为， 易知当直线与直线垂直时，弦最短，且， 所以. 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由余弦定理结合椭圆的定义可得出，求出的取值范围，可得出关于、所满足的不等式，求出的取值范围，再由可求得的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则， 设点，则，则， 所以 ， 则， 因为，则，则， 所以，所以， 故. 故选：B. 8. 在如图所示的试验装置中，正方形框的边长是，矩形框中，它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在线段和上移动，则的长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用题设条件，建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，求得 ，得到，代入坐标，利用向量数量积的运算律求得，再进行双二次配方，即可求得其最小值. 【详解】 如图，因平面平面，且平面平面， 又矩形，则， 又平面，则平面， 因正方形，故可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 则，连结， 设， 设， 则 ， 则 ， 故当时，取得最小值为， 此时取得最小值. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知椭圆，则下列说法正确的是（ ） A. 是椭圆的一个顶点 B. 是椭圆的一个焦点 C. 椭圆的离心率 D. 椭圆的短轴长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程，判断焦点位置，求得的值，继而写出顶点，焦点,离心率，长短轴，根据选项逐一判断即可. 【详解】由，可知椭圆的焦点在轴上，且， 椭圆有四个顶点，分别为， 焦点有两个，分别为，椭圆的短轴长为，离心率为. 故A错误；B,C,D均正确. 故选：BCD. 10. 已知正四棱锥中，，是的中点，是底面的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，计算可判断A；利用向量夹角公式计算即可判断B；利用直线与平面所成角的向量公式计算可判断C；利用点到直线距离的向量公式计算可判断D. 【详解】连接，则为的交点，， 正四棱锥中，，平面， 则，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系， 由题意得， 则， ∵，∴，即，故A正确； ∵， ∴直线与所成角的余弦值为，故B错误； 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为，故C正确； ， 则点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分） 12. 直线在轴上的截距为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据直线在轴上的截距的定义即可求解. 【详解】因为直线，令， 所以直线在轴上的截距为1. 故答案为：1. 13. 已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先联立直线与圆的方程求出公共点，再用待定系数法结合圆所过的点即可求解圆的一般方程. 【详解】联立或， 所以直线与圆的公共点为和， 所以圆经过点、和点， 设圆的一般方程为， 则， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 14. 已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形，利用椭圆的定义将所求式转化，判断当，三点共线，且点在之间时，取得最小值即可. 【详解】 如图，设椭圆的右焦点为,连接, 因，则， 由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值, 因，，故此时取得最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边AB上的中线所在直线的一般式方程； （2）求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得； （2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得. 【小问1详解】 设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； 【小问2详解】 ，，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 16. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由空间向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由模长的公式结合数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 连接OD， 则. 【小问2详解】 由（1）得 ，. 17. 已知圆与圆. （1）若圆与圆相内切，求的值； （2）在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别得到两圆的圆心与半径，再由两圆内切列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点到直线的距离公式结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，，， ，， ，，， 圆与圆相内切，，， . 【小问2详解】 由（1）得，圆的方程为，，， 故圆心到直线的距离， . 18. 如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，. （1）求证：平面平面ABCD； （2）求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 设是AD的中点，连结OP，OB， ， ，，由勾股定理得， ， ， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，故为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∵平面，， 平面ABCD， ∵平面， 平面平面ABCD； （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，以为原点， OA，OB，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，， 设是平面PAB的一个法向量， 则令，则， 设是平面PCD的一个法向量， 则令，则， 设平面PAB与平面PCD的夹角为， ， 平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为. 19. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图所示.设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，记，. （1）若，，求椭圆的方程； （2）证明：动点的轨迹为椭圆； （3）若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线距离为定值. 【答案】（1） （2） 解法一：设，，， 由题意得，， ，， ， 整理得， 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆； 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.… 解法二：设，，由题意得，， 则，即， 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆； 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆. （3） 由题意可得椭圆的方程， 当直线的斜率不存在时，设其方程为，则， 点到直线距离为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由得， ，， ，即， 点到直线距离为， 综上所述，点到直线距离为定值 【解析】 【分析】（1）根据的值即可求解， （2）根据线段成比例可得，，即可结合勾股定理求解得解，或者利用锐角三角函数求解， （3）分类讨论直线是否有斜率，无斜率直接点到直线的距离求解，直线有斜率时，联立直线与曲线方程，根据垂直关系可得向量的数量积的坐标运算得，结合点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可设椭圆的方程， 则，， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $