6.4用一次函数解决问题 同步练习2024-2025学年苏科版数学八年级上册

6.4用一次函数解决问题 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题 1.小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发,匀速相向而行小李的速度大于小王的速度,小李到达乙地后,小王继续前行.设出发小时后,两人相距千米,如图所示,折线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中与之间的函数关系.下列说法错误的是( ) A.点的坐标意义是甲、乙两地相距千米 B.由点可知小时小李、小王共行走了千米 C.点表示小李、小王相遇,点的横坐标为 D.线段表示小李到达乙地后,小王到达甲地的运动过程 2.一次函数y=kx+m的图象如图所示,若点(0,a),(﹣2,b),(1,c)都在函数的图象上,则下列判断正确的是( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c 3.函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为( ) A. B. C. D. 4.如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点,下列各点向左平移2个单位后能落在内部的是( ) A.(3,) B.(2,2) C.(4,1) D.(3,1) 5.一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示,则和的取值范围是( ) A., B., C., D., 6.一次函数不经过第二象限,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.从﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3这六个数中,随机抽取一个数记作a,使关于x的分式方程有整数解,且使直线y=3x+8a﹣17不经过第二象限,则符合条件的所有a的和是( ) A.﹣4 B.﹣1 C.0 D.1 8.已知一次函数的图象不经过第二象限,则下列说法中正确的是( ) A., B., C., D., 9.如图,一个弹簧不挂重物时长6cm,挂上重物后,在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y(单位:cm)关于所挂物体质量x(单位:kg)的函数图象如图所示,则图中a的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.在平面直角坐标系中,一次函数的图象如图所示,则k和b的取值范围是( ) A., B., C., D., 11.一辆货车从甲地到乙地,一辆轿车从乙地到甲地,两车沿同一条笔直的公路分别从甲、乙两地同时出发,匀速行驶.两车离乙地的距离(单位:)和两车行驶时间(单位:)之间的关系如图所示.下列说法错误的是( ). A.两车出发时相遇 B.甲、乙两地之间的距离是 C.货车的速度是 D.时,两车之间的距离是 12.若m是整数,且一次函数的图象不经过第二象限,则m等于( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.-3或-2 二、填空题 13.如图,在平面直角坐标系中,点,点,点P是直线上一点,且,则点P的坐标为 . 14.某公司以A、B两种材料,利用不同的搭配方式推出了两款产品,其中,甲产品每份含克A、克B;乙产品每份含克A、克B,甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和,若甲产品每份成本为元,公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了,实际成本比核算时的成本多元,如果每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份,那么公司每天的实际成本最多为 元 15.如图,等腰直角三角形,,长为,若直线把分成面积比为的两部分,则的值为 . 16.在直角坐标系中,有,两点,在x轴上有一动点,当周长最小时,的值是 . 17.“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地,她与乙地之间的距离y(km)与出发时间t(h)之间的函数关系如图中线段AB所示,在小丽出发的同时,小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地,两人之间的距离s(km)与出发时间t(h)之间的函数关系如图中折线段CD﹣DE﹣EF所示,则E点坐标为 . 三、解答题 18.《九章算术》中记载,浮箭漏(图①)出现于汉武帝时期,它由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水查流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间,某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究: (实验观察)实验小组通过观察,每2小时记录一次箭尺读数,得到下表: 供水时间(小时) 0 2 4 6 8 箭尺读数(厘米) 4 16 28 40 52 (1)(探索发现) 若以供水时间为横轴,箭尺读数为纵轴,建立平面直角坐标系,描出以表格中数据为坐标的各点,试判断这些点是否在同一条直线上.如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,说明理由. (2)(结论应用)应用上述发现的规律估算:供水时间达到12小时时,箭尺的读数为多少厘米? (3)如果本次实验记录的开始时间是上午8:00,那么当箭尺读数为94厘米时是几点钟?(箭尺最大读数为100厘米) 19.在如图所示的直角坐标系中,解答下列问题: (1)分别写出A、B两点的坐标; (2)将 ABC绕点A顺时针旋转90 ,画出旋转后的 AB1C1; (3)求出线段B1A所在直线 l 的函数解析式,并写出在直线l上从B1到A的自变量x 的取值范围. 20.某水产养殖户有20吨水产品待售,现有两种销售方式:一是批发,二是零售.经过市场调查,这两种销售方式每天的销量及每吨所获的利润如下表: 销售方式 每天销量/吨 每吨所获利润/元 批发 3 4000 零售 1 6000 假设该养殖户售完20吨水产品,其中批发了x吨,所获总利润为y元. (1)求y与x之间的函数解析式; (2)因为人手紧缺,这个养殖户每天只能采用一种销售方式销售,且正好10天销售完所有水产品,请计算该养殖户所获总利润. 21.综合与实践 生活中的数学:如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包,背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和,其中调节扣的长度忽略不计) 素材2 对该背包的背带长度进行测量,该双层的部分长度是,单层部分的长度是,得到如下数据:: 双层部分长度x(cm) 2 6 10 单层部分长度y(cm) 116 108 100 素材3 单肩背包的最佳背带总长度与身高比例为2:3 根据上述的素材,解决以下问题: (1)在下图的平面直角坐标系中,以表格中的x的值为横坐标,以y的值为纵坐标,描出所表示的点,并将这些点依次连接起来,观察这些点是否在同一条直线上,如果在同一条直线上,求出这条直线对应的函数解析式,如果不在同一直线上,请说明理由. (2)设人身高为h,当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时,求此时人身高h与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式. (3)身高的小明爸爸准备购买此款背包,爸爸自然站立,将该背包的背带调节到最短提在手上,当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时.求此时双层部分的长度. 22.某公园种植牡丹、月季和薰衣草三种花卉,其中牡丹的种植面积为亩,月季的种植面积比牡丹的种植面积多3倍,薰衣草的种植面积比牡丹种植面积的2倍多6亩. (1)设三种花卉种植的总面积为,写出与之间的函数关系式. (2)若月季的种植面积是的一半,求的值. 23.如图,在平面直角坐标系中,正方形两顶点为,,点D的坐标为,在上取点E,使得,连接,分别交,于M,N两点. (1)求证:; (2)求点E的坐标和线段所在直线的解析式; (3)在M,N两点中任选一点求出它的坐标. 24.已知:在平面直角坐标系中,点和点分别在轴和轴的正半轴上,的平分线与正比例函数交于点,且与相交于点,在轴负半轴上有一点. (1)如图1,求证:; (2)如图2,过点作,垂足为,连接,求证:; (3)如图3,在(2)的条件下,过点作,垂足为点,交于点,连接,若,,求直线的解析式. 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C D B D A C 题号 11 12 答案 D D 1.C 【分析】根据已知及函数图象,逐项判断即可. 【详解】点A表示时,即甲、乙两地相距千米,故A说法正确,不符合题意; 点表示时,可知小李、小王共行走了(千米),故B说法正确,不符合题意; 由小时小李、小王共行走了千米知二人速度和为(千米/时), 点表示小李、小王相遇,相遇的时间是(小时),即点的横坐标是,故C说法错误,符合题意; 由已知可得,线段表示小李到达乙地后,小王到达甲地的运动过程,故D说法正确,不符合题意; 故选:C. 【点睛】本题考查一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,能正确识图,理解图中特殊点表示的意义. 2.B 【分析】由一次函数y=kx+m的图象,可得y随x的增大而减小,进而得出a,b,c的大小关系. 【详解】解:由图可得,y随x的增大而减小, ∵﹣2<0<1, ∴c<a<b, 故选B. 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键. 3.A 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质,要掌握它的性质才能灵活解题.一次函数的图象有四种情况:①当,,函数的图象经过第一、二、三象限;②当,,函数的图象经过第一、三、四象限;③当,时,函数的图象经过第一、二、四象限;④当,时,函数的图象经过第二、三、四象限.根据一次函数的性质可依次作判断. 【详解】解:、B.假设的图象过一、二、四象限,则,,的图象过一、三、四象限,故A选项符合题意,B选项不符合题意; C、D.假设的图象过一、三、四象限,则,,的图象过一、二、四象限,故C、D不符合题意. 故选:. 4.A 【分析】先求出A、B的坐标,然后根据点平移的坐标变化特点求出四个选项中平移后的坐标即可得到答案. 【详解】∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B两点, ∴点A的坐标为( ,0),点B的坐标为(0,2) ∵A选项(3,)向左移动2个单位后坐标为(1, ),B选项(2,2)向左移动2个单位后坐标为(0,2),C选项(4,1)向左移动2个单位后坐标为(2,1),D选项(3,1)向左移动2个单位后坐标为(1,1), ∴在内部的有(1, ); 故选A. 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合,点的平移,正确求出A、B的坐标以及四个选项平移后的坐标是解题的关键. 5.C 【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可. 【详解】解:∵一次函数在平面直角坐标系内的图象过第一、二、四象限, ∴, 故选:C. 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与系数之间的关系,关键是掌握数形结合思想. 6.D 【分析】根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组,求出的取值范围即可. 【详解】∵一次函数的图象不经过第二象限, ∴, 解得:. 故选:D. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,熟知一次函数中,当时,函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键. 7.B 【分析】先求出满足分式方程条件存立时a的值,再求出使直线y=3x+8a﹣17不经过第二象限时a的值,进而求出同时满足条件a的值. 【详解】解:解分式方程得: x=﹣, ∵x是整数, ∴a=﹣3,﹣2,1,3; ∵分式方程有意义, ∴x≠0或2, ∴a≠﹣3, ∴a=﹣2,1,3, ∵直线y=3x+8a﹣17不经过第二象限, ∴8a﹣17≤0 ∴a≤, ∴a的值为:﹣3、﹣2、﹣1、1、2, 综上,a=﹣2,1, 和为﹣2+1=﹣1, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质以及分式方程的解的知识,解题的关键是掌握根的个数与系数的关系以及分式有意义的条件,此题难度不大. 8.D 【分析】本题考查了一次函数的性质,根据一次函数的图象不经过第二象限得出,,求解即可,熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键. 【详解】解:∵一次函数的图象不经过第二象限, ∴,, ∴,, 故选:D. 9.A 【分析】根据题目中的函数解析式,可以求得y与x的函数关系式,然后令y=7.5,求出x的值,即此时x的值就是a的值,本题得以解决. 【详解】解:设y与x的函数关系式为y=kx+b, , 解得,, 即y与x的函数关系式是y=0.5x+6, 当y=7.5时,7.5=0.5x+6,得x=3, 即a的值为3, 故选:A. 【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 10.C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系,根据一次函数的图象与系数的关系一一进行判断即可. 【详解】解:A. ,,的图象在一、二、三象限,与所给图象不符,故本选项不符合题意; B. ,,的图象在一、三、四象限,与所给图象不符,故本选项不符合题意; C. ,,的图象在一、二、四象限,与所给图象符合,故本选项符合题意; D. ,,的图象在二、三、四象限.与所给图象不符,故本选项不符合题意; 故选:C. 11.D 【分析】根据函数图象分析,当时,函数图象有交点,即可判断A选项;根据最大距离为360即可判断B选项,根据A选项可得两车的速度进而判断C,根据时间乘以速度求得两车的路程,进而求得两车的距离即可判断D选项. 【详解】解:根据函数图象可知,当时,,总路程为360km, 所以,轿车的速度为,货车的速度为: 故A,B,C正确 时,轿车的路程为,货车的路程为, 则两车的距离为 故D选项不正确 故选D 【点睛】本题考查了一次函数的应用,从图象上获取信息是解题的关键. 12.D 【分析】根据一次函数的图象及性质与系数的关系即可求出m的取值范围,结合m为整数从而求出m的值; 【详解】因为一次函数的图象不经过第二象限, 所以其图象必过第一、三象限 所以, 解得. 又因为m是整数,所以或-2. 故选D. 【点睛】此题考查的是根据一次函数求参数的值,掌握一次函数的图象及性质与系数的关系是解决此题的关键. 13. 【分析】由于题目中给出,则可考虑构造等腰直角三角形进行解决,将AB顺时针旋转得到线段BC,求出点C的坐标,连接AC,则AC与BP的交点M即为线段AC的中点,可求出M的坐标,则直线BP的解析式亦可求的,再将直线与直线BP的解析式联立成方程组,即可求出点P的坐标. 【详解】如图所示, 将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BC,则点C的坐标为, 由于旋转可知,为等腰直角三角形,令线段AC和线段BP交于点M,则M为线段AC的中点, 所以点M的坐标为,又B为,设直线BP为,将点B和点M代入可得, 解得,,可得直线BP为,由于点P为直线BP和直线的交点, 则由解得,所以点P的坐标为, 故答案为. 【点睛】本题考查函数图象的变换,并根据待定系数法求函数解析式及利用方程组求直线的交点坐标,把握函数的基本知识是解题的关键. 14. 【分析】设每克A种材料的成本价为元,每天销售份甲产品,份乙产品,公司每天实际成本为元,则每克B种材料的成本价为元,根据实际成本比核算时的成本多元,即可得出,利用餐厅每天实际成本每份甲产品的成本销售数量每份乙产品的成本销售数量,可得出,由每天甲销量的倍和乙销量的倍之和不超过份,可得出,将其代入w中可求出w的取值范围,取其最大值即可得出结论. 【详解】解:设每克A种材料的成本价为元,每天销售份甲产品,份乙产品,每天公司实际成本为元,则每克B种材料的成本价为元, 依题意,得:, 化简,得:. ,, . ∴公司每天实际成本最多为元. 故答案为:. 【点睛】本题考查了二元一次不定方程的应用,根据各数量之间的关系,找出与(4m+3n)之间的关系是解题的关键. 15.或 【分析】根据题意可得A(1,1),求得直线AB的解析式为y=﹣x+2,联立,求得D点横坐标为,令y=0,得C(0,m),然后分S BCD=或两种情况,分别求得符合题意的m的值即可. 【详解】解:∵等腰直角三角形,,长为, ∴A(1,1),B(0,2), 设直线AB的解析式为y=kx+b, 将A(1,1),B(0,2)代入解得:y=﹣x+2, 联立,得﹣x+2, 解得x=,即D点横坐标为, 令x=0,则y=m,即C(0,m), ∴BC=2﹣m, 又∵直线把分成面积比为的两部分, ∴当S BCD=S ABO时, (2﹣m)=, 解得m=1,或m=(舍去); 当S BCD=S ABO时, (2﹣m)=, 解得x=,或m=5(舍去), 综上,m=或. 故答案为或. 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合,解此题关键在于熟练掌握待定系数法求函数解析式,勾股定理,求两直线交点坐标等知识点. 16.2 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题,一次函数的应用,作点关于轴的对称点,连接交轴于,此时的值最小,求出直线的解析式,再把代入即可. 【详解】解:如图,作点关于轴的对称点,连接交轴于,此时的值最小, , 设直线的解析式为, 将,代入解析式得:, 解得:, ∴直线的解析式为, 当时,,解得:, ∴, 故答案为:. 17.(,) 【分析】根据题意和函数图象中的数据,可以求得小丽和小明的速度,然后即可得到点E的横坐标,再根据图形中的数据,可以得到点E的纵坐标,从而可以得到点E的坐标. 【详解】解:由图可得, 小丽的速度为:36 2.25=16(km/h), 小明的速度为:36 1﹣16=20(km/h), 故点E的横坐标为:36 20=,纵坐标是:(20+16) (﹣1)=, 故答案为:(,). 【点睛】本题考查了一次函数的应用,解题关键是从图象中获取准确信息,根据速度与路程关系正确计算. 18.(1)作图见解析,; (2)72 (3)当天晚上的23:00. 【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可;观察发现,供水时间每增加2小时,箭尺读数增加12cm,由此可判断它们在同以直线上,设直线解析式为,再代入两个点坐标即可求解; (2)当时,代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数; (3)当时,代入(2)中解析式即可求出供水时间,再结合实验开始时间为8:00即可求 【详解】(1)解:(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示: 分析表格中数据发现,供水时间每增加2小时,箭尺读数增加12cm,观察(1)中直角坐标系点的特点,发现它们位于同一直线上, 设直线解析式为,代入点(0,6)和点(2,18), 得到,解得, ∴直线的表达式为:; (2)当供水时间达到12小时时,即时,代入中, 解得cm, ∴此时箭尺的读数为; (3)当箭尺读数为94厘米时,即时,代入中, 解得(小时), ∴经过15小时后箭尺读数为94厘米, ∵实验记录的开始时间是上午8:00, ∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+15=23,即对应当天晚上的23:00. 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题,读懂题目,掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键. 19.(1)A(2,0),B(-1,-4);(2)见解析;(3)(-2 ≤ x ≤ 2). 【详解】(1)A(2,0),B(-1,-4) (2)如图所示; (3)设线段B1A所在直线 l 的解析式为: ∵B1(-2,3),A(2,0) ∴ ∴线段B1A所在直线 l 的解析式为: 线段B1A的自变量 x 的取值范围是:-2 ≤ x ≤ 2. 20.(1); (2)该种植户所获总利润是90000元. 【分析】(1)根据题意和表格中的数据,可以得到与之间的函数关系式; (2)根据这个养殖户每天只能采用一种销售方式销售,且正好10天销售完所有水产品,可以得到相应的方程,从而可以得到批发的天数,然后根据(1)中的函数关系式,即可得到该养殖户所获总利润是多少元. 【详解】(1)解:由题意可得, , 答:与之间的函数关系式是; (2)解:设批发天,则零售天, , 解得:, , , 答:该种植户所获总利润是90000元. 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用,解题的关键是明确题意,列出方程和函数关系式. 21.(1)图见解析;; (2); (3)此时双层部分的长度为. 【分析】本题考查一次函数的应用,理解题意、利用待定系数法求函数关系式,求出函数解析式是本题的关键. (1)直接描点并作图,利用待定系数法求出函数关系式; (2)根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式,用含的代数式将背带的总长度表示出来,再由背带总长度与身高的比例关系列出等式,将表示为的函数的形式即可; (3)把代入(2)中解析式求出即可. 【详解】(1)解:描点并作图如图所示: 根据图象可知,这些点在同一条直线上, 设这条直线的解析式为、为常数,且, 将,和,代入, 得, 解得, 这条直线的解析式为; (2)解:背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和, 总长度为, 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时,得, , 身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式为; (3)解:当时,, 解得, 此时双层部分的长度为. 22.(1) (2)的值是6 【分析】本题考查了一次函数的应用,一元一次方程的应用, (1)根据题意得,月季的种植面积为,薰衣草的种植面积为,即可得; (2)根据题意得,,进行计算即可得; 理解题意,写出一次函数和一元一次方程是解题的关键. 【详解】(1)解:根据题意得,月季的种植面积为,薰衣草的种植面积为, 则三种花卉种植的总面积为:; (2)解:根据题意得,, , , . 23.(1)详见解析;(2)点E的坐标是,;(3)点M的坐标为,或点N的坐标为. 【分析】(1)由已知条件可得,有根据,,即可得证; (2)由(1)中结论,可得,进而得出AE,得出点E坐标,设直线的解析式为,将点B坐标代入,即可得解; (3)①设直线的解析式为,将点,点代入,即可得出直线解析式,联立直线CE和直线OB,即可得出点M的坐标;②设直线DE的解析式为,将点D ,点代入即可得出解析式,联立直线DE和直线OB,即可得出点N坐标.. 【详解】(1)∵正方形中,坐标系中 ∴ 又∵,正方形中 ∴ (2)∵, ∴ ∴ 又∵, ∴点E的坐标是 设直线的解析式为 将点的对应值,代入求得 ∴所求解析式为 (3)①求点M的坐标: 设直线的解析式为 由点,点得 解得 ∴直线的解析式为 解方程组得 ∴直线与直线的交点M的坐标为 ②仿①的方法求得点N的坐标为 设直线DE的解析式为 由点D ,点,得 解得 ∴直线DE的解析式为 联立方程组,得 解得 直线DE与直线OB的交点为N的坐标. 【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中三角形全等的判定和点坐标的求解,熟练掌握,即可解题. 24.(1)见解析;(2)见解析;(3). 【分析】(1)根据平行线的性质及角平分线的定义,通过角的运算得出; (2)如图所示作辅助线,根据已知条件,得出四边形为正方形,再根据角平分线的定义及全等三角形的性质得出; (3)如图所示作辅助线,通过辅助线及等量代换,得出,进而得出为等腰直角三角形,得出,再通过,设出未知数,表达出,根据已知条件及勾股定理,列出方程,解出A,B坐标,进而求出一次函数的解析式. 【详解】(1)如图1,∵平分 ∴ ∵正比例函数的图象是直线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ (2)如图2,过点作,垂足为点,过点作,垂足为点. ∵ ∴ ∴四边形为矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形为正方形 ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ ∵ ∴ (3)如图3,延长到点,由(2)问可得平分, ∵平分 ∴由(1)问的方法可得 ∵ ∴为等腰直角三角形 即 过点作交于点, ∵,, ∴ ∵,, ∴ ∴ ∴, 即为等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵,, ∴设, ∴,,,, ∵, ∴ 由(2)可知 设,则,即, 在中 ∴ 即, 设直线的解析式为 解得,. 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合知识,难度较大,在解决此类问题时,灵活运用一次函数的性质及角平分线、全等三角形、四边形、勾股定理等几何知识是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司 $$