精品解析：浙江省宁波市鄞州第二实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

鄞州第二实验中学2024学年第一学期初二期中加试考 数学试卷 考试时间：120分钟 考试总分：120分 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1. 下列曲线不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 4. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在正中，，分别在边，上，连接，的平分线过的内心，交于点，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 6. 设的平均数为，的平均数为，又的平均数为，若，则与大小关系______． 7. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 8. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形、、、的面积分别是2，5，1，2，则正方形，的面积是______． 9. 如图，中，平分，于点，，，则______． 10. 已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为______． 11. 设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则______． 12. 如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为______． 13. 已知关于x的不等式组,恰有3个整数解，则a的取值范围是__________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”．现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是_____． 15. 如图，在中，为边上的高线，点为线段上一点，且，若，，．则______． 三、解答题（本大题共3小题，每小题15分，共45分） 16. 如图①，一辆货车从甲地出发匀速驶往丙地，途经乙地；同时，一列轿车从乙地出发匀速驶往甲地，到达甲地后停留1小时，然后原速返回乙地，两车同时到达目的地，设货车行驶时，货车与乙地的距离为，轿车与乙地的距离为，，与的函数图象如图②所示． （1）货车的速度是______，轿车的速度是______； （2）计算点、点的坐标，并分别解释这两个点的实际意义； （3）设轿车、货车的距离为，在图③中画出与的函数图象（标明必要的数据）． 17. 【自主探究】（1）如图1，在中，点、、分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以证明； 【拓展应用】（2）如图2，在中，，，点、分别是边、上的动点，．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3．已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值． 18. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． （1）请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； （2）设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； （3）已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州第二实验中学2024学年第一学期初二期中加试考 数学试卷 考试时间：120分钟 考试总分：120分 一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 1. 下列曲线不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对x的一个值y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数加减法，因式分解，有理数乘方，根据有理数大小比较，有理数加减法，因式分解，有理数乘方的法则逐项计算分析判断即可． 【详解】解：A、由，得或或， 在以上三种情况下：，即，故本选项正确，符合题意； B、，假设，，则，故本选项不符合题意； C、，假设，，则，故本选项不符合题意； D、，假设，，则，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，已知每个小方格的边长为1，、两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点，使是等腰三角形，这样的格点有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当为底时，作的垂直平分线，当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，分别找到格点即可求解． 【详解】解：当为底时，作的垂直平分线，可找出格点的个数有2个， 当为腰时，分别以、点为顶点，以为半径作弧，可找出格点的个数有6个； 这样的顶点有8个． 故选：C． 4. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有( ) ①对于函数来说，随的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．①根据函数图象直接得到结论；②根据、的符号即可判断；③当时，；④当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故①正确； 由于，，所以函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； 一次函数与的图象的交点的横坐标为， ， ， ，故③正确； 当时，，， 由图象可知， ， ，故④正确； 综上，①②③④正确， 故选：D． 5. 如图，在正中，，分别在边，上，连接，的平分线过的内心，交于点，连接．若要知道的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，，，证明，得出，证明，，得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，，， ∵是的内心，， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，则， ∴是等边三角形， ∵的平分线过的内心， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴的周长． 即只需要知道的周长，即可求得的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内心的性质，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 6. 设的平均数为，的平均数为，又的平均数为，若，则与大小关系______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平均数，有理数的大小比较，由平均数的定义分别求出，再利用作差法即可比较出它们的大小，掌握平均数的定义及作差法是解题的关键． 【详解】解：∵的平均数为， ∴， ∵的平均数为， ∴， ∵的平均数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 7. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 【详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 8. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知正方形、、、的面积分别是2，5，1，2，则正方形，的面积是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 ， 故选：10． 9. 如图，中，平分，于点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用角平分线的性质，垂直易得到，进而得到，，结合图形可知和是分别以和为底边，高相等的两个三角形，进而得到，然后利用来求解． 【详解】解：延长交于点，如图 平分，， ，． 在和中 ， ， ， ． 和是分别以和为底边，高相等的两个三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键． 10. 已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 11. 设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 【详解】解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点作轴于，设直线与轴交于，由题意可得，，据此求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，设直线与轴交于， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过点的这条直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴该直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 13. 已知关于x的不等式组,恰有3个整数解，则a的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围 【详解】解不等式组得 由于不等式组有解,则,必定有整数解0 三个整数解不可能是-2,-1,0. ∵ 若三个整数解为-1,0,1,则 ， 此不等式组无解; 若三个整数解为0,1，2则 解得 ∴a的取值范围是 【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解题关键 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点是坐标系内一点，给出定义：若存在过点的直线与线段，都有公共点，则称点是线段，的“联络点”．现有点在直线上，且它是线段，的“联络点”，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】作直线、、以及，根据点、的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，分与两种情况考虑，根据直线在其他直线中间时，即可得出的取值范围． 【详解】解：作直线、、以及，如图所示． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． 观察图形可知： 当时，直线在轴（包括轴上）于直线之间，此时直线上的点均为“联络点”； 当时，联立直线与直线成方程组， 得：，解得：， 直线在时，图象在直线（包括直线上的点）、之间， ∴当时，直线上的点均为“联络点”． 故的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键． 15. 如图，在中，为边上的高线，点为线段上一点，且，若，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．作，使，则是等腰直角三角形，连接，作并交的延长线于点，证明，推出，，得到，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：作，使，连接，作并交的延长线于点， 则是等腰直角三角形， ∴，， ∵为边上的高线，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，每小题15分，共45分） 16. 如图①，一辆货车从甲地出发匀速驶往丙地，途经乙地；同时，一列轿车从乙地出发匀速驶往甲地，到达甲地后停留1小时，然后原速返回乙地，两车同时到达目的地，设货车行驶时，货车与乙地的距离为，轿车与乙地的距离为，，与的函数图象如图②所示． （1）货车的速度是______，轿车的速度是______； （2）计算点、点的坐标，并分别解释这两个点的实际意义； （3）设轿车、货车的距离为，在图③中画出与的函数图象（标明必要的数据）． 【答案】（1）70，105 （2），实际意义：轿车出发，在距离乙地的地方第一次相遇；，实际意义：轿车出发，都距离乙地 （3）如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的关系式，从函数图像获取信息，画函数图像， 对于（1），根据图像确定对应的路程和时间可得结论； 对于（2），用待定系数法分别求出直线对应的关系式，再联立求出解，可得坐标，然后结合实际情况得出实际意义即可； 对于（3），根据题意画出函数图像即可． 【小问1详解】 解：根据图像可知甲乙两地的路程为，货车从甲地到乙地用了，轿车从甲地到乙地，再返回用时． 所以货车的速度是，轿车的速度是． 故答案为：70，105； 【小问2详解】 解：设所在直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴所在直线的关系式为； ∵货车的速度是， ∴所在直线的关系式为． ∵轿车的速度是， ∴， ∴点，点， ∴所在直线的关系式为． 设所在直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴所在直线的关系式为． 将关系式联立，得 ， 解得， ∴点． 将关系式联立得 ， 解得， ∴点， ∴点G的实际意义是：轿车与货车出发时，在距离乙地的地方第一次相遇； 点H的实际意义是：轿车与货车出发时，都距离乙地； 【小问3详解】 由题意可知甲乙两地距离是，乙丙两地距离是. 17. 【自主探究】（1）如图1，在中，点、、分别在边、、上，若，那么与有何关系，并加以证明； 【拓展应用】（2）如图2，在中，，，点、分别是边、上的动点，．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3．已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值． 【答案】 （1），理由： ，， ∴， ， ； （2）①，理由： ， ， ， ， ； ②最小值为 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，将军饮马问题，勾股定理，二次根式，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求解； （2）①利用线段和差及等量代换即可求解； ②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，先证明，得到，在求出，即可确定点在射线上运动，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，，如图， ，， 由（1）可得， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 点在射线（固定）上运动， 点与点的关于对称， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ，， ， ， 由对称性可知，， ， 点是的中点，， ， ， 在中，， 的最小值为． 18. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设有两组实数，，，…，；，，，…，，则，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立． （1）请你写出并证明柯西不等式的二元形式（即取2）； （2）设是边长为1的正三角形内的任意一点，点到三条边的距离分别为、、，求的最小值； （3）已知，，，，是满足的实数，试确定的最大值． 【答案】（1） ， 证明：∵， ∴， ∴， 则 ， 故有成立； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题以柯西不等式为背景考查完全平方公式和不等式的性质， 根据题意即可得，结合，得到，即有； 根据题意得，结合柯西不等式和三角形面积得即可； 根据题意得，则，可得，结合完全平方公式有，则，整理化简得，即可求的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵边长为1的正三角形 ∴三角形的高为， 则， 根据柯西不等式得 ， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴，解得， 故的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $