精品解析：上海市实验学校南校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

SSES2024学年第一学期期中质量监测 （202411） （初二数学（含拓展题）） （闭卷）满分：100分+20分 时间：90分钟 考生注意：1．本试卷含四个大题，共26题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列根式，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的根为 B. 是的根 C. 方程的根为 D. 没有实数根 5. 在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直中，真命题的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 当 ______时， 在实数范围内有意义． 8. 化简：（a＞0）＝___． 9. 的倒数_________. 10. 化简：_____________． 11. 方程3x2=4x的根是_____． 12. 若一元二次方程有一个根为，则的关系是________． 13. 某商场对空调进行两次降价，假设两次降价的百分率相同，降价后的价格为降价前的，则每次降价百分率为_________． 14. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 15. 把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果那么”的形式：_________． 16. 如图，在中，，，，，那么的大小等于______________度． 17. 如图：已知在中，，垂足为D在边BC上，分别交线段DA、线段CA于点E、F，若，，，那么DC的长是_____． 18. 如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是______． 三、简答题：（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. ． 20. 解不等式：． 21. 解方程：（x+1）（x+2）=2x+4． 22. 用配方法解方程：． 23. 已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣（m﹣5）x＝﹣有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 四、简答题：（本大题共3题，第24、25每题6分，26题10分，满分22分） 24. 如图，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）当点是的中点时，判断的形状． 25. 如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度． 26. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ SSES2024学年第一学期期中质量监测 （202411） （初二数学（含拓展题）） （闭卷）满分：100分+20分 时间：90分钟 考生注意：1．本试卷含四个大题，共26题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列根式，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把各个二次根式化为最简二次根式，选出与不是同类二次根式的选项即可； 【详解】解：∵， ， ， ， ∴不能与合并的是 故选B． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念及二次根式的化简，掌握二次根式化简的方法是解题关键． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项：＝，故不是最简二次根式； B选项：＝2，故不是最简二次根式； C选项：是最简二次根式； D选项：＝，故不是最简二次根式； 故选C. 3. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可； 【详解】解：A、当时，该方程是一元一次方程；不符合题意； B、是分式方程；不符合题意； C、是关于的一元二次方程；符合题意； D、可化为： ，该方程是关于的一元一次方程；不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 的根为 B. 是的根 C. 方程的根为 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根与方程的逻辑关系，逐项判断即可； 【详解】解：A、的根为；选项错误，不符合题意； B、 是的根；选项正确，符合题意； C、方程 无实数根；选项错误，不符合题意； D、当 时， 有实数根；选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 5. 在命题：“三角形的一个外角大于三角形的每一个内角”、“底边及一个内角相等的两个等腰三角形全等”、“两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直中，真命题的个数有（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】解：三角形的一个外角大于任何与之不相邻的一个内角，故原命题错误，为假命题； 底边及一个底角相等的两个等腰三角形全等，故原命题错误，为假命题； 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，正确，为真命题， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，能够熟练掌握有关的命题及定理是解答本题的关键． 6. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， 在和中， ， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 当 ______时， 在实数范围内有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； 【详解】解：由题意得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件；熟练运用二次根式有意义的条件列不等式是解题的关键． 8. 化简：（a＞0）＝___． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的化简公式：，再把原式化为 ，再结合公式进行化简即可. 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解难题的关键. 9. 的倒数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出的倒数，然后分母有理化即可. 【详解】的倒数为= 所以答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式中的分母有理化，熟练掌握分母有理化的步骤和方法是关键. 10. 化简：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a＜0，然后根据二次根式的性质化简． 【详解】∵ ＞0， ∴ a＜0， ∴原式＝， 故填：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是关键． 11. 方程3x2=4x的根是_____． 【答案】0， 【解析】 【详解】试题解析： 故答案为 点睛：一元二次方程的解法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 本题用的是因式分解法. 12. 若一元二次方程有一个根为，则的关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】将x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，即可得出a、b、c的关系． 【详解】解：把x=﹣1代入ax2+bx+c=0中，得：a﹣b+c=0， ∴b=a+c． 故答案为b=a+c． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义：能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，比较简单． 13. 某商场对空调进行两次降价，假设两次降价的百分率相同，降价后的价格为降价前的，则每次降价百分率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设降价的百分率为，根据降价后的价格为降价前的，列方程即可解答． 【详解】解：设降价的百分率为， 根据题意，可得， 解得，（舍去）， 每次降价百分率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确读懂题意，得到等量关系是解题的关键． 14. 一个三角形的两边长分别为3和5，其第三边是方程的根，则此三角形的周长为________． 【答案】13 【解析】 【分析】因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当第三边为5时，则三角形的三边长为3、5、5，满足三角形三边关系，其周长为13； 当第三边为8时，则三角形的三边长为3、5、8，不满足三角形三边关系，舍去． 则此三角形的周长为13． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 15. 把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果那么”的形式：_________． 【答案】如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 【解析】 【详解】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形， 故答案为：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形. 16. 如图，在中，，，，，那么的大小等于______________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，证明，可得，再根据三角形内角和定理可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理得出是解题的关键． 17. 如图：已知在中，，垂足为D在边BC上，分别交线段DA、线段CA于点E、F，若，，，那么DC的长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用已知条件可以得到，，根据，得到：，再根据对顶角相等得到，进一步得到：，再利用，证明即可求出CD． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：6 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理和性质，勾股定理．掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 18. 如图：已知中，，，将绕点旋转得到，所在的直线与直线交于点，那么的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，将绕点顺时针或逆时针旋转得到，由等腰三角形的性质求出，由旋转的性质及三角形外角和定理——三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得出答案，掌握知识点的应用及分类思想讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，将绕点逆时针旋转得到， ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上可知：的度数是或， 故答案为：或． 三、简答题：（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. ． 【答案】 【解析】 【详解】 20. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后根据解不等式的方法和步骤解不等式即可； 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的混合运算、解一元一次不等式；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 21. 解方程：（x+1）（x+2）=2x+4． 【答案】x=﹣2或1 【解析】 【分析】先变形得到（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】原方程可变为：（x+1）（x+2）=2（x+2）． 即（x+2）（x﹣1）=0， 解得：x=﹣2或1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 22. 用配方法解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可； 【详解】解： ∴ ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法；熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 23. 已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣（m﹣5）x＝﹣有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根． 【答案】m＝3时，x1＝x2＝﹣或m＝9时，x1＝x2＝ 【解析】 【分析】将方程变形为，根据根与系数的关系得，解得m＝3或m=9，当m＝3时代入方程得2x2+2x+＝0，解得，当m＝9时代入原方程得8x2﹣4x+＝0，解得． 【详解】解： ， 根据题意得， 解得m＝3或m=9， 当m＝3时， 2x2+2x+＝0， （x+）2＝0， 解得； 当m＝9时， 8x2﹣4x+＝0， （x﹣）2＝0， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 四、简答题：（本大题共3题，第24、25每题6分，26题10分，满分22分） 24. 如图，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）当点是的中点时，判断的形状． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）是直角三角形 【解析】 【分析】（）由两直线平行内错角相等得到，继而证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可； （）由得，再结合等腰三角形的三线合一性质得到，根据中位线性质定理得，再由平行线的性质解得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（）得， ∴，即为上的中线， ∴， ∵点是的中点，， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，中位线性质定理，直角三角形的判定，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 25. 如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度． 【答案】10米 【解析】 【分析】设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米，根据长方形面积公式列方程得x（42﹣3x）＝120，解方程得x1＝4，x2＝10，根据围墙的长为16米得到关于x的不等式，确定x的取值范围，进而确定x的值，问题得解． 【详解】解：设长方形养鸡场AB边的长度为x米，则BC边的长度为（42﹣3x）米， 由题意得：x（42﹣3x）＝120， 整理，得：x1＝4，x2＝10． ∵42﹣3x≤16， ∴x≥， ∴x＝10． 答：围成长方形养鸡场AB边的长度为10米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意要根据墙长对x的值进行取舍． 26. 已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． （1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． （2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）或或； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【小问1详解】 解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $