2025年中考数学复习专题 二次函数专项训练

二次函数专项训练-2025年中考数学专题 一、单选题 1．已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（   ） A．2，，11 B．2，，5 C．，，11 D．，8，5 3．已知二次函数，当点、、在函数图象上时，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线（m为常数）经过点，则该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 6．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象过点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 8．如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A． B．或6 C．或10 D．，6或10 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标是 ． 10．已知函数的图像与轴只有一个交点，且对称轴在轴的左侧，则的值为 11．如图，抛物线与直线交于和两点，则不等式的解集是 ． 12．如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长 米． 13．已知抛物线（a，b是常数且），已知，点，，都在该抛物线上，则m，n，t的大小关系是 （用“”连接）． 14．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 15．如图，点是线段上的动点，cm，°，°，连接是线段的中点，连接，则的最小值是 cm． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，点为抛物线上的两点． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求h的取值范围． 17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了增加盈利，但要保证顾客得到实惠，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出10件． (1)若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件降价多少元时商场平均每天能获得最大盈利？ 18．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 19．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于 A、B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上，C点的坐标为，抛物线经过点 A、B、C ． (1)求抛物线的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集 (3)若点 P 是抛物线上一动点，且在直线上方，过点 P 作 的垂线段，垂足为 Q 点．当 时， 求P点坐标． 20．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点A和点B是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，A喷头喷出的水流的落地点为C．以O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从A喷头和B喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； (1)求A喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点D处，．当围观游人喊声较大时，B喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点D处？ 21．抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，若的顶点为， ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，请直接写出P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B B C D B 1．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解一元二次方程，根据题意得出，代入方程，因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∴， ∴，， 解得：， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，由题意得出，结合题意得出抛物线的顶点坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标为，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数关于轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转，所得抛物线与抛物线的开口方向相同， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴最后得到的抛物线的解析式为， ∴． 故选：A． 3．B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点、、在函数图象上， 且 ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，把点代入求得解析式为，再令，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， ∴抛物线解析式为：， 令，， 解得：，， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 6．C 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是． 故选： C． 7．D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 当时，点还未出发，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，函数图象为线段， ∴当时点还未出发，当时, 点开始出发，此时， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动，当时，点P到达点A， ∴， 当点在上时，且时，， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动， ∵当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，又两点运动速度相同， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得，（负值不合题意，舍去）， ，， ， ， 当时，， 令，得； 当时，， 此时随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为； 当时，， 令，得，（不合题意，舍去）． 综上所述若的面积为2，则的值为或6． 故选：B． 9． 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标．熟练掌握顶点式是解题的关键． 利用抛物线的解析式为顶点式解析式，即可求其顶点坐标． 【详解】抛物线的顶点坐标是 ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数与轴的交点个数与其对应一元二次方程根的判别式直间的关系是解题的关键．根据题意可得，得到关于的方程，从而求出，再根据函数的对称轴在轴的左侧，求出，即可求解． 【详解】解：函数的图像与轴只有一个交点， ， 解得：， 函数的对称轴在轴的左侧， ， 解得：， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，由不等式可得，即求抛物线在直线的下方对应的的取值范围，结合图象即可求解，掌握数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 12．//2.25 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式，求出二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 令，得， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题． 【详解】解：解不等式组可得：，且， 所以对称轴的取值范围在， 由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是， 即根据增减性可得， 故答案为：． 14．①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 15．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知条件可得、 、都是直角三角形，设，由30度直角三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的最值求出的最小值． 【详解】解：∵°，°， ∴， ∴，，， 设，则， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即：， ∴当时，取最小值为， 此时取最小值， 故答案为：． 16．(1)直线 (2)当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得； （2）根据题意分两种情况讨论：和，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，且点在此抛物线上， ∴点一定在对称轴的右侧，时的函数值与时的函数值相等，时的函数值与时的函数值相等， 由题意，分以下两种情况： ①当时，若点在对称轴的右侧， 要使对于，都有， 则， 解得； 若点在对称轴的左侧， 要使对于，都有， 则， 解得； ②当时， 要使对于，都有， 则， 解得， 综上，当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为． 17．(1)若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； (2)每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为30， 所以，若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； （2）解：设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元， 答：每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 18．(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而减小 (3)． 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而减小； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质等知识点． （1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据图象判断即可； （3）作轴于点E，交于点D，根据函数图象求得，，设点，则点，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解∶当，， 当，， 解得， ， 把，，C，代入抛物线解析式， 得， 解得， 该抛物线的解析式为： ； （2）解：∵，， 当时，抛物线在直线的上方， 不等式的解集为：； （3）解：作轴于点，交于点，作于，如图，当P在上方时， 在中， ， ， ， 在中，， ， ， 设点，则点， ， 即，解得，则， 点坐标为 20．(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：根据题意，令，易得， 令，，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为，此时， 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 21．(1)①；②6 (2)证明见解析，定点的坐标． 【分析】（1）①用待定系数法求解即可； ②先求出抛物线与坐标轴的交点，，，再用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，得出，用待定系数法求出直线的解析式为，然后联立，，求解即可得出点P坐标． （2）根据抛物线的平移求得抛物线的解析式为，联立，，则，所以，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时， ，所以直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵， ∴令，则， 解得：，， ∴，， 令，则 ∴； 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 联立，，解得：，， ∴． ∴P点横坐标为6． （2）证明：∵将抛物线：平移得到抛物线，的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，，则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵ ∴设直线的解析式为， 联立，，则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为 联立，，则， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为， 联立，得， ∴，， ∴ ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，综合性较强，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$