精品解析：福建省泉州市安溪县俊民中学2025届高三上学期11月测评数学试题

2024~2025学年高三11月测评（福建） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 7. 数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数最小值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 函数过定点 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为 D. 函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 当点为的中点时，到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则__________. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则__________. 14. 记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，若，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 函数，其中为整数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的最大值. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高三11月测评（福建） 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限. 【详解】由题设， 则对应点为在第三象限. 故选：C 3. 若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合对数函数的性质判断即可. 【详解】若，则，即或， 当时，，则， 当时，，则， 所以“”是“”的充分条件. 若时，满足，而， 所以“”是“”的不必要条件. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直关系得，再由投影向量公式求解. 【详解】由于， 则，即， 可得， 则在方向上的投影向量为. 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，，利用凑角法求出答案. 【详解】由题意得，， 故 . 故选：B 6. 定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性得到，，从而得到，换元得到在上的最小值为，根据对称轴，分和两种情况，根据函数单调性得到最小值，从而得到方程，求出答案. 【详解】①，故， 因为为上的偶函数，为上的奇函数， 故，所以②， 式子①和②联立得，， ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的最小值为， 由于的对称轴为， 故当时，在上单调递增， 故，解得，不合要求，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得，负值舍去； 故选：C 7. 数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，结合三角函数性质有，即可求值. 【详解】由题设，，且当为偶数时，当为奇数时， 所以 . 故选：B 8. 函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（ ） A. B. e C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有，构造，易得，结合已知进一步得到，根据其导数求其最小值. 【详解】由题设，可得， 令，则，故， 所以，其中为常数，又，则， 所以，故，则， 而，定义域为， 当时，，故在上递减， 当时，，故在上递增， 所以的极小值，也是最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据已知得到，结合形式构造为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数最小值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二次函数的基本性质可判断A选项；利用基本不等式可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，， 当且仅当时，函数取最小值，A不满足条件； 对于B选项，因为，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即函数的最小值为，B满足条件； 对于C选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最小值为，C满足条件； 对于D选项，当时，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D满足条件. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小正周期为 B. 函数过定点 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为 D. 函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质判断A、B；图象平移确定解析式，根据偶函数求参数判断C；令，化为在有5个根求参数范围判断D. 【详解】A：由题设，则最小正周期为，错； B：显然恒成立，故函数过定点，对； C：函数的图象向左平移个单位得为偶函数， 所以，可得且，又， 所以的最小值为，对； D：由题意在上有5个根，而， 所以在有5个根，如下图示， 所以，可得，错. 故选：BC 11. 已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 当点为的中点时，到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意有是边长为的等边三角形，求面积判断A；利用线面平行、面面平行的判定证面面，结合正方体的结构特征有面，当重合时三棱锥体积最大，且当在上除外运动时，平面，判断B、C；根据已知求得，再由到直线的距离为判断D. 【详解】由题意，可得是边长为的等边三角形，故其面积为，A对； 由题设，面，面，则面， 同理可证面，且在面内，故面面， 根据正方体性质，易得面，即面， 结合正方体的结构，易知当重合时，三棱锥体积最大， 由A分析，易知棱锥的高， 此时到面的距离，则，B错； 由上知，当在上除外运动时，平面，轨迹长为，C对； 若点为的中点，此时，且， 所以，则， 所以到直线的距离为，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】依次代入求解即可. 【详解】，， 所以. 故答案为：1 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，从而解得. 【详解】根据题意，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 即解得或（舍）， 所以. 故答案为：2 14. 记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数法求极值，得，设，因为，结合已知得，再利用裂项相消法求和. 【详解】函数定义域为，且， 令，得， 如图所示，不妨设， 因为，所以， 解得，代入条件得， 化简得：， 即， 所以 . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据导数法求极值，得，设，因为，从而得，代入已知化简得：，从而可得，可解问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，若，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出，得到通项公式和前项和； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【小问1详解】 设公差为，则， ， 解得，故； ； 【小问2详解】 ， 故①， 则②， 式子①-②得 ， 所以. 16. 如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点. （1）证明：平面； （2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 由，分别为底面半圆弧上的两个三等分点，易知且， 若是中点，而为母线的中点，则且， 所以且，则为平行四边形，故， 由面，面，故平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）若是中点，根据题设证，再由线面平行的判定证结论； （2）作，连接，利用线面垂直的判定及性质定理，结合面面角的定义确定所求角为或其补角，进而求其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，连接，如上图所示， 由题意，面面，，面，面面， 所以面，面，则， 由都在面内，则面，而面， 所以，又都在面内，故面， 由面，则，结合，且面，面， 所以平面与平面的夹角为或其补角， 令等边三角形的边长为2，则，由题设易知，则，， 在中上的高，则， 所以，故， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 17. 函数，其中为整数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）当时，可得恒成立；当时，转化问题为对于恒成立，设，，进而利用导数分析求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 而，则， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，则恒成立， 当时，由，得， 即，则， 即对于恒成立， 设，， 则， 当时，显然恒成立，则函数在上单调递增， 则，满足题意； 当时，令，即，解得， 此时函数在上单调递减， 则，不满足题意. 综上所述，的最大值为2. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积； （3）以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，从而可得三角形面积； （3）以为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即，可解问题. 【小问1详解】 根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，， 代入，得， 两边同时除以，， 由于，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 即， 由余弦定理， 即，的面积； 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，所以， 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， ， 故可设（为变量） 则， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得，两边同时除以，，接下来由等式左右两边的范围得是解题的关键. 19. 设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间. （1）已知函数，求的凹、凸区间； （2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有. ①将不等关系转化为对应的不等式； ②证明：当，时，恒成立. 【答案】（1）凹区间为，凸区间为； （2）①； ②对不等式两边取对数，问题等价于， 恒成立， 构造函数，， 即恒成立， ，令， ， 令，即，解得， 所以是函数的凹区间， ，所以当时，是凹函数， 由①知，，当时，等号成立， 所以时，恒成立， 即恒成立. 【解析】 【分析】（1）二次求导，得到导函数的单调区间得到的凹区间和凸区间； （2）①表达出的坐标，由得到结论； ②对不等式两边取对数，问题等价于，构造函数，，二次求导，得到是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，结合①的结论得到答案. 【小问1详解】 因为的定义域为，， 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的凹区间为，凸区间为； 【小问2详解】 ①对于凹函数定义域中的任意两个自变量， ，， ，， 所以，， 由，有， ②略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $