3.4.3 课时2 平面与平面的夹角课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时2 平面与平面的夹角 作者编号：、32200 1.会用向量法求二面角的大小. 2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系. 学习目标 作者编号：、32200 问题1：两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？ 我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β所成的角. 平面α与平面β相交，形成四个二面角， 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面所成的角的范围是 新知讲解 作者编号：、32200 问题2：二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A，作PB⊥β于点B， 设平面PAB交直线l于点O，连接AO，BO， 不难证明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. 则 (或 )是平面α的一个法向量， (或 )是平面β的一个法向量. ∵在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO= 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)). 新知讲解 作者编号：、32200 例1:如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值． 解：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A­-xyz， 则S(0，0，1)，D，C(1，1，0)，B(0，1，0)， ∴＝＝(1，1，－1)． 设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则n·＝0，n·＝0， 新知讲解 作者编号：、32200 ∴∴ 令z＝1，得n＝(2，－1，1)． 易得是平面SAB的一个法向量，且＝(1，0，0)， ∴cos 〈，n〉＝＝. 设平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝. 例1:如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD， SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 利用向量法求二面角的步骤: （1）建立空间直角坐标系； （2）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； （3）求两个法向量的夹角； （4）判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角； （5）确定二面角的大小. 新知讲解 作者编号：、32200 例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上， AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长. 解：∵AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为 新知讲解 作者编号：、32200 例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上， AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 求解与二面角有关的线段长度问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角要结合实际图形来确定. 新知讲解 作者编号：、32200 1.已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是(　　) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不确定 D D 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC=AB=BD=6，则CD= . 12 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？ 2.二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$