3.4.3　一(3)两个平面所成的角　课时作业-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

课时作业(三十三)　 两个平面所成的角 [练基础] 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 2．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C. D．以上都不对 3．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A­PC­B的平面角 B．∠AED是二面角A­PB­C的平面角 C．∠DAE是二面角B­PA­C的平面角 D．∠ACB是二面角A­PC­B的平面角 4．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A­BD­C的正弦值为(　　) A. B. C. D. 5．如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A. B. C. D. 6．[多选题]若直线a的方向向量为a，平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a⊥n，则直线a∥平面α B．若a∥n，则直线a⊥平面α C．若cos〈a，n〉＝，则直线a与平面α所成角的大小为 D．若cos〈m，n〉＝，则平面α，β的夹角为 7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________. 8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P­BC­A的大小为________． 9．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD的夹角的正弦值为________． 10．如图所示，在几何体S­ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值． [提能力] 11．[多选题]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．B1G⊥BC B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1 C．A1H∥平面AEF D．二面角E­AF­C的大小为 12．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝2，E，F分别是AB，AP的中点．则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 13．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD的夹角为，则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是________． 14．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为____________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为____________． 15．如图，在直三棱柱中A1B1C1­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值． [培优生] 16．在底面为锐角三角形的直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱BC的中点，记直线B1D与直线AC所成角为θ1，直线B1D与平面A1B1C1所成角为θ2，二面角C1­A1B1­D的平面角为θ3，则(　　) A．θ2<θ1，θ2<θ3 B．θ2>θ1，θ2<θ3 C．θ2<θ1，θ2>θ3 D．θ2>θ1，θ2>θ3 课时作业(三十三) 1．解析：∵cos 〈m，n〉＝＝，∴二面角的大小为45°或135°.故选C. 答案：C 2．解析：∵cos 〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.故选B. 答案：B 3．解析：由二面角定义及三垂线定理知选B. 答案：B 4．解析： 取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A， B，D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos 〈n，〉＝，∴sin 〈n，〉＝.故选C. 答案：C 5．解析： 如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC