3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 点在空间 直角坐标系中的坐标 作者编号：、32200 x 0 数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示 -1 -2 1 2 3 A B 在数轴上，如何确定一个点的位置？ 问题导入 作者编号：、32200 平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点 x y P O x y (x,y) 在平面坐标系中，如何确定一个点的位置？ 问题导入 作者编号：、32200 在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂，如何确定它的位置？ 问题导入 作者编号：、32200 1.了解空间直角坐标系. 2.在给定的空间直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标. 学习目标 作者编号：、32200 如图，过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. x y z O 坐标原点 横轴 纵轴 竖轴 通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面. 概念讲解 新知讲解 作者编号：、32200 一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面. 它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向. 我们也称这样的坐标系为右手系(如图). 新知讲解 作者编号：、32200 注意： (1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分. (2)将x轴和y轴放在水平面上. (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合. (4)建立的坐标系均为右手系. 新知讲解 作者编号：、32200 讨论：如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？ 提示：类比平面上点的坐标的确定方式,可以先作出点P在三条坐标轴上的投影,再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可. 新知讲解 作者编号：、32200 如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点A、点B和点C， 设点A在x轴上、点B在y轴上、点C在z轴上的坐标依次为a,b,c，那么点P应对应唯一的三元有序实数组(a,b,c). 则点A，B，C分别是点P在x轴、y轴和z轴上的投影. 讨论：如果点P是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？ 新知讲解 作者编号：、32200 反过来，任意给定一个三元有序实数组(a，b，c)，按照刚才作图的相反顺序，可以先在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为a，b和c的点A、点B和点C，再过点A，B，C各作一个平面，使之分别垂直于x轴、y轴和z轴，则这三个平面的唯一交点就是由三元有序实数组(a，b，c)确定的点P. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 空间中点的坐标：在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x,y,z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间，就建立了一一对应的关系： P↔(x，y，z). 横坐标 纵坐标 竖坐标 新知讲解 作者编号：、32200 例1:如图，在空间直角坐标系O-xyz中，已知长方体OABC-O'A'B'C'，|OA|=3，|OC|=4，|OO'|=2，写出O'，A'，B'三点的坐标. 解：点O'在z轴上，且|OO'|=2，则它的竖坐标为2， 又它的横坐标和纵坐标都为0，∴点O'的坐标为(0，0，2). 点A'在zOx平面内，则它的纵坐标为0. 点A'在x轴、z轴上的投影依次为点A、点O'，又|OA|=3，|OO'|=2， ∴点A'的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A'的坐标为(3，0，2). 点B'在x轴、y轴和x轴上的投影依次为点A、点C和点O'， ∴点B'的坐标为(3，4，2). 新知讲解 作者编号：、32200 例2:在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)． 解：方法一　先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置， 因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4， 且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧， 这样就可确定点M的位置了(如图所示)． 新知讲解 作者编号：、32200 方法二　以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体， 使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)． 例2:在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)． 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 (1)先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置； (2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点． 由点的坐标确定点位置的方法： 新知讲解 作者编号：、32200 1.(多选)下列命题中正确的是( ) A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D.在空间直角坐标系中，在zOx平面上的点的坐标是(a，0，c) 2.在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2，3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为 ． BCD (－4，0，0) 当堂检测 作者编号：、32200 3.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.建立如图所示的坐标系，则点B，C，E，A1的坐标分别为_____________________________. (2,2,0)，(0,2,0)，(0,2,1)，(2,0,4) 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间直角坐标系是什么？ 2.点在空间直角坐标系中的坐标表示. 3.如何根据点的坐标确定点的位置？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$