3.4.3 课时4 点到直线的距离课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 课时4 点到直线的距离 作者编号：、32200 1.掌握点到直线的距离公式. 2.能够用向量方法解决空间中的点线距离问题. 学习目标 作者编号：、32200 如图，在空间中任取一点 <m></m> ，作 <m></m> ， <m></m> ，过点 <m></m> 作直线 <m></m> 的垂线，垂足为 <m></m> ，回答下列问题. 问题1：向量</m>在向量<m></m>上的投影向量是什么？ 问题2：设与 <m></m> 方向相同的单位向量为 <m></m> ，则向量 <m></m> 在向量 <m></m> 上的投影向量等于什么？ </m> <m> </m> 新课导入 作者编号：、32200 问题3：在下图中，怎样求线段 <m></m> 的长度？长度的表达式是什么？ 利用勾股定理， <m></m> 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为 注意：相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 课题探究 作者编号：、32200 例1 在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz， 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)． ∴直线EF的方向向量＝(1，－2，1)； 取直线EF上一点F(1，0，2)，则＝(－1，0，2)． 课题探究 作者编号：、32200 ∵在上的投影为·＝， 所以点A到直线EF的距离d＝＝. 例1 在棱长为2的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 1.求直线的方向向量. 2.计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度. 3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 课题探究 作者编号：、32200 例2 线段AB在平面α内，AC⊥α，BD⊥AB，且BD与α所成角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 解：当C，D在平面α的同侧时，由AC⊥α，AB⊄α可知AC⊥AB. 过点D作DD1⊥α，D1为垂足，则 ∠DBD1＝30°，〈〉＝120°， ∴||2＝||2＝＋＋＋2·＋2·＋2· ＝b2＋a2＋b2＋2b2cos 120°＝a2＋b2.∴||＝ 当C，D在平面α的异侧时，〈〉＝60°， 同理可以求出||＝. 所以||＝或. 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 因C，D两点相对平面的位置不同，会出现点C，D在平面α的同侧和异侧两种情况，对于此类问题，应注意分类讨论． 课题探究 作者编号：、32200 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 平面 外一点 到平面 的距离，就是点 与平面内一点 所成向量 的长度. ( ) （2） 若直线 平面 ，则直线 到平面 的距离就是直线 上的点到平面 的距离. ( ) （3） 若平面 ，则两平面 ， 的距离可转化为平面 内某条直线到平面 的距离，也可转化为平面 内某点到平面 的距离.( ) × √ √ 当堂检测 作者编号：、32200 2.已知空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，－1)，C(0，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 3.已知直线 的方向向量为 ，点 在直线 上，则点 到直线 的距离为( @8@ ) A. B. C. D. A D 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.点到直线的距离公式是什么？ 课后小结 作者编号：、32200 $$