2.4.1直线与圆锥曲线的交点课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.4.1 直线与圆锥曲线的交点 作者编号：、32200 前面已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线和抛物线等一系列的特殊曲线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应的圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系，直线与圆锥曲线交点的个数可以通过作出图象来确定.那么，我们是否还可以通过方程组的解的个数确定两者的交点个数呢？ 新课导入 作者编号：、32200 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数. 2.会由直线与圆锥曲线的交点个数，求参数的范围. 学习目标 作者编号：、32200 例1 对不同的实数值m，讨论直线y=x+m与椭圆＋y2＝1的交点个数. 解：由消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)， 当Δ＞0时，m2＜5，∴－，此时直线与椭圆相交，有两个交点； 当Δ＝0时，m2＝5，∴m＝±，此时直线与椭圆相切，有且只有一个交点； 当Δ＜0时，m2＞5，∴m＞或m＜－，此时直线与椭圆相离，没有交点. 课题探究 作者编号：、32200 判断直线与椭圆的位置关系的方法 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 思考：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？ 直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的. 但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切. 因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，当直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属于直线与双曲线、直线与抛物线相交，而非相切. 课题探究 作者编号：、32200 例2 已知双曲线</m>和定点<m></m> ，过点可以作几条直线与双曲线只有一个公共点，并求出公共点坐标. 解：当过点 <m></m> 的直线 <m></m> 的斜率存在时，设直线 <m></m> 的方程为 <m></m> ， 与 <m></m> 联立消去 <m></m> 得 <m></m> . <m></m> ①当 <m></m> ，即 <m></m> 时， <m></m> 式变为一元一次方程，解得 <m></m> 或 <m></m> . 此时直线 <m></m> 与双曲线交于点 <m></m> 或点 <m></m> ，即直线过点 <m></m> 且平行于渐近线的情形. 课题探究 作者编号：、32200 ②当 <m></m> 时，由 <m></m> ，得 <m></m> ， 此时 <m></m> ，交点为 <m></m> . 易知当过点 <m></m> 的直线斜率不存在时，直线方程为 <m></m> ，交点为 <m></m> ，满足题意. 所以过点 <m></m> 有四条直线与双曲线只有一个公共点，公共点坐标分别为<m></m>，，，<m>. 例2 已知双曲线</m>和定点<m></m> ，过点可以作几条直线与双曲线只有一个公共点，并求出公共点坐标. 课题探究 作者编号：、32200 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 例3 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点，求直线l的方程. 解：如图. (1)当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件. (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1. 由方程组 消去y并整理，得kx2+(2k-1)x+1=0.(*) A x y O · · · 课题探究 作者编号：、32200 例3 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点，求直线l的方程. ①当k2=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件； ②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是∆=(2k-1)2-4k2=0. 解得k= .此时，方程组有唯一的实数解，符合条件. 综上，满足题意的直线l有三条： A x y O · · · 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 设直线l：y＝kx+m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 课题探究 作者编号：、32200 1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 2.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(－2,2) B.[－2,2) C.(－2,2] D.[－2,2] A A 当堂检测 作者编号：、32200 3.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝ . C 0或1 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.判断直线与椭圆位置关系的方法步骤. 2.如何判断直线与抛物线的位置关系？直线与双曲线呢？ 课后小结 作者编号：、32200 $$