6.1反比例函数同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级上册

6.1反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．圆的周长与直径成正比例关系 C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D．车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系 3．函数y＝x+3与y＝的图象的交点为（a，b），则的值是（　　） A．- B． C．- D． 4．若函数是反比例函数，的值是（　　） A． B．1 C． D．不能确定 5．下列函数中是反比例函数的是（　　　） A． B． C． D． 6．已知反比例函数的图象如图所示，点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 7．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷 8．若点在反比例函数的图象上则的值是（    ） A． B． C．1. 5 D．6 9．下列函数中，属于反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点A是反比例函数y=-图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，交反比例函数的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则k的值为(   ) A．8 B．﹣4 C．5 D．﹣8 12．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．当时，反比例函数的值为，则 ． 14．若点在双曲线上，则代数式的值为 ． 15．已知y与x-2成反比例，且比例系数为k≠0，若x=3时，y=4，则k= ． 16．已知点A(－2，－2)在反比例函数(k≠0)的图象上，则k的值为 ． 17．已知某个反比例函数，它在每个象限内，y随x增大而增大，则这个反比例函数可以是 （写出一个即可）． 三、解答题 18．（1）已知函数是y关于x的反比例函数，求m的值． （2）如图，在中，点D，E分别在边，上，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 19．三个小球上分别标有数字，，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点． (1)请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点所有可能的结果； (2)求点在函数的图象上的概率． 20．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 21．某小型开关厂准备投入一定的经费用于现有生产设备的改造以提高经济效益．通过测算，开关的年产量y万只与投入改造经费x万元之间满足：与成反比例，且当投入改造经费1万元时，年产量是2万只．求年产量y与投入改造经费x之间的函数表达式． 22．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价(元/双) 150 200 250 300 销售量(双) 40 30 24 20 (1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式； (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？ 23．如图，已知点A的坐标为（a，4）（其中a<-3），射线OA与反比例函数的图象交于点P，点B，C分别在函数的图象上，且AB∥x轴，AC∥y轴，连结BO，CO，BP，CP． （1）当a=-6，求线段AC的长； （2）当AB=BO时，求点A的坐标； （3）求证：．    24．已知是关于的函数，若存在时，函数值，则称函数是关于的倩影函数，此时点叫该倩影函数的影像点． （1）判断函数是否为倩影函数．如果是，请求出影像点．如果不是，请说明理由； （2）已知函数（）． ①求证：该函数总有两个不同的影像点； ②是否存在一个值，使得函数（）的影像点的横坐标，都为整数，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A B C D A B A 题号 11 12 答案 A B 1．D 【分析】将各点的横坐标代入解析式求出函数值，与各点纵坐标相比较即可判断． 【详解】解：A.当时，，故该点不在反比例函数图象上； B. 当时，，故该点不在反比例函数图象上； C. 当时，，故该点不在反比例函数图象上； D. 当时，，故该点在反比例函数图象上； 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，正确理解点的横坐标与纵坐标符合解析式是解题的关键． 2．B 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； B、圆的周长与直径成正比例关系，该说法正确，故本选项符合题意； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； D、车辆行驶的速度一定时，行驶的路程与时间成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键． 3．A 【分析】把交点（a，b）分别代入函数y＝x+3与y＝，得到b﹣a＝3，ab＝﹣2，再代入=即可求出. 【详解】解：∵函数y＝x+3与y＝﹣的图象的交点为（a，b）， ∴b＝a+3，b＝﹣， ∴b﹣a＝3，ab＝﹣2， ∴===-. 故选A． 【点睛】此题主要考查反比例函数，解题的关键是将已知点代入各解析式得到有关式子. 4．A 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出的值即可． 【详解】∵是反比例函数， ∴， 解得． 故选：A 5．B 【分析】由反比例函数的定义，分别作出判断，即可得到答案． 【详解】解：由反比例函数的定义，则 、、，都不是反比例函数，故A、C、D错误； 是反比例函数，故B正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义进行判断． 6．C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，根据反比例函数图象上的点，横纵坐标值的乘积等于比例系数，逐一判断即可． 【详解】解：， 点的坐标可能为， 故选：A． 7．D 【分析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误， 再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B． 【详解】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限， ∴y随x的增大而减小， ∴A，B错误， 设y=（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50， ∴y=， 把y=2代入上式得：x=25， ∴C错误， 把x=50代入上式得：y=1， ∴D正确， 故选D. 8．A 【分析】将A的坐标代入反比例函数进行计算，可得答案． 【详解】将A（﹣2，3）代入反比例函数，得k＝﹣2×3＝﹣6，故选A． 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是将点A代入反比例函数． 9．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，解析式符合的形式为反比例函数，逐项判断即可，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； B、符合反比例函数的定义，故是反比例函数，符合题意； C、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； D、不符合反比例函数的定义，故不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 10．A 【分析】本题考查了反比例函数，熟记函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义对各选项分析判断即可解答． 【详解】解：A、是反比例函数，故本选项正确． B、是一次函数，故本选项错误． C、是二次函数，故本选项错误． D、是一次函数，故本选项错误． 故选：A． 11．A 【分析】根据反比例函数k的几何意义，即可得到S△BOC＝|﹣2|＝1，再根据反比例函数k的几何意义，即可得出k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点B，BC⊥x轴， ∴S△BOC＝|﹣2|＝1， 又∵△OAB的面积为3， ∴△AOC的面积为4， 又∵反比例函数y=图象经过点A，AC⊥x轴， ∴|﹣k|＝4， 解得k＝±8， 又∵﹣k＜0， ∴k＞0， ∴k＝8， 故选A． 【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 12．B 【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如为常数，的函数称为反比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，选项A不符合题意； B、是反比例函数，选项B符合题意； C、不是反比例函数，选项C不符合题意； D、不是反比例函数，选项D不符合题意； 故选：B． 13． 【分析】直接把x的值与y的值代入反比例函数计算出k的值． 【详解】∵当时，反比例函数的值为， ∴， ∴k=2. 故答案是：2. 【点睛】考查了反比例函数的定义，k的值为一对自变量和因变量的乘积，解题关键是将x、y的值代入计算即可． 14． 【分析】本题考查反比例函数解析式，利用反比例函数的解析式求出的值，进一步可求出的值． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴， ∴， 故答案为：． 15．4 【分析】成反比例的两个数的乘积是定值，把x=3，y=4代入即可求得k的值． 【详解】解：由题意知k=y（x-2） ∵x=3时，y=4， ∴k=4×（3-2） =4． 故答案为：4 【点睛】用待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的一般形式为y=（k≠0）．可变形为xy=k.代入数据计算． 16．4 【详解】∵点A(－2，－2)在反比例函数(k≠0)的图象上， ∴，解得k＝4． 17．y=－． 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随着x的增大而增大． 考点：反比例函数的性质 18．（1）；（2）18 【分析】（1）根据反比例函数的自变量的指数为，系数不为0，解答； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积． 本题主要考查了反比例函数，相似三角形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，相似三角形的性质． 【详解】（1）∵函数是y关于x的反比例函数， ∴， 解①得，，， 解②得，， ∴m的值为． （2）∵，相似比是， ∴． ∵， ∴， 即的面积为18． 19．(1)、、、、、、、、 (2)点在函数的图象上的概率是 【分析】（1）按照题意画出树状图即可得到答案； （2）根据（1）所求结合反比例函数的性质求出在函数的图象上的点的个数，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，    ∴点的所有可能结果是：、、、、、、、、． （2）解：∵点的所有可能结果是：、、、、、、、、． ∴点、在函数的图象上， ∴点在函数的图象上的概率是． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，反比例函数图象上点的坐标特点，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 21． 【分析】设，求出的值，化简即可． 【详解】解：由题意得：设 ∵当投入改造经费1万元时，年产量是2万只 ∴ 解得： ∴ 即： 【点睛】本题考查反比例关系．根据题意正确设出关系式即可． 22．(1)， (2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元 【分析】（1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）根据“售价进价销售量利润”列出式子，整理即可求解． 【详解】（1）（1）由表中数据得：， ， 是的反比例函数， 故所求函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根，符合题意. 答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． 23．（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）当时，由于轴，所以点的横坐标也为-6，将点的横坐标代入反比例函数解析式即可求得点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据轴.可以得到点和点的纵坐标相同，由此根据反比例函数解析式即可求得点的坐标，所以的长度可以求出，再结合，求出点的坐标； （3）分别延长交轴于点，延长交轴于点，根据轴，轴，可以证得四边形为矩形，所以，而根据反比例函数的性质可得，所以，利用面积关系即可得到，从而得到证明； 【详解】解：（1）∵轴， ∴点、的横坐标相等． ∴点的坐标． ∴． （2）∵轴， ∴点、的纵坐标相等， ∴点的坐标． ∴． ∴点． （3）延长交轴于点，延长交轴于点，连接． ∴轴，轴， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为矩形． ∴． 又， ∵． 又∵，， ∴． ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的面积关系，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解决本题的关键，难度中等，需要仔细分析图形. 24．（1）函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2），理由见详解；（2）①见详解；②不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数，理由见详解． 【分析】（1）把点（p，−p）代入，有解则是倩影函数，求出影像点； （2）①把点（p，−p）代入，得到关于p的二次方程，用根式判别式证明；②在①的条件下，求出x的值，结合x为整数求出k的值． 【详解】（1）解：由题意得：把点（p，−p）代入得：−p＝−4p， 解得：p1＝2，p2＝−2， ∴函数是倩影函数，影像点为（2，−2），（−2，2）． （2）①证明：把点（p，−p）代入（k≠0）得：， 化简得：3p2＋（−6−k）p＋k＝0， ∴Δ＝（−6−k）2−4×3×k＝k2＋36＞0， ∴该函数总有两个不同的影像点． ②解：由①得，方程3p2＋（−6−k）p＋k＝0的解为：p＝， ∵影像点的横坐标x1，x2都为整数， ∴是6的整数倍，且k为整数， 设＝6n（n为整数）， 化简得：3n2−nk−3＝0，解得：k＝3n−， ∴n＝1或3， 当n＝1时，k＝0（舍）， 当n＝3时，k＝8， 此时，x1＝4，x2＝，不符合题意， 综上所述：不存在k的值，使得影像点的横坐标x1，x2都为整数． 【点睛】本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的关键是把（p，−p）代入函数解析式后，结合根式判别式Δ判断一元二次方程的根情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$