2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习08矩形存在性问题

专题08 矩形存在性问题 1．（2024•济宁二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∵OC＝2OA， ∴OC＝4， ∴C（0，4）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4； （2）如图1，过点P作PE∥y轴交直线BC于E，连接CP， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， ∵B（4，0）、C（0，4）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4）， ∴PE＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+2t， ∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D， ∴D（0，1）， ∴CD＝4﹣1＝3， ∵PE∥y轴，即PE∥CD， ∴△EMP∽△CMD， ∴＝＝＝﹣t2+t， ∵m＝＝， ∴m＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝2时，m取得最大值，此时点P的坐标为（2，4）； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． 由（2）知：D（0，1），P（2，4）， ①当DP是矩形的边时，有两种情形， 当四边形PDQ1N1为矩形时，如图2，连接PC，过点N1作N1M⊥x轴于M， 则∠DCP＝∠N1MQ1＝90°， ∴∠Q1N1M+∠N1Q1M＝90°， ∵四边形PDQ1N1为矩形， ∴PD＝N1Q1，∠PDQ1＝∠DQ1N1＝90°， ∴∠PDC+∠Q1DO＝∠N1Q1M+∠DQ1O＝90°， ∵∠DOQ1＝90°， ∴∠Q1DO+∠DQ1O＝90°， ∴∠PDC＝∠Q1N1M＝∠DQ1O， ∴△PDC≌△Q1N1M（AAS）， ∴Q1M＝CP＝2，MN1＝CD＝3， ∵∠DCP＝∠DOQ1＝90°，∠PDC＝∠DQ1O， ∴△PDC∽△DQ1O， ∴＝，即＝， ∴OQ1＝， ∴OM＝OQ1+Q1M＝+2＝， ∴N1（，3）； 当四边形PDN2Q2是矩形时，如图2，过点Q2作Q2K⊥x轴交CP的延长线于K，过点N2作N2T⊥x轴于T， ∵四边形PDN2Q2是矩形， ∴∠DPQ2＝90°，PD＝N2Q2， ∴∠DPC+∠Q2PK＝90°， ∵∠K＝∠DCP＝90°， ∴∠PDC+∠DPC＝90°， ∴∠PDC＝∠Q2PK， ∴△PDC∽△Q2PK， ∴＝，即＝， ∴PK＝6， ∴OQ2＝8， ∵∠PQ2K+∠PQ2O＝∠PQ2O+∠N2Q2T＝90°， ∴∠PQ2K＝∠N2Q2T， ∵∠PQ2K＝∠DPC， ∴∠N2Q2T＝∠DPC， ∵∠DCP＝∠N2TQ2＝90°， ∴△DCP≌△N2TQ2（AAS）， ∴Q2T＝CP＝2，N2T＝CD＝3， ∴OT＝OQ2﹣Q2T＝8﹣2＝6， ∴N2（6，﹣3）； ②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2＝PD2， ∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13， 整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在； 综上所述，N点的坐标为（，3）或（6，﹣3）． 2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的顶点为B，点A，C的坐标分别是A（0，﹣2），C（8，2），以AC为对角线作▱ABCD． （1）点B在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式； （2）若点D也在二次函数y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的图象上，求m的值； （3）是否存在矩形ABCD，使顶点B，D都在二次函数y＝﹣n（x﹣2m）2+m+1的图象上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1＝﹣（x﹣2m）2+m+1， ∴B（2m，m+1）， ∵m+1＝， ∴点B（2m，m+1）在函数y＝上， ∴所求函数的表达式为y＝； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴将AB沿BC方向平移可得DC， ∵点A，C的坐标分别是A（0，﹣2），C（8，2），B（2m，m+1）， ∴D（8﹣2m，﹣m﹣1）， 把D（8﹣2m，﹣m﹣1）代入y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1中，得 ﹣m﹣1＝﹣（8﹣2m）2+4m（8﹣2m）﹣4m2+m+1， 化简为：8m2﹣33m+31＝0， 解得，m＝； （3）∵平行四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴AB2+AD2＝BD2， （2m）2+（m+3）2+（8﹣2m）2+（﹣m+1）2＝（8﹣4m）2+（2m+2）2， 化简得，5m2﹣14m﹣3＝0， 解得，m＝3，或m＝﹣， ∵D点在二次函数y＝﹣n（x﹣2m）2+m+1的图象上， ∴﹣m﹣1＝﹣n（8﹣4m）2+m+1， ∴， 当m＝3时，n＝，此时， 当m＝﹣时，n＝，此时． 故存在矩形ABCD，使顶点B，D都在二次函数y＝﹣n（x﹣2m）2+m+1的图象上，其的值为或﹣． 3．（2023•东源县三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）、B（8，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM⊥BC于点M，交x轴于点N，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线CB平移个单位，平移后得到新抛物线y'，D是新抛物线对称轴上一动点．在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A（﹣4，0）、B（8，0）两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）延长PQ交x轴于H点，则PH⊥x轴，如图： 在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， 由B（8，0），C（0，4）得直线BC解析式为y＝﹣x+4，BC＝＝4， 设P（m，﹣m2+m+4），则Q（m，﹣m+4）， ∴PQ＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，PH＝﹣m2+m+4， ∵∠PMQ＝∠PHB＝90°，∠PQM＝∠BQH， ∴∠NPH＝∠OBC， ∴cos∠NPH＝cos∠OBC＝＝＝， ∴＝， ∴PH＝PN， ∴PQ+PN＝PQ+PH＝﹣m2+m﹣m2+m+4＝﹣m2+m+4＝﹣（m﹣3）2+， ∵﹣＜0， ∴当m＝3时，PQ+PN取最大值，此时P（3，）； ∴PQ+PN的最大值为，P的坐标为（3，）； （3）∵C（0，4），B（8，0）， ∴将抛物线y＝﹣x2+x+4沿射线CB平移个单位相当于先向下平移2个单位，再向右平移4个单位， ∵抛物线y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴新抛物线的对称轴为直线x＝6， 设D（6，t），E（p，q）， ①若BC，DE为对角线，则BC，DE的中点重合，且BC＝DE， ∴， 解得或， ∴E（2，﹣2）或（2，6）； ②若CD，BE为对角线，同理可得； ， 解得， ∴E（﹣2，0）； ③当CE，BD为对角线时， ， 解得， ∴E（14，12）； 综上所述，E的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（﹣2，0）或（14，12）． 4．（2023•罗定市三模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c过B（3，0），C（0，﹣3）两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒． （1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式； （2）如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t＝1时，求四边形OBEC的面积； （3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF′． ①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形； ②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象过B（3，0），C（0，﹣3）两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3； （2）如图： ∵B（3，0）．C（0，﹣3）． ∴OB＝3．OC＝3． ∴BC＝＝6， 当t＝1时．BM＝2t＝2， ∵DM⊥AB．OC⊥AB， ∵DM∥OC． ∴＝，即＝， ∴BD＝1， ∴OD＝OB﹣BD＝3﹣1＝2， ∴在y＝x2﹣x﹣3中，令x＝2得y＝×22﹣2﹣3＝﹣， ∴E（2，﹣）； ∴S四边形OBEC＝S梯形ODEC+S△BDE＝×（+3）×2+××1＝； （3）①如图： 根据题意得：ON＝t．BN＝3﹣t．BM＝2t， ∵将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF′． ∴BM＝GM，NM＝FM， ∴四边形NBFG是平行四边形， 若四边形NBFG是菱形，只需BG⊥NF，即∠BMN＝90°， 此时cos∠MBN＝＝， 在Rt△BOC中，cos∠CBO＝＝＝， ∴＝， 解得t＝， 答：当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形； ②如图： 根据题意得：ON＝t．BN＝3﹣t．BM＝2t， ∵△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF， ∴MN＝MF．BM＝GM．BG＝2BM＝4t． ∵四边形NBFG是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需∠BNG＝90°． 当∠BNG＝∠BOC＝90°时， ∵NG∥OC， ∴＝，即＝， 解得：t＝1． ∴当点N运动1秒时，四边形NBFM是矩形． ∴NB＝3﹣1＝2，BG＝4．NG＝＝2． 将矩形NBFM沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即yF＝﹣2． 当yF＝﹣2时，x2﹣x﹣3＝﹣2， 解得x1＝，x2＝， ∴点F的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）． 5．（2023秋•铁东区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． （1）求a，k的值及点B的坐标； （2）在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程） （3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由． 【解答】解：（1）∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1， ∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1）， ∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1； 解得或， ∴B的坐标为（2，﹣4）； （2）如图1， 设直线AB交y轴于C，取OC的中点D，在OC的延长线截取CE＝CD，作DM∥AB，交抛物线于P1，P2，作CN∥AB，交抛物线于P3，P4， ∴△ODP1∽△OCA， ∴＝， ∴＝S△AOB， ∵C（0，﹣2，）， ∴D（0，﹣1），E（0，﹣3）， ∴直线DM的解析式为y＝x﹣1， 由得， ，， ∴点P1（，）或P2（，）； 同理可得， 点P3（，）或P4（，）； 综上所述，点P（，）或（，）或（，）或（，）； （3）当矩形MABN是矩形时，∠MAB＝90°， 由﹣x2＝﹣x﹣2得， x1＝﹣1，x2＝2， ∴B（2，﹣4）， ∴OB2＝20， ∵A（﹣1，﹣1）， ∴AB2＝18，OA2＝2， ∴AB2+OA2＝OB2， ∴∠OAB＝90°， ∴点M和点O重合， ∴M（0，0）， 如图2， 当矩形ABMN时，∠ABM＝90°， 作BC∥y轴，作AC⊥BC于C，作MD⊥BC于D， ∵AC＝BC＝3， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴△BDM是等腰直角三角形， ∴DM＝BD， 设M（m，﹣m2）， ∴BD＝﹣4+m2，DM＝2﹣m， ∴﹣4+m2＝2﹣m， ∴m1＝2，m2＝﹣3， ∴M（﹣3，﹣9）， 如图3， 当点M在AB上方的抛物线上时，当∠AMB＝90°时， 作MC∥x轴，作AC⊥MC于C，作BD⊥MC于D， 同理可得：△BDM∽△MCA， ∴， ∴＝， ∴m＝， 当m＝时，y＝， ∴M（，）， 当m＝，y＝﹣， ∴M（，﹣）， 如图4， 当点M在AB下方的抛物线上，当∠AMB＝90°时， 同理可得， ＝， ∴m＝（正值舍去）， ∴M（，﹣）， 综上所述：M（0，0）或（﹣3，﹣9）或（，）或（，﹣）． 6．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+4． （2）存在，理由如下： 设Q（m，﹣m2+3m+4）， 当m＞0时，如图1， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC， 过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点， ∵CQ＝BK，∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠HCQ＝∠GBK＝45°， ∴△CHQ≌△BGK（AAS）， ∴HC＝HQ＝BG＝GK， ∴m＝﹣m2+3m+4﹣4， ∴m＝2或m＝0（舍）， ∴HQ＝2， ∴K（6，2）； 当m＜0时，如图2， ∵矩形是以BC为边， ∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC， 设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H， 过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点， ∵∠OCB＝∠OBC＝45°， ∴∠OBH＝∠OHB＝45°，∠FCO＝∠CFO＝45°， ∴OF＝OC＝OB＝OH＝4，∠HQG＝∠EFK＝45°， ∵KC＝BQ，CF＝HB， ∴FK＝QH， ∴△QHG≌△KFE（AAS）， ∴QG＝HG＝EF＝EK， ∴﹣m＝﹣4﹣（﹣m2+3m+4）， ∴m＝﹣2或m＝4（舍）， ∴GQ＝2， ∴K（﹣6，﹣2）； 综上所述，K点的坐标为（﹣6，﹣2）或（6，2）． 7．（2024•淮阴区校级模拟）如图1，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，3），点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，过点P作PF⊥BC，垂足为F，当m为何值时，PF最大？最大值是多少？ （3）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，3）， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+3； （2）设BC的解析式为y＝kx+b′（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∵点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+m+3），则E（m，﹣m+3）， ∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+m， ∵PF⊥CE，PD⊥x轴， ∴∠EPF+∠PEF＝∠EBD+∠BED＝90°， ∵∠PEF＝∠BED， ∴∠EPF＝∠EBD， ∵∠BOC＝∠PFE＝90°， ∴△BOC∽△PFE， ∴， 在Rt△BOC中，BC＝＝3， ∴PF＝•PE＝PE＝（﹣m2+m）＝﹣（m2﹣6m）＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m为3时，PF最大，最大值是； （3）∵抛物线y＝﹣x2+x+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴设Q（2，t）， 设抛物线的对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°， ①当点O'恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO'，即CQ⊥OP， ∴∠COP+∠OCQ＝90°， 又∵四边形OCPD是矩形， ∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°， ∴∠PCQ+∠OCQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠COP， ∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝， ∴＝tan∠PCQ＝，即， 解得：t＝， ∴Q（2，）； ②当点O'恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K， ∵点O与点O′关于直线CO对称， ∴CQ垂直平分OO'， ∴∠OCQ＝∠DCQ， ∵GH∥OC， ∴∠CQG＝∠OCQ． ∴∠DCQ＝∠CQG， ∴CK＝KQ， ∵C，P关于对称轴对称，即点G是CP的中点， ∵GH∥OC∥PD， ∴点K是CD的中点， ∴K（2，）， ∴GK＝， ∴CK＝＝＝＝KQ， ∵K（2，），Q（2，t）， ∴KQ＝﹣t， ∴﹣t＝， 解得t＝﹣1， ∴Q（2，﹣1）； ③当点O'恰好落在该矩形对角线DC的延长线上时，如图，过点O'作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交直线CQ于点M， ∵点O与点O'关于直线CQ对称， ∴CQ垂直平分OO'，∠OCM＝∠O'CM，∠OMC＝∠O'MC＝90°，O′C＝OC＝3， ∵∠O'KC＝∠DOC＝90°，∠O'CK＝∠DCO， ∴ΔO'CK∽△DCO， ∴，即， ∴O'K＝，CK＝， ∴OK＝OC+CK＝3+＝， ∴O'（﹣，）， ∵点M是OO'的中点， ∴M（﹣，）， 由C（0，3），M（﹣，）得直线CM的解析式为y＝x+3， 当x＝2时，y＝x+3＝4， ∴Q（2，4）． 综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）． 8．（2024•张店区二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线及直线BC的函数表达式； （2）如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点BC为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+n， 将点C（0，3），B（3，0）代入y＝kx+n， 得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3； （2）如图，过点A作AF∥y轴，交BC于点F， ∵PE∥y轴， ∴AF∥PE， ∴∠AFC＝∠PED， ∵PD∥AC， ∴∠ACD＝∠PDC， ∴∠ACF＝∠PDE， ∴△ACF∽△PDE， ∴， 由直线BC：y＝﹣x+3和点A（﹣1，0）， 得点F坐标为（﹣1，4）， ∴AF＝4， ∵，， ∴△ACF的周长＝， ∴△PDE的周长＝×△ACF的周长＝， 设点P的坐标（m，﹣m2+2m+3），则点E的坐标（m，﹣m+3）， 所以，PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3） ＝﹣m2+3m ＝， ∴当时，PE取得最大值， 即，当时，△PDE的周长取得最大值：， 此时点P的坐标为； （3）设点P的坐标（m，﹣m2+2m+3），设点Q的坐标（xQ，yQ） ①当点P在y轴右边的抛物线上时，存在∠BPC＝90°即可存在点Q使以B，C，P，Q为顶点BC为对角线的四边形是矩形，过点P作MN∥x轴，交y轴于点M，过点B且平行于y轴的直线于点N，如图（1）， ∴PM＝m，BN＝﹣m2+2m+3，CM＝﹣m2+2m，PN＝3﹣m， ∵当△CMP∽△PNB时，∠BPC＝90°， ∴， 即， 解得，， 经检验，m1，m2是分式方程的解，m2不合题意舍去， ∴点P的坐标为， ∴BC的中点坐标为， ∵点Q与点P关于线段BC的中点成中心对称， ∴，， ∴点Q的坐标为； ②当点P在y轴左边的抛物线上时，存在∠BPC＝90°即可存在点Q使以B，C，P，为顶点BC为对角线的四边形是矩形，过点P作MN∥y轴，交x轴于点N，交过点C且平行于x轴的直线于点M，如图（2）， 同①得，， 即， 解得，， 经检验，m1，m2是分式方程的解，m1不合题意舍去， ∴点P的坐标为， 同理，因为点Q与点P关于线段BC的中点成中心对称， ∴，， ∴点Q的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 9．（2024•娄底二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为（2，﹣3）时，求四边形ACPB的面积； （3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，连接AC、CP、BP、OP，过点P作PE⊥AB于点E， ∵点P的坐标为（2，﹣3）， ∴PE＝3，OE＝2， ∵x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴S四边形ACPB＝S△OAC+S△OCP+S△OBP ＝ ＝ ＝9； （3）存在，理由如下： 如图2，当BC为边时，四边形BCQP为矩形，PB交y轴于点E，CQ交x轴于点F，连接EF，过点P作PM⊥y轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N， ∵OC＝OB＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵四边形BCQP为矩形， ∴∠PBC＝∠QCB＝90°， ∴∠OBE＝∠OCF＝45°， ∴△OBE和△OCF为等腰直角三角形， ∴OB＝OC＝OE＝OF＝3， ∴四边形BCFE为正方形， ∴CF＝BE，∠EFC＝∠BEF＝90°， ∴四边形EFQP为矩形， ∴QF＝PE， ∵∠MEP＝∠BEO＝45°，∠QFN＝∠OFC＝45°， ∴△PME和△QNF为全等的等腰直角三角形， ∴NF＝QN＝PM＝ME， ∵OE＝3， ∴E（0，3）， 设直线BE的解析式为y＝kx+n（k≠0）， ∴， ∴， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+3， 联立方程组得， 解得或， ∴P（﹣2，5）， ∴PM＝2， ∴QN＝NF＝2， ∴ON＝OF+NF＝3+2＝5， ∴Q（﹣5，2）； 如图3，当BC为对角线时，四边形BPCQ为矩形，过点Q作QD⊥x轴于点D，PE⊥x轴于点E， 则∠PEB＝∠BDQ＝90°，∠PBQ＝90°， ∵∠PBE+∠EPB＝∠PBE+∠DBQ＝90°， ∴∠EPB＝∠DBQ， ∴△BEP∽△QDB， ∴， 设P（t，t2﹣2t﹣3），Q（xQ，yQ）， ∵C（0，﹣3），B（3，0），动点P在直线BC上方， ∴xQ＝3﹣t，，t＜0或t＞3， ∴Q（3﹣t，﹣t2+2t）， ∴DQ＝t2﹣2t，BD＝﹣t，EP＝﹣t2+2t+3，BE＝3﹣t， ∴， 整理得：t3﹣4t2+2t+3＝0， t3﹣3t2﹣（t2﹣2t﹣3）＝0， t2（t﹣3）﹣（t﹣3）（t+1）＝0， 分解因式得：（t﹣3）（t2﹣t﹣1）＝0， ∴t﹣3＝0或t2﹣t﹣1＝0， 解得：t1＝3（舍去），（舍去），， ∴，， ∴此时点Q的坐标为． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标为（﹣5，2）或． 10．（2024•榆次区三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4），作直线AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T．当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当y＝0时，．解得x1＝﹣2，x2＝8． ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣2，0），B（8，0）， 设直线AC的表达式为：y＝kx+b 将A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入得：， 解得：， ∴直线AC的函数表达式为y＝﹣2x﹣4， 同理将B（8，0），C（0，﹣4）代入，可得直线BC的函数表达式为． （2）设， ∵QT∥y轴， ∴， ∴， ， ∵P为线段TQ的中点， ∴PQ＝PT， ∴． 解得m1＝0（舍去），m2＝3， ∴； （3）存在，点M的坐标为或， 分以下三种情况讨论： ①当∠PNB＝90°时，如图，过点N1作N1D⊥x轴于点D， 过点P作PE⊥DN1，交DN1的延长线于点E． 设，则， ∵∠PN1B＝90°， ∴∠DN1B+∠EN1P＝90°． ∵∠N1DB＝90°， ∴∠DN1B+∠DBN1＝90°， ∴∠EN1P＝∠DBN1． 又∵∠BOC＝∠N1EP＝90°， ∴△BOC∽△N1EP， ∴， ∵B（8，0），C（0，﹣4）， ∴OB＝8，OC＝4， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当∠NPB＝90°时，如图，过点P作PF∥x轴，过点B作BF⊥PF于点F， 过点N2作N2G⊥PF交FP的延长线于点G． 设，则， ∵∠N2PB＝90°， ∴∠N2PG+∠BPF＝90°， ∵∠N2GP＝90°， ∴∠N2PG+∠PN2G＝90°， ∴∠BPF＝∠PN2G， 又∵∠BFP＝∠PGN2＝90°， ∴△BFP∽△PGN2， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当∠PBN＝90°时，该情况不存在． 综上所述，点M的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 矩形存在性问题 1．（2024•济宁二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的Q点和N点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的顶点为B，点A，C的坐标分别是A（0，﹣2），C（8，2），以AC为对角线作▱ABCD． （1）点B在某个函数的图象上运动，求这个函数的表达式； （2）若点D也在二次函数y＝﹣x2+4mx﹣4m2+m+1的图象上，求m的值； （3）是否存在矩形ABCD，使顶点B，D都在二次函数y＝﹣n（x﹣2m）2+m+1的图象上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023•东源县三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）、B（8，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM⊥BC于点M，交x轴于点N，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标； （3）将抛物线y＝ax2+bx+4沿射线CB平移个单位，平移后得到新抛物线y'，D是新抛物线对称轴上一动点．在平面内确定一点E，使得以B、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形．直接写出点E的坐标． 4．（2023•罗定市三模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c过B（3，0），C（0，﹣3）两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒． （1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式； （2）如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t＝1时，求四边形OBEC的面积； （3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF′． ①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形； ②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 5．（2023秋•铁东区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A（﹣1，﹣1），B两点． （1）求a，k的值及点B的坐标； （2）在抛物线上求点P，使△PAB的面积是△AOB面积的一半；（写出详细解题过程） （3）点M在抛物线上，点N在坐标平面内，是否存在以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由． 6．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024•淮阴区校级模拟）如图1，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，3），点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． （1）求该二次函数的表达式； （2）如图2，过点P作PF⊥BC，垂足为F，当m为何值时，PF最大？最大值是多少？ （3）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 8．（2024•张店区二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求该抛物线及直线BC的函数表达式； （2）如图2，在BC上方的抛物线上有一动点P（不与B，C重合），过点P作PD∥AC，交BC于点D，过点P作PE∥y轴，交BC于点E．在点P运动的过程中，请求出△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图3，若点P是该抛物线上一动点，问在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q使以B，C，P，Q为顶点BC为对角线的四边形是矩形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2024•娄底二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点P的坐标为（2，﹣3）时，求四边形ACPB的面积； （3）当动点P在直线BC上方时，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024•榆次区三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4），作直线AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求A，B两点的坐标，并直接写出直线AC，BC的函数表达式． （2）过点P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交直线AC于点T．当P为线段TQ的中点时，求此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若N是直线BC上一动点，试判断在平面内是否存在点M，使以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$