四川省攀枝花市大河中学校2024-2025学年高三九省联考考前模拟数学试题三

2024-2025学年四川省攀枝花市2025届高三九省联考考前模拟试题三 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．图中阴影部分所对应的集合是（ ） A． B． C． D． 2．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，…，该数列的特点是前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数为偶函数，且当时，．若，，．（其中为自然对数的底数，为圆周率），则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 10.下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 11．已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______. 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 13．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则的面积______． 14．已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 16．（15分） 如图，已知多面体的底面是菱形，是等边三角形，且平面底面底面. （1）在平面内找到一个点G，使得，并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分） 椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒ （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人): 性別 身高 合计 低于 不低于 女 14 5 19 男 8 10 18 合计 22 15 37 (1)依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? (2)从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望. (3)若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分） 已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 2024-2025学年四川省攀枝花市2025届高三九省联考考前模拟试题三 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．图中阴影部分所对应的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据图中阴影部分和集合的运算可得答案. 【详解】 图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即， 故选：C 2．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】 利用线面平行的判定定理可判断A；根据线面平行的性质可判断B；由线面垂直的判定定理可判断C；由面面平行的判定定理可判断A. 【详解】 A，若，，且，则，故A错误； B，若，， ，则，且， 由，所以，故B正确； C，若，，，，且与相交，则，故C错误； D，若，，，且与相交， 则，故D错误. 故选：B 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 用正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系变形为关于齐次式，再转化为关于的式子，代入计算． 【详解】 因为，所以． 故选：C 4．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题设易得，利用平面向量的三点共线定理即可求值. 【详解】 由题设，，又，， ∴，而共线， ∴，可得. 故选：C 5．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分析各选项中函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，由此可得出合适的选项. 【详解】 对于A选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于B选项，函数的定义域为，不满足条件； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数， 当时，，则，满足条件. 故选：D. 6．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，，，，，…，该数列的特点是前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 斐波那契数列满足递推关系，列举出前项可知A正确；利用累加的方式可确定BC的正误；根据递推关系可确定D正确. 【详解】 斐波那契数列满足递推关系：， 对于A，斐波那契数列的前项为，，，，，，，， ，A正确； 对于B，，，，…，， 各式相加得：，B正确； 对于C，，，，…，， 各式相加得：，C错误； 对于D，，D正确. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查数列的应用，解题关键是能够根据规律总结出“斐波那契数列”的递推关系式，采用累加法或根据递推关系直接推导即可得到结果. 7．已知函数为偶函数，且当时，．若，，．（其中为自然对数的底数，为圆周率），则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用指数函数的性质和对数函数的性质可得，，，结合的奇偶性和单调性可得三者之间的大小关系. 【详解】 因为时，，故为上的增函数 因为，，，故， 而，故 故选：A. 8．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知得在上恒成立，进行参变分离得 在上恒成立，令，将问题转化为在上恒成立，由的单调性，求得其最大值，由此可得答案. 【详解】 解：因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，令，所以问题转化为在上恒成立， 而在上单调递增，所以当时，有最大值，所以有最大值，所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点不可能在第三象限 【答案】BD 【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D. 【详解】复数的实部为，虚部为， 复数在复平面内对应的点的坐标为， 对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误； 对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确； 对于C：若在复平面内对应的点在直线上， 所以，解得或，故C错误； 对于D：令，即，不等式组无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确. 故选：BD. 10.下列结论正确的是（ ） A．若，则的取值范围是 B．若，则的取值范围是 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】先将条件等价转化，然后根据对应范围判断命题的真假即可. 【详解】对于选项A和B，，， 若，则的取值范围是，所以A错误，B正确； 对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误. 故选：BD. 11．已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【分析】本题先根据直线l的方程判断出直线l恒过的定点，再判断该定点与圆的位置关系，可解决选项A和选项C的问题；根据圆心到直线的距离判断满足条件点的个数，可解决选项B的问题；由选项D的条件可得两圆外切，由此可求得参数a的值. 【详解】由直线，得 ， 因为，则满足 ，解得 ， 所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:， 则圆心 到直线的距离为 ， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离， 所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误. 由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则 ，解得 ，故选项正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是______. 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 【答案】11 【分析】 由题意可知，由47，从左至右依次读取00-39的数，可求得结果 【详解】 利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11， 故答案为：11 13．在中，角、、所对的边为、、，若，，，则的面积______． 【答案】6 【分析】 根据同角三角函数的基本关系先计算出的值，然后根据两角和的正弦公式计算出的值，再利用正弦定理求解出，结合三角形面积公式可完成求解. 【详解】 解：在中，因为，可得，， 又，所以， 由正弦定理，可得，解得， 故的面积， 故答案为：6． 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键在于通过隐含条件“”分析出的值，后续再根据正弦定理求解出中任意一边的长度即可根据三角形面积公式完成计算. 14．已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是______． 【答案】 【分析】 设直角边的边长为，根据三棱锥的体积为，求得，进而求得外接圆半径为，得出球心到底面的距离，得出球心到该截面圆的距离，进而求得截面圆的半径，即可求得点的轨迹长度. 【详解】 设底面等腰直角三角形的直角边的边长为， ∴顶点到底面的距离为4且三棱锥的体积为， ∴，解得， ∴的外接圆半径为， ∴球心到底面的距离为， 又∵顶点到底面的距离为4， ∴顶点的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面和截面圆之间）且球心到该截面圆的距离为， ∵截面圆的半径， ∴顶点的轨迹长度是， 故答案是：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求的值； (2)设函数． （ⅰ）求的定义域和最小正周期； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)2 (2)（i），；（ii）7 【分析】（1）由题意利用余弦定理可推出，再利用正弦定理边化角，结合同角三角函数关系，即可求得答案； （2）（i）根据正切函数的性质，即可求得答案；（ii）利用二倍角正切公式以及两角差的正切公式求解，即得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 则，又， 故，则可得， 即，即， 即，故； （2）（i）由于, 令，则， 故的定义域为，最小正周期为； （ii）， 故. 16．（15分） 如图，已知多面体的底面是菱形，是等边三角形，且平面底面底面. （1）在平面内找到一个点G，使得，并说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）取的中点为H，只需在找点即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量与向量，根据直线与平面夹角的向量公式即可求解． 【详解】 （1）如图所示，取的中点为H，连接， 再取的中点为G，连接， 则. 理由如下： ∵是等边三角形， ∴. 又平面底面，且平面底面， ∴底面. 又底面，∴，即， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴. （2）由（1）可知， ∴直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面所成角的正弦值. 连接，由题意可知. 以H为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设菱形的边长为2， 则易知， . 设平面的一个法向量为， 则即令， 则， ∴， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分） 椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点﹒ （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在；，理由见解析. 【分析】 （1）由点到直线的距离求出，可得的值，由离心率求出的值，再由可得的值，即可求解； （2）设直线，，，，，联立直线与椭圆的方程，可得，，弦长，联立抛物线与直线方程，计算，再由是常数即可得的值. 【详解】 （1）设椭圆与抛物线的公共焦点为 所以焦点到直线的距离为，可得：， 所以，， 由，可得：，所以， 所以椭圆，抛物线； 由（1）知：，设直线，，，，， 由可得：， 所以，， 所以 ， 由可得：， 所以， 因为是焦点弦，所以， 所以 若为常数，则，所以. 18．（17分） 为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于 的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表 （单位:人): 性別 身高 合计 低于 不低于 女 14 5 19 男 8 10 18 合计 22 15 37 (1)依据 的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? (2)从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望. (3)若低于的8 名男生身高数据的平均数为，方差为，不低于的10名男生身高数据的平均数为，方差为 .请估计该中学男生身高数据的平均数和方差. 附: . 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可以认为性别与身高有关联 (2)分布列见解析，1 (3)平均数为174，方差为59 【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；根据小概率值 的独立性检验，可以认为性别与身高有关联 （2）根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，得出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，求得18名男生身高数据的平均数和方差，结合分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联 根据列联表中的数据，经计算得， 由此可知根据小概率值 的独立性检验，零假设不成立， 可以认为性别与身高有关联 （2）解：由题意，可得随机变量的可能取值为， 可得 所以随机变量的分布列为: 0 1 2 3 所以，期望为， （3）解：由题意知，18名男生身高数据的平均数， 18 名男生身高数据的方差 ， 所以，该中学男生身高数据的平均数为174，方差为59. 19．（17分） 已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求得，然后求得，根据在有两个变号零点列不等式组，由此求得的取值范围. （2）先证得时，所证不等式成立，当时，转化为证明，构造函数，利用导数证得，从而证得所证不等式成立. 【详解】 （1）依题意知：，， ， ， 有两个极值点， 在有两个变号零点， 令得：①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即：解得：， ， 故的取值范围为：. （2）依题意，要证：， ①当时，，故原不等式成立， ②当时，要证：， 即要证：， 令则， ， 先证：， 即要证：， 令，则， 当时，， 在单调递增， ， 即：， 当时，，， ， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即：， 故原不等式成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$