河南省漯河市高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

漯河高中2023-2024学年(下)高二年级期中考试 数学试题 (时间120分钟，满分150分) 命题人:张俊良 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是( ) A.f(x)=x-sinx B.f(x)=sinx-xcosx C.f(x)=x2- D.f(x)=sinx+x3 2.已知直线x-y+6=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6，则r=( ) A.2 B.2 C.4 D.3 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a2=1,a3+a4=4，则S6=( ) A.9 B.16 C.21 D.25 4.已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC,M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上,且使MG=3GN，用向量,,做基底,则向量可表示为( ) A.=++ B.=++ C.=-++ D.=++ 5.已知函数f(x)=alnx+-1(x>0)，则下列结论正确的是( ) A.函数f(x)一定有极值 B.当a>0时,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数 C.当a>0时,函数f(x)的极小值为a(1-lna)-1 D.当a>0时,函数f(x)的极小值的最大值大于0 6.2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有( ) A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种 7.已知平面上两定点A、B，则所有满足=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在AB上，半径为•|AB|的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹长度为( ) A.+ B.+π C.(2+)π D.2π 8.已知n个大于2的实数x1,x2,…xn，对任意xi(i =1,2,…,n)，存在yi≥2 满足yi<xi且=，则使得x1+x2+…+xn≤15xn成立的最大正整数n为( ) A.21 B.23 C.25 D.27 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40 名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的2x2列联表: 临界值表如下: 根据这些数据，给出下列四个结论中正确的是( ) A.依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响 B.依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 C.根据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这 个推断犯错误的概率不超过0.05 D.根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有 影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响 10.双曲线(a>0,b>0)左支上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点， 若AF⊥BF，设∠ABF=α,且α∈(,),则离心率e的可能取值是( ) A. B. C.2 D. 试卷第2页(共4页) 11.已知正项数列{an}满足a1=,an+1=f(an)，其中f(x)=ln(ex-1)-lnx,则( ) A.{an}为单调递减数列 B.a2023<a2024 C.an-1>an D.a1+a2+a3+…+an≥1- 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(-)9的展开式中的常数项为 .(用数字作答) 13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归方程为=0.67+54.9. 现在发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 . 14.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面BA1C1内的动点，满足B1P=3，则直线D1P与平面BA1C1所成角的正切值的取值范围为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表: 经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值，用样本估计,总体. (1)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零得认为是次品，从设备M的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(Y)； (2)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):①P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.6827②P(μ-2σ <X ≤μ+2σ)≥0.9545:③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.9973.评判规则为:若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级并说明理由. 16.(15分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=+. (1)证明:{an}是单调递减数列. (2)求数列{(-1)n}的前n项和Tn. 17.(15分)如图1，已知正三角形ABC边长为4,其中=3,=3，现沿着DE翻折，将点A翻折到点A′处，使得平面A′BC⊥平面DBC,M为A′C中点，如图2. (1)求异面直线A′D与EM所成角的余弦值； (2)求平面A′BC与平面DEM 夹角的余弦值. 18.(17分)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线E上，且满足++=，则称该三角形为“漯高三角形”. (1)设“漯高三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程； (2)已知△ABC是“漯高三角形”，证明:△ABC三个顶点的横坐标都小于2. 19.(17分)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时, f(x)= f(0)+f′(0)x+x2 +x3+…+xn +…,注 f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f′(x)的导数，f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)根据该公式估算sin的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得: cosx=1-+-+….当x≥0时，试比较cosx与1-的大小，并给出证明: (3)设n∈N*，证明:>n-. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$