1.3.2课时1 等比数列的前n项和课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.2 课时1 等比数列的前n项和 第一章 数列 作者编号：、32200 1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法. 2.掌握等比数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题. 学习目标 作者编号：、32200 小林和小明做“贷款”游戏，签订了一份合同.从签订合同之日起，在一个月（30天）中，小明第一天贷给小林1万元，以后每天比前一天多贷给小林1万元.小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱，以后每天还的钱数是前一天的2倍. 合同生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元;到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1 048 575分，共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月那该多好!果真是这样吗? 新课导入 作者编号：、32200 问题1：小林的还款数可以构成一个数列，请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式. 是等比数列，首项是1，公比是2，共30项. 通项公式为 问题2：请将小林的还款数表述成数学问题. 求这个等比数列的前30项的和，即：=？ 课题探究 作者编号：、32200 ① ② ①-②得： 错位相减法 课题探究 作者编号：、32200 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前项和是 ∴， ∴ ① ② ① ②得， = 即(1 =( 1) 当1 时，即 时，= 当1 时，即 时， = 将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中. 课题探究 作者编号：、32200 概念讲解 等比数列的前n项和公式 q=1 q≠1且q≠0 1.注意q=1与q≠1两种情形 2.步骤: 乘公比，错位写，对位减. 课题探究 作者编号：、32200 【例1】在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. 解：(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. 课题探究 作者编号：、32200 (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (2)法一：由题意知 解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. 作者编号：、32200 (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又因为Sn＝＝126，所以q为2或. 作者编号：、32200 (1)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 方法总结 课题探究 作者编号：、32200 【例2】某市2019年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问: (1)该市在2024年应该投入多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 ? (lg 657≈2.82，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解:(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}， 其中a1=128，q=1.5， 则在2024年应该投入的电力型公交车为a5=a1·q4=128×1.54=648(辆). 课题探究 作者编号：、32200 课题探究 作者编号：、32200 (1)认真审题，理解题意，达到如下要求. ①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题，还是等比数列问题，还是递推数列问题，是求an，还是求Sn，特别要注意准确弄清项数为多少. ②弄清题目中主要的已知条件. (2)抓住数量关系，联想所学的数学知识和数学方法，恰当地引入参数变量，并将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求的量联系起来，并根据题意列出数学关系式. 方法总结 解数列应用题的具体步骤是: 课题探究 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.等比数列的前n项和公式的推导过程？ 2.等比数列的前n项和公式是什么？ 课后小结 作者编号：、32200 1.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1＝1，则S4等于( ) A.7 B.8 C.15 D.16 2.在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 C B 当堂检测 作者编号：、32200 3.《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰、日取其半，万世不竭”如果经过n天，该木锤剩余的长度为an(尺)，则an与n的关系为(　　) A.an＝1－ B.an＝ C.an＝ D.an＝1－ C 当堂检测 作者编号：、32200 (2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得， 于是Sn=>5 000，即1.5n>. 两边取常用对数，则n·lg 1.5>lg ， 即n>≈7.3， 又n∈N+，因此n≥8. 即到2027年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. $$