1.1.2 数列的函数特性 课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

— 第一章 数列 — 1.1.2 数列的函数特性 1.能从函数的单调性方面研究数列的特性，并能画出有规律的简单数列的图象. 2.会判断数列的增减性. 学习目标 思考：函数f1(x)=2x，x∈R与f2(x)=2x，x∈N+的图象相同吗? 不同. f1(x)=2x，x∈R的图象是一条直线，而f2(x)=2x，x∈N+的图象是直线y=2x上横坐标为正整数的所有点. 新课导入 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak) ，k=1，2，3，…这个图象也称为数列的图象. 新知讲授 注意： (1)数列可以看作是一个定义域为N＋(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an＝f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点. (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势. (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法. 新知讲授 做一做：下面数列用图象表示. 数列③： 数列①：3，4，5，6，7，8，9. 数列④：25，25，25，…，25. 新知讲授 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1>an 递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1<an 常数列 各项都_____ an＋1＝an 大于 小于 相等 概念讲解 新知讲授 函数与数列的联系与区别 一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题． 另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不象我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an＞an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1＞an对任意的n(n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1＜an对任意的n(n∈N＋)都成立． 注意： (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性. (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. 新知讲授 例1 写出下面数列的一个通项公式，并判断数列的增减性. （1） （2） 解：（1）an=3-n可以看作这个数列的一个通项公式，那么 an+1=3-（n+1）=2-n，an+1-an=（2-n）-（3-n）=-1＜0， 所以an+1＜an，因此数列{an}是递减数列. （2） 可以作为这个数列的一个通项公式，那么 所以bn+1＞bn，因此数列{bn}是递增数列. 新知讲授 例2 已知函数，构造数列． (1)求证：； (2)数列{}是递增数列还是递减数列？为什么？ 解：(1)因为，所以. 因为，所以>－2. (2)数列为递减数列．理由如下： 因为，所以， 即，所以数列{}为递减数列． 新知讲授 用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形； 若用作商法则要特别注意分母的符号． 归纳总结 新知讲授 例3 设函数f(x)=，数列{an}满足an=f(n) (n∈N+)，若对于任意n∈N+都有an>an+1，则实数a的取值范围是　　　　　.  解析：∵对于任意的n∈N+都有an>an+1，∴数列{an}是递减数列， 由于点(n，an)在分段函数f(x)=的图象上，所以分段函数是递减数列， ∴，即， 解得. 新知讲授 在求解数列问题时，必须注意n∈N+，否则易出现错误. 易错提醒 新知讲授 C 当堂检测 2.已知下列数列： ①1，2，22，23，…，260；②1，0.5，0.52 ，0.53，…； ③－2，2，－2，2，…；④3，3，3，3，…； ⑤0，，，，…，，…；⑥1，0，－1，…，sin，…. 其中有穷数列是________；无穷数列是 ； 递增数列是________；递减数列是________； 摆动数列是________；常数列是________．(填序号) ① ②③④⑤⑥ ①⑤ ③⑥ ② ④ 当堂检测 26 4.已知数列{an}的通项公式an=|-2n+7|，试作出{an}的图象并指出{an}的最小项. 解:数列{an}的图象如图所示.由图象知a3=a4=1是数列{an}的最小项. 当堂检测 总 结 1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A．1，eq \f(1,3)，eq \f(1,32)，eq \f(1,33)，… B．sineq \f(π,13)，sineq \f(2π,13)，sineq \f(3π,13)，sineq \f(4π,13)，… C．－1，－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3)，－eq \f(1,4)，… D．1,2,3,4，…，30 3.已知数列{an}的通项公式为an=，则这个数列的最大项为　　　.  数列的函数特性 $$