精品解析：吉林省长春市吉林大学附属中学2024-2025学年度上学期九年级第三次月考数学试题

吉林大学附属中学2024−2025学年度上学期“教·学·评′一体化 九年级 数学学科大练习 总分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：（是常数，），进而判断得出即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 【详解】解：A、=3，此选项错误； B、（）2=3，此选项正确； C、=3，此选项错误； D、+=+，此选项错误． 故选：B． 3. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是， 故选：C． 4. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x≤2 D. x≥2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵3x﹣6≥0， ∴x≥2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 5. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 6. 如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，可得，同时可知与，根据三角函数的定义解答，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 【详解】在中，米，， ∴，即， ∴， 故选：． 7. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， 的周长：的周长， 的周长为， 的周长为：， 故选：C． 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键．先化为同类二次根式，再相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为． 故答案为：． 11. 若二次函数的图象过点，则a的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式得到关于a的方程，解方程即可求出a的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】∵，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10， ∴， ∴， 解得, 故点P表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 13. 若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ， ， 故答案为：． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值直接求解即可． 【详解】解： ． 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的结果数为5，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图为 共有9种等可能的结果数，其中小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的结果数为5， 所以小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 17. 一个二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数，二次函数的解析式为，把、、三点代入解析式求解即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把、、三点代入得 ， 解得． 则抛物线解析式为． 18. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 19. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． （1） ________米，车棚的面积是________平方米．（用含x的代数式表示） （2）若墙长为25米，求当x为多少时，矩形车棚的面积最大，并求出最大值． 【答案】（1）， （2）x=时，矩形车棚的面积最大，y最大值为437.5平方米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和求二次函数的最值，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）利用60减去的长即可得的长，再根据矩形的面积公式即可得出答案； （2）由（1）可知，根据题意可知x的取值范围，进而即可求出面积最大值． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，设的长为x米， 则米， 米， 米， 车棚的面积为平方米， 故的长为米，车棚的面积为平方米； 【小问2详解】 ， ∵， ∴， ∴时，y最大值． 20. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，与要求写出做法． （1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6． （2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6． （3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为6，． 【答案】（1） 如图①所示，即为所求； （2） 如图②所示，即为所求； （3） 如图③所示，四边形即为所求； 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； （2）直接利用三角形面积求法得出答案； （3）根据三角形的面积的求法进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键． 21. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，点F在抛物线上，点D在x轴上，点．若以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与特殊的四边形的综合，点坐标的平移等知识．熟练掌握二次函数与特殊的四边形的综合，点坐标的平移是解题的关键． 当时，可求，当点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形时，分为边，为对角线两种情况求解；当为边时，如图1，，，，则，可求，；当为对角线时，如图1，，，，则的纵坐标为3，可求，，然后利用平移的性质求点坐标即可． 【详解】解：当时，， 解得，，， ∴， 当点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形时，分为边，为对角线两种情况求解； 图1 当为边时，如图1，，，， ∴， ∴，； 当为对角线时，如图1，，，， ∴的纵坐标为3， 当时，， 解得，，； ∴，， 点平移到，点平移到， ∴点平移到，点平移到， 综上所述，点的坐标为或或或． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：． （2）你认为和相似吗？ 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）判断和________．（填写：相似或不相似） 直接写出________． 【结论应用】 （3）在（2）的基础上，将纸片按图（3）所示翻折，恰好点C落在直线上，得到．若，则的长为________． 【答案】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 点D、Q、A三点共线， ， ， ， ， ； （2）相似；； （3） 【解析】 【分析】问题解决：（1）先证明，结合，即可得证； （2）作的斜边上的中线，证明为等边三角形，得出，求出，结合，即可得证； 结论应用：证明，得出，由折叠的性质结合含角的直角三角形的性质得出，即可得解． 【详解】问题解决：（1）略 （2）相似；，理由如下： 作的斜边上的中线， 则， 由题意得， ， 为等边三角形， ， ， ， 由折叠可得，， ， ， ， ， ， , ， ， ； 结论应用： （3）解：， ， ， ， ， ， 由折叠可得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）直接写出线段的长．（用含的代数式表示） （3）当边中点在内部时，求的取值范围． （4）在点运动过程中，直接写出射线平分时的值． 【答案】（1） （2）线段的长或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的综合，涉及动点问题，勾股定理，一元一次方程，等腰三角形的判定，熟练根据题意画出正确图形，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况：当点在上时，利用列式求解；当点在上时，利用列式求解； （3）先确定位置，当点在上时，在右侧，又点刚好在边上时，通过相似可知此时点还没在内部，则当点刚好在上时，才开始进入内部，通过列式求解；当点在上时，在左侧， 点不可能在内部； （4）分两种情况：当点在上时，过点作于点，可知，通过求出和，列式求解；当点在上时，过点作于点，可知，通过，求出和，列式求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在上时， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在上时， 当点到达点时，，得， 则此时， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或； 【小问3详解】 解：由题可得当点在上时，在右侧， 随着点的运动，当点刚好在边上时， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时， 则此时点不在内部， 则当点刚好在上时，才开始进入内部，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上时，在左侧，如图， 点不可能在内部； 综上，点在内部时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：①当点在上时，如图， 过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 解得：； ②当点在上时，如图， 过点作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 解得：； 综上，或． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点．点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为． （1）求a，b的值． （2）当点Q在抛物线上时，求m的值． （3）当线段与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围． （4）过点P作轴，点M的纵坐标为，且点M与点P不重合．连接，当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）把，代入，得到关于a、b的二元一次方程组，即可求得a和b； （2）根据点P与点Q的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出m的值； （3）先求出P点关于对称轴的对称点的坐标，线段与图象有两个交点，再结合图象，确定m的取值即可； （4）根据，，的位置关系分类讨论，画出图象，结合图象求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式， ∴a，b的值为，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴是：直线， ∵轴，且点P和点Q在抛物上， ∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称， ∴， 解得：； ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵点P的横坐标为m，抛物线对称轴是直线， ∴点P关于对称轴的对称点的横坐标为， ∵当线段与抛物线有两个公共点时，轴， ∴在点，之间， ∵点Q的横坐标为， ∴或， 解得或； 【小问4详解】 解：当时，点M在x轴下方， 当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，则在点，之间，，解得； 当时，如图，不存在抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小，不合题意； ∴当时，点M在x轴上方，如图，此时都能满足抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小， ∴当时，点M在x轴上方，如图， ∵抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小， ∴在的左边，点M在点上方， ∴，， ∴； 综上所述，m的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林大学附属中学2024−2025学年度上学期“教·学·评′一体化 九年级 数学学科大练习 总分：120分 答题时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 3. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x≤2 D. x≥2 5. 计算的结果是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 6. 如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算的结果是________． 10. 二次函数的图象的顶点坐标是_______． 11. 若二次函数的图象过点，则a的值为________． 12. 如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是______． 13. 若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是________． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字0，1，2，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和是偶数的概率． 17. 一个二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的表达式． 18. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 19. 如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另三边的总长为60米．设的长为x米． （1） ________米，车棚的面积是________平方米．（用含x的代数式表示） （2）若墙长为25米，求当x为多少时，矩形车棚的面积最大，并求出最大值． 20. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，与要求写出做法． （1）在图①中以线段为边画一个，使其面积为6． （2）在图②中以线段为边画一个，使其面积为6． （3）在图③中以线段为边画一个四边形，使其面积为6，． 21. 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，点F在抛物线上，点D在x轴上，点．若以点A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标． 22. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折．设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：． （2）你认为和相似吗？ 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）判断和________．（填写：相似或不相似） 直接写出________． 【结论应用】 （3）在（2）的基础上，将纸片按图（3）所示翻折，恰好点C落在直线上，得到．若，则的长为________． 23. 如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．过点作交边或边于点，且点不与点、重合，点不与点重合．设线段的中点为，将截得到的小三角形绕点旋转，得到．设点的运动时间为秒． （1）的长为________． （2）直接写出线段的长．（用含的代数式表示） （3）当边中点在内部时，求的取值范围． （4）在点运动过程中，直接写出射线平分时的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点．点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为． （1）求a，b的值． （2）当点Q在抛物线上时，求m的值． （3）当线段与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围． （4）过点P作轴，点M的纵坐标为，且点M与点P不重合．连接，当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $