6.2反比例函数图像和性质 教学设计 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 反比例函数的图像和性质 教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册教材 出版社：北京师范大学出版社 出版日期：2013年9月 教学目标 1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象，体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，初步探索并掌握反比例函数的基本性质。 2.通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力，通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力。 3.在通过画图探究反比例函数图象及其性质过程中，让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲。 教学重难点 教学重点： 能熟练地作出反比例函数图像。 教学难点： 理解反比例函数及其图象的有关性质。 理解反比例函数的代数表达式与图象之间的对应关系。 教学过程 亲爱的同学们，大家好！欢迎来到今天的数学课堂。这节课我们要学习的内容是北师大版数学九年级上册第五章第二节的内容：反比例函数的图像和性质！ 一、复习导入 上节课我们一起认识了反比例函数，大家还有印象吗？ 1.反比例函数的概念，什么是反比例函数呢？ 一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示为（k为常数，k≠0）的形式，那么就称y是x的反比例函数。 反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0），也可以写成：（k为常数，k≠0）,或者（k为常数，k≠0） 自变量x和函数y的取值范围分别是怎样的？ x≠0，y≠0 2.试着找找哪些是反比例函数吧！ （1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8） 根据反比例函数的概念，必须是形如为（k为常数，k≠0）的函数，才是反比例函数，我们可以得出（1）（4）（5）均符合这一要求，但还要注意反比例函数的一些常见变形，如（k为常数，k≠0）,或者（k为常数，k≠0），所以（6）（8）也是反比例函数！ 说到函数图像与性质，我们之前研究过一次函数的图像与性质，一起回顾一下吧： 3.一次函数的图像与性质 一次函数(k,b是常数且k≠0)的图像是一条直线； 当k＞0时，y随x的增大而增大，图像从左到右呈上升趋势，当b=0时，过坐标原点，图像经过第一三象限；当b>0时，图像经过第一二三象限；当b<0时，图像经过第一三四象限。 当k＜0时，y随x的增大而减小，图像从左到右呈下降趋势，当b=0时，过坐标原点，图像经过第二四象限；当b>0时，图像经过第一二四象限；当b<0时，图像经过第二三四象限。 有了探究一次函数的图像和性质经验，我们能否利用这些知识来探究得到反比例函数的图像与性质呢？ 下面就请同学们跟随老师的脚步，一起来探究吧！ 二、活动探究 我们知道作函数图像的一般步骤是：列表、描点、连线 首先在自变量的取值范围内取一些值，列表给出自变量与函数值的对应关系，然后以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，最后按照自变量从小到大的顺序，把所描各点用一条平滑的曲线依次连接起来！ 【探究一】 你能用同样的方法画出反比例函数的图像吗？（可以按下暂停键，先自己试着画一画，然后再和老师的作图过程对照） 一起来看看吧！ 第一步：列表 列表这一步需要注意：在自变量取值范围内取一些值，并计算相应的函数值。 老师为什么要强调“在自变量取值范围内”取一些值呢？因为我们知道在反比例函数中自变量x是不能等于零的，所以这里在取值的时候也一定要注意跳过零！好那接下来带大家来看一下老师所取的值有哪些：-8，-4，-3，-2，-1，，，1，2，3，4，8.同学们在取值的时候也一定要注意不能取零！然后画出表格，接着我们分别将所取到的自变量的值代入函数中去计算，得到相应的函数值填入表格中，这样我们的第一步就顺利完成了！然后进行下一步。 第二步：描点 这一步需要我们先画出平面直角坐标系，然后以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内将这些点全部描出！紧接着就是最后一步！ 第三步：连线 按照自变量从小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线顺次连接起来！这样就画出了反比例函数的图像！ 检查一下，你画对了吗？ 你认为作反比例函数的图像时需要注意哪些问题呢？ 1.列表时，选取自变量的值，既要易于计算，又要便于描点，可以选取一些互为相反数的值，从而简化计算，又能便于对称性描点； 2.描点时,要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线（平滑的曲线），又可以使图像更加精确，还能较准确地表达函数的变化趋势； 3.连线时，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接，而且一定要养成按自变量从小到大的顺序依次连线的习惯，从中体会函数的变化趋势； 4.图象是无限延伸的，注意不要画成有明确端点； 5.曲线的发展趋势只能无限靠近坐标轴，但不能和坐标轴有交点。 到这里呢，相信同学们已经掌握了作反比例函数图像的方法了，不妨按下暂停键，试着在练习本上画一画反比例函数的图像吧！ 老师这里就直接展示画好的函数图像了，同学们你们画对了吗？ 【探究二】 现在请大家认真观察并对比：反比例函数和的图像，它们有什么相同点和不同点吗？在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？ 我们不难看出，反比例函数的图像是由两支曲线组成的，因此经常称反比例函数的图像为双曲线。 和，分别是k=4和k=-4时的反比例函数，一个k是正数，一个k是负数，观察图像发现，当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内， 我们看的图像发现，在每个象限内都是y的值随着x的值的增大而减小；的图像在每个象限内都是y的值随着x的值的增大而增大。 所以，我们来总结一下反比例函数图像的性质： 1.反比例函数的图像是由两支曲线组成的； 2.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，而且在每个象限内都有y的值随着x的值的增大而减小； 当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，而且在每个象限内都是y的值随着x的值的增大而增大。 了解了反比例函数的图像和性质后，我们来做几道练习题来练练手吧！（大家可以按下暂停键，自己先试着做一做，然后和老师核对） 三、巩固练习 1.找一找，哪个是反比例函数的图像（ ） 2.反比例函数的图像在第 象限内，在每一象限内，y随x的值的增大而 。 3.双曲线经过点M（-2，3），则该双曲线位于第 象限内。 一起来看看吧！ 解析： 1.因为是反比例函数，由反比例函数的图像与性质可知：图像一定是双曲线，又因为k=-3＜0，两支曲线分别位于第二、四象限内，而且在每个象限内都是y的值随着x的值的增大而增大，所以反比例函数的图像应该是A。 2.函数是k=5的反比例函数，由反比例函数的图像与性质可知：k=5＞0，图像在第一、三象限内，而且在每个象限内y的值随着x的值的增大而减小。 3.双曲线经过点M（-2，3），因此点M在双曲线的图像上，将点M的坐标带入函数表达式得到：，求得k=-6＜0，由反比例函数的图像与性质可知：k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。 四、课堂小结 1.画反比例函数图像的步骤：列表、描点、连线 2.反比例函数图像的性质： 1）反比例函数的图像是由两支曲线组成的； 2）当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，而且在每个象限内都有y的值随着x的值的增大而减小； 当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，而且在每个象限内都是y的值随着x的值的增大而增大。 注意：反比例函数图像与坐标轴没有交点！ 五、课后作业 1.分别画出反比例函数和的图像。 2.反比例函数的图像在第二、四象限内，求m的取值范围。 这节课到这儿就结束了，感谢大家的聆听！下节课我们再见！ 学科网（北京）股份有限公司 $$