1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时课件2024-2025学年 湘教版数学八年级上册

1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h,它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少? 解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得 分母中含未知数的方程叫作？ 2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程. 1.理解分式方程的概念和分式方程无解的原因. 像这样分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 整式方程 分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程? 【例题1】 【跟踪训练】 D D　 解得 v=5. 下面我们一起研究怎么样来解分式方程： 方程两边同乘以（20+v）（20-v），得 在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）. 检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解. 解分式方程： 解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得： x+5=10 解得 x=5 检验： 将x=5代入x-5，x2-25得其值都为0，相应的分式无意义.所以x=5不是原分式方程的解. 所以原分式方程无解. 为什么分式方程会无解？ 原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验. 为什么分式方程会无解？ 增根的定义 【例题】 分析：先找出各分式的最简公分母，然后方程两边同时乘最简公分母，去掉分母，化为一元一次方程，求解并验根． 解答：方程两边同时乘(x＋2)·(x－2)，得(x－2)2－16＝(x＋2)2.解得x＝－2. 检验：当x＝－2时，(x＋2)·(x－2)＝0， 所以＝－2是增根，舍去． 所以原分式方程无解． 【跟踪训练】 B 【跟踪训练】 D 【跟踪训练】 解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去. 4.写出原方程的解. 解分式方程的思路： 分式方程 整式方程 去分母 一化二解三检验 问题1：分式方程何时有增根？ 分式方程产生增根，则增根一定是使原分式方程的最简公分母为0的值，即x=3. 问题2：当x=3时，这个分式方程会产生增根，怎样利用这个条件求出a的值？ 当x=3时会产生增根，即6-a=3，解得a=3.所以，当a=3时，此分式方程会产生增根. 【跟踪训练】 A D 3 解分式方程容易犯的错误有： (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用） (3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉. D　 x＝1　 解：x＝－2. 解：无解． 悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老。 —— 拜 伦 2．下列是关于x的分式方程的是 (　　) A．eq \f(x－2,7＋a)＝3－x　 B．eq \f(x＋2,5)－3＝eq \f(x＋3,6) C．eq \f(x,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b,a)－eq \f(x,b)　 D．eq \f(x－12,x－1)＝1 【典例】解分式方程： eq \f(x－2,x＋2)＋eq \f(16,4－x2)＝eq \f(x＋2,x－2). 解：x＝eq \f(1,3). 　　　 eq \a\vs4\al(解：无解.) eq \a\vs4\al(解：x＝－\f(1,2).) 4．解下列分式方程： (1)eq \f(2x,2－x)＝1－eq \f(1,2－x)； 　　　 (2)eq \f(x,3x－4)＋eq \f(5,4－3x)＝1； (3)eq \f(2,x＋1)＋eq \f(3,x－1)＝eq \f(6,x2－1). k＞－eq \f(1,2)且k≠0　 1．若分式方程eq \f(3x－a,x2－2x)＋eq \f(1,x－2)＝eq \f(2,x)有增根，则实数a的取值是 (　　) A．0或2　 B．4 C．8　 D．4或8 2．【核心素养题】定义：a*b＝eq \f(a,b)，则方程2* (x＋3)=1*(2x)的解为_________. 3．已知关于x的分式方程eq \f(k,x＋1)＋eq \f(x＋k,x－1)＝1的解为负数，则k的取值范围是_______________________. (3)eq \f(2,x＋1)－eq \f(3,1－x)＝eq \f(5,1－x2)； 解：x＝－eq \f(6,5). (4)eq \f(x＋1,x－1)－eq \f(4,x2－1)＝1. 解：无解． 4．解方程： (1)eq \f(7,x－1)＋3＝eq \f(x,x－1)； (2)eq \f(2,3)＋eq \f(x,3x－1)＝eq \f(1,9x－3)； 解：根据题意，得eq \f(2x＋2,3x－5)＝4，解得x＝eq \f(11,5).经检验，x＝eq \f(11,5)是原分式方程的解，所以x的值为eq \f(11,5). 5．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是－4，eq \f(2x＋2,3x－5)，且点A，B到原点的距离相等，求x的值． $$