精品解析：贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

印江自治县2024－2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. y= B. y= C. y=2x+1 D. 2y=x 2. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 4. 用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列四组线段中，不是成比例线段的为（ ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 6. 济宁市某经济开发区，今年一月份工业产值达10亿元，第一季度总产值为75亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 8. 已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1 9. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ） A. 4小时 B. 6小时 C. 8小时 D. 10小时 11. 如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数（）的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 10 12. 反比例函数的图像如图所示，、为该图像上关于原点对称的两点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、.若四边形的面积大于，则关于的方程的根的情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知，求______． 14. 如图，点M是反比例函数的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若，则此反比例函数解析式为____． 15. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 16. 如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为 ___________． 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共9小题，共98分，其中第17、18、19、20、21题各10分，第22、23、24、25题各12分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 19. 如图，直线，直线和被、、所截，如果，，，求的长． 20. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了贵州省某县城区初中若干名学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生家长？ （2）求出C部分扇形圆心角的度数，并将图①补充完整： （3）根据抽样调查结果，请你估计8000名初中学生家长中有多少名家长持反对态度？ 21. 如图，一次函数的图像交坐标轴于，两点，交反比例函数的图像于，两点，，． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）观察图像，直接写出时的取值范围． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，老乐山景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售． （1）据调研发现，竹制品生产组今年二月份共生产1500套“农具”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在四月份能生产多少套“农具”？ （2）已知某商店代理销售“农具”平均每天可销售50套，每套盈利24元，在每套降价幅度不超过7元的情况下，每下降1元，则每天可多售5套．如果每天要盈利1440元，每套应降价多少元？ 23. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标． 25. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 印江自治县2024－2025学年度第一学期期中质量监测九年级数学试题 答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. y= B. y= C. y=2x+1 D. 2y=x 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义判断即可. 【详解】根据反比例函数的定义，A是反比例函数，BCD均不是反比例函数. 故选：A． 2. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段， 则． 故选：A． 3. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系来求方程的另一根即可． 【详解】解：设方程的另一根为，则， 解得． 故选：C． 4. 用配方法解方程，则配方结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法，首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：原方程变形为 即， ∴， 即． 故选C． 5. 下列四组线段中，不是成比例线段的为（ ） A. 3，6，2，4 B. 4，6，5，10 C. 1，，， D. 2，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键． 只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断． 【详解】解：A、∵，∴四组线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四组线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； C、∵，∴四组线段1，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； D、∵，∴四组线段2，，，是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 济宁市某经济开发区，今年一月份工业产值达10亿元，第一季度总产值为75亿元，则二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是增长率问题，解题的关键是能够分别表示出二、三月份的产值，难度不大．一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：亿元，三月份的产值为亿元，根据题意，得 ． 故选：B． 7. 等腰三角形一边长为2，另外两边长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 8或9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时， 此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根， ∴△＝36−4k＝0， ∴k＝9， 此时两腰长为3， ∵2＋3＞3， ∴k＝9满足题意， ②当等腰三角形的腰长为2时， 此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根， 代入得4−12＋k＝0， ∴k＝8， ∴x2−6x＋8＝0 求出另外一根为：x＝4， ∵2＋2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，k＝9， 故选∶B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质． 8. 已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1 【答案】C 【解析】 【分析】利用k＜0，得到反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；于是y1＞0，y2＜0，y3＜0．利用在第四象限内y随x的增大而增大，根据1＜2，可得y2＜y3＜0．最终结论可得． 【详解】解：在反比例函数中，∵k＜0， ∴反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． ∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）， ∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（1，y2），C（2，y3）在第四象限． ∴y1＞0，y2＜0，y3＜0． 又∵1＜2， ∴y2＜y3＜0． ∴y2＜y3＜y1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9. 已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答． 【详解】当时，， 即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意， A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意； B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 10. 某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ） A. 4小时 B. 6小时 C. 8小时 D. 10小时 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 11. 如图，在平面直角坐标系内，四边形是矩形，四边形是正方形，点，在轴的负半轴上，点在上，点，均在反比例函数（）的图象上，若点的坐标为，则正方形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，设正方形的边长为，由此即可表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，反比例函数的图象过点， ∴． 设正方形的边长为， 则点的坐标为． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出关于a的一元二次方程是解答本题的关键． 12. 反比例函数的图像如图所示，、为该图像上关于原点对称的两点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、.若四边形的面积大于，则关于的方程的根的情况是 A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵P、Q为该图象上关于原点对称的两点，PA⊥y轴，QB⊥y轴， ∴PA∥QB，OA=OB，AP=BQ， ∴四边形AQBP为平行四边形， ∴S平行四边形AQBP=BQ•AB=4×（BQ•OB）=4S△OBQ=2（a+4）＞12， ∴a＞2． ∵在方程（a﹣1）x2﹣x+=0中，△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）×=2﹣a＜0， ∴方程（a﹣1）x2﹣x+=0没有实数根． 故选A． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点M是反比例函数的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若，则此反比例函数解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，设点M的坐标是，根据得到，再由图象在二、四象限即可得到，得到答案． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵， ∴， ∵图象在二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 15. 若，是方程的两个实数根，则的值为________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程中根与系数的关系，根据题意，，为方程的根，得，根据，则，根据，即可． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，正比例函数与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查反比例函数与正比例函数的交点，过作轴于，过点作于．构造形全等，证明，将线段长度转化为坐标运算即可求． 【解答】解：如图： 过作轴于，过点作于． 则， ． ． ． ． ． ． ，． 设，则，． ． ， 点，在的图象上． ． ， ． ， 舍去． 故答案为：． 三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共9小题，共98分，其中第17、18、19、20、21题各10分，第22、23、24、25题各12分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再解一元一次方程即可； （2）先把方程的左边提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 19. 如图，直线，直线和被、、所截，如果，，，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 20. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了贵州省某县城区初中若干名学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生家长？ （2）求出C部分扇形圆心角的度数，并将图①补充完整： （3）根据抽样调查结果，请你估计8000名初中学生家长中有多少名家长持反对态度？ 【答案】（1）共调查了200名学生家长 （2）， 补全条形统计图如下图所示： （3）估计约有4800名家长持反对态度 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，读懂统计图，得到必要的信息是解题的关键． （1）用“无所谓”或“反对”的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数； （2）利用总数减去、两种态度的人数即可得到态度的人数，然后根据即可计算出部分扇形圆心角的度数和补全条形图； （3）用家长总数乘以抽样调查中持“反对”态度的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）（或）； 答：此次调查中，共调查了200名学生家长． 【小问2详解】 解：家长态度为C的家长人数为：（人）， 部分扇形圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（名）； 答：估计约有4800名家长持反对态度． 21. 如图，一次函数的图像交坐标轴于，两点，交反比例函数的图像于，两点，，． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）观察图像，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及函数图像的交点、平面直角坐标系中求三角形面积、由函数图像解不等式等，数形结合，掌握相应题型的解法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，由待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据题意，由一次函数与反比例函数图像，数形结合求出、、，由平面直角坐标系中，代值求解即可得到答案； （3）观察图像，理解时的取值范围为一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的的取值范围，数形结合即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入一次函数得，解得， 一次函数表达式为， 将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：， 故反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 解：由图可知，， 由（1）知一次函数表达式为，则当时，， ， 一次函数的图像交反比例函数的图像于，两点， 联立一次函数与反比例函数解析式得，解得或， 、， ； 【小问3详解】 解：如图所示： 由（2）知一次函数的图像交反比例函数的图像于、两点， 当时，的取值范围可转化为一次函数图像在反比例函数图像上方部分对应的的取值范围， 由图像可知，当时，的取值范围为或． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，老乐山景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售． （1）据调研发现，竹制品生产组今年二月份共生产1500套“农具”，为增大生产量，该生产组平均每月生产量增加，则该生产组在四月份能生产多少套“农具”？ （2）已知某商店代理销售“农具”平均每天可销售50套，每套盈利24元，在每套降价幅度不超过7元的情况下，每下降1元，则每天可多售5套．如果每天要盈利1440元，每套应降价多少元？ 【答案】（1）该生产组在四月份能生产2160套“农具”； （2）每套应降价6元． 【解析】 【分析】（1）利用该生产组在四月份生产“农具”的数量＝该工厂在二月份生产“农具”的数量，即可求出结论； （2）设每套“农具”降价x元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用该商店每天销售“农具”获得的利润＝每套的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：（套）， 答：该生产组在四月份能生产2160套“农具”； 【小问2详解】 解：设每套“农具”降价x元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每套应降价6元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒． (1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)； (2)当t为何值时，PQ的长度等于cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t cm；(5－t)cm； （2）当t＝3秒时，PQ的长度等于cm； （3）存在，当t＝1秒时，五边形APQCD的面积等于26 cm2， 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得BQ、PB的长度； （2）根据勾股定理可得PB2+BQ2＝QP2，代入相应数据解方程即可； （3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可． 【详解】解：(1) ∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm． ∵AB＝5cm， ∴PB＝(5﹣t)cm． ∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， ∴BQ＝2tcm， 故答案为：2t cm ，(5－t)cm ； 　(2)由题意得：(5－t)2＋(2t)2＝()2， 解得t1＝-1(不合题意，舍去)，t2＝3． 当t＝3秒时，PQ的长度等于cm．　 (3)存在． 理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30(cm2)， 使得五边形APQCD的面积等于26 cm2， 则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)， ∴(5－t) ×2t×＝4， 解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键． 24. 如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E． （1）求k的值及直线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P，则，由轴对称的性质推出当最小时，的周长最小，即此时三点共线，求出直线的解析式为，再求出当时，，即可得到． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵反比例函数的图像经过点D， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，作点D关于x轴对称的点G，连接交x轴于P， ∴， 由轴对称的性质可知， ∴的周长， ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即此时三点共线， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称——最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 25. 探究题： （1）特殊情景： 如图（1），在四边形中，，以点为顶点作一个角，角的两边分别交，于点，，且，连接，若，探究：线段，，之间的数量关系为：______．（提示：延长到，使，连接） （2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“”改成一股情况“，”如图（2），小明猜想：线段，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结论． （3）解决问题：如图（3），在中，，，点，均在边上，且，若，计算的长度． 【答案】（1） （2） 成立，理由如下： 设，则， 如图，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， ， ， 点，，在同一直线上， ，， ， ， ， 又， ，且， ． （3） 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （2）设，则，如图，将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质可得，可证，，由此即可求解； （3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，可证，可得，在中，，可求出的长，由此可表示出的长，再根据线段的关系表示出，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：结论：，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，得到， 四边形中，，，， ∴，， ，即点，，共线， 由旋转可得，，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，，即， ， ，， ，即，解得，． 【点睛】本题主要考查图形变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识的灵活运用，利用旋转构成全等三角形的方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $