第24章 圆 章节知识点梳理 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

圆教材梳理 圆 相关概念 基本性质 点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 正多边形和圆 弧长和扇形面积 圆的有关性质 圆的定义 描述性概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 集合性概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 (1)圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. (2)圆上任意一点到圆心的距离等于半径，所有到圆心的距离等于半径的点都在该圆上 圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中“弦AC” 直径：经过圆心的弦叫做直径，如图中“直径AB” 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 (1)直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径 (2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；弧包括优弧、劣弧和半圆 (3)等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 (4)长度相等的弧不一定是等弧 题型一   与圆有关的概念 例 1   下列说法正确的是                                     (       ) A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 优弧一定大于劣弧 C. 不同的圆中不可能有相等的弦 D. 直径是弦且是同一个圆中最长的弦 题型二   利用圆的半径相等进行计算 例2   如图,AB是半圆O 的直径,D 是半圆上的一点,∠DOB=75°,DC交BA的延长线于点E,交半圆于点C,且CE=AO,求E的度数. 答案：D 如图所示，连接OC ∵CE=AO,OA=OC ∴OC=EC ∴∠E=∠1 ∴∠2=2∠E ∵OC=OD ∴∠D=∠2=2∠E ∵∠BOD=∠E+∠D=3∠E=75° ∴∠E=25° 垂直于弦的直径 圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 垂径定理：（文字表述）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 （符号语言）如图，已知CD是⊙O的直径， 推论：（文字表述）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （符号语言）如图，已知CD是⊙O的直径，为弦，，则， (1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段,其本质是“过圆心”. (2)由垂径定理还可以得到:①平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧；②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. (3)作不平行的两条弦的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点就是圆心. (4)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍然成立 垂径定理的实际应用 在实际问题中,通常把所给条件转化为垂径定理的已知知识,通过勾股定理解决问题. 解决此类问题,常用添加辅助线的方法:连接圆心和弦的端点或过圆心作弦的垂线,构造直角三角形. 圆心角的概念及其计算 顶点在圆心的角叫做圆心角。如图，∠AOB为圆心角。 弧、弦、圆心角 弧、弦、圆心角之间的关系 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 弧、弦、圆心角的关系的推论： (1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等. (2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等 符号语言表示： (1)如果∠AOB=∠COD,那么AB=CD,. (2) 如果=,那么∠AOB=∠COD, AB=CD. (3)如果AB=CD,那么∠AOB=∠COD,=,= 圆周角的概念 1.顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交。 如图，∠ABC是圆周角，而∠DEF和∠GEH不是圆周角。 2.同一条弧所对的圆周角有无数个。 3.圆心角与圆周角的区别与联系： 圆周角 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中,一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中,一条弧所对的圆周角有无数个 联系 两边都和圆相交 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （符号语言）如图所示,∠BAC为所对的圆周角之一,∠BOC是所对的圆心角,则∠BAC=∠BOC 圆周角定理 圆周角定理的推论： (1)同弧或等弧所对的圆周角相等. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角 , 90°的圆周角所对的弦是直径 (符号语言)： (1)如果=, 那么∠ABC=∠BAD. (2)如果AB是直径 , 那么∠ACB=∠ADB=90°;如果∠ACB=90°, 那么AB是直径 圆周角定理的推论 1.圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形及其性质 直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系 点到圆心的距离(d) 与半径(r)的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径;到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点P在圆内d<r 点在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径;到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点P在圆上⟺d=r 点在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径;到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点P在圆外⟺ d>r 点和圆的位置关系 注意: (1)符号“⟺ ”读作“等价于”,它表示从符号“⟺ ”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端. (2)点与圆的位置关系与点到圆心的距离(d)、圆的半径(r)之间的大小关系有着紧密的联系,是“数”与“形”的结合,即点与圆的位置关系不仅可以用图形来表示,还可以用数量关系来表示. 过已知点作圆（经过同一条直线上的三个点不能作圆） 由圆的定义可知,圆有两个要素:一个是圆心,另一个是半径.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小. 1.一个点(如点A):以点A外的任意一点为圆心，以OA为半径作圆即可 2.两个点(如点A,B):以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以OA或OB为半径作圆即可 3.不在同一条直线上的三个点(如点A,B,C):连接AB,BC,(或AC),并作它们的垂直平分线相较于点O，以O点为圆心，以OA(或OB,OC)为半径作圆即可 无数个 无数个（圆心都在同一条直线上） 1个 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆 三角 形的 外心 定义 三角形外接圆的圆心,叫做这个三角形的外心 确定方法 三角形三条边的垂直平分线的交点 性质 (1)外心到三角形三个顶点的距离相等. (2)外心不一定在三角形的内部 位置 锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点 , 钝角三角形的外心在三角形的外部 三角形的外接圆与外心 注意:因为三角形的三个顶点不在同一条直线上 , 因此任意一个三角形都有外接圆,而且只有一个外接圆,但一个圆有无数个内接三角形. 反证法 1.反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。 2.反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； (3)由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交 直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切 直线和圆没有公共点，这是我们 说这条直线和圆相离 图形 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离d与半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线与⊙O相交 直线与⊙O相切 注意:(1)直线和圆的位置关系,可以用直线和圆的公共点的个数来判定,也可以用圆心到直线的距离(d)与半径(r)的大小关系来判定. (2)直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系既有联系,又有区别,两者都是根据d与r的数量关系来判定图形的位置关系的,但前者中的d为圆心到直线的距离,后者中的d为点与圆心的距离. 直线和圆的位置关系 切线的判定 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法： (1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. (2)到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定思路： (1)“见半径,证垂直”. (2)“连半径 , 证垂直”. (3)“作垂直,证相等” 切线的性质 1. 圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 2. 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. 3. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 提示:本性质可以用一个定理叙述出来:如果圆中的一条直线满足以下三个条件中的任意两条,那么就一定满足第三条,它们是:①垂直于切线;②过切点;③过圆心. 切线长的定义 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 符号语言表示 因为PA,PB 是⊙O的两条切线，所以PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB 拓展延伸 在切线长的基本图形中 , 还可以得出很多结论 , 如 :①PO丄AB；②AD=BD；③；④PA丄OA, PB丄OB；⑤∠1=∠2=∠3=∠4等 切线长及切线长定理 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心 定义 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 确定方法 三角形三条角平分线的交点 性质 (1)内心到三边的距离相等. (2)三角形的内心与三角形的顶点的连线平分这个角 位置 三角形的内心都在三角形内部 三角形的内切圆与内心 补充：内切圆半径通用公式 正多边形和圆 正多边形和圆 把一个圆分成相等的一些弧,顺次连接各分点,就作出这 个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆 概念 定义 图形 中心 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 （1）相关概念 名称 公式 图例 中心角 正n边形的每个 内角 正n边形的每个内角为 外角 正n边形的每个外角为 周长 正n边形的周长C=na(a为边长) 面积 正n边形的面积S=rl (r为边心距,l为周长) （2）相关公式 等分圆周法 工具 适用范围及优缺点 作图方法 用量角器等分 画出任意正n边形，但边数很多时,容易有较大的误差 先计算正n边形的中心角,把以圆心O为顶点的周角分成n个的角,确定圆周的等分点 ,然后依次连接各等分点 用尺规作图法等分 画一些特殊的正多边形,不能将圆任意等分 如:①在半径为R的圆上依次截取等于R的弦,就可以把圆六等分,顺次连接各分点即可得正六边形;隔一个分点取一个,顺次连接其中三个分点可得正三角形;作出六个分点后 , 再依次平分每条弧可得正十二边形、正 二 十四边形 …… ②作⊙O的两条互相垂直的直径得正方形,再依次平分每条弧可得正八边形、正十六边形 …… 正多边形的画法 弧长和扇形面积 在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2, 所以1°的圆心角所对的弧长是,即。于是n°的圆心角所对的弧长为. 重点解读:(1)在弧长公式中 , n表示1°的圆心角的倍数 ,不带单位 ; (2)在弧长公式中,已知,n,R中的任意两个量, 都可以求出第三个量; (3)在计算时 , 若题目中没有标明精确度 , 可用含的代数式表示弧长. 弧长公式及应用 扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形 面积公式 =或= 推导过程 在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2, 所以圆心角是1°的扇形的面积是圆心角为n°的扇形面积为== 扇形面积公式及应用 (1)公式中的n与弧长公式中的n一样 , 应该理解为1°的倍数 , 不带单位. (2) 已知,l, n, R四个量中的任意两个 , 都可以求出另外两个. (3)扇形面积公式=lR与三角形面积公式十分类似,为了便于记忆,只要把扇形看成一个曲边三角形,把弧长l看成底,R看成底边上的高即可 圆锥的相关概念 圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 圆锥的高 连接圆锥的顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 圆锥与扇形的联系 沿着圆锥的一条母线把一个圆锥的侧面展开, 得到一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,这个扇形的半径等于圆锥的母线长 圆锥的侧面积和全面积 设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r, 则S侧 =2πr =π,S全=S侧十S底= πrl十πr2 圆锥的侧面积和全面积 谢谢观看 $$