5.1 常量与变量（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 5.1 常量与变量 知识点 常量和变量 ◆1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 【注意】 （1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. （2）“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量； （3）判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中其数值是否发生变化； （4）变量、常量与字母的指数没有关系，如 S=r中,变量是“S和“r”(不能说r')，常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出． 题型一 变量与常量的确定 1．（2023春•西昌市校级月考）从西昌到成都大约有560千米，某天小丽一家准备自驾车从西昌到成都参观动物园，在这个过程中，如果设行驶速度为v千米/小时，行驶的时间为t小时，其中变量是（　　） A．560、t B．t、v C．560、v D．560、v、t 【分析】根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【解答】解：从西昌到成都大约有560千米，在这个过程中，行驶速度为v千米/小时，行驶的时间为t小时，其中是变量的是t，v． 故选：B． 【点评】此题考查的是常量与变量，掌握其定义是解决此题的关键． 2．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ）    A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．和18是常量 D．金额是数量的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义依次判断． 【详解】解：单价是自变量，金额和数量是变量，金额是数量的函数，只有B正确, 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量，熟记定义是解题的关键． 3．（2023春•顺德区期中）用一根10cm长的铁丝围成的长方形，现给出四个量：①长方形的长；②长方形的宽；③长方形的周长；④长方形的面积．其中是变量的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据常量和变量的概念结合题意即可解答． 【解答】解：由题意知长方形的周长一定， ∴变量有长、宽和面积． 故选：B． 【点评】本题考查了变量和常量的判断，要熟练掌握是解决此题的关键． 4．（2023春•桥西区校级期中）某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是，其中（　　） A．100是常量，w，n是变量 B．100，w是常量，n是变量 C．100，n是常量，w是变量 D．无法确定哪个是常量，哪个是变量 【分析】根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量． 【解答】解：学校计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数W（个）与单价n（元）的关系式w， 100是常量，w，n是变量， 故选：A． 【点评】主要考查了常量与变量，熟知函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量是解题的关键． 5．（2023•蓬江区校级三模）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB自由转动至AB′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（　　） A．∠BAC的度数 B．AB的长度 C．BC的长度 D．△ABC的面积 【分析】根据常量和变量的定义进行判断． 【解答】解：木条AB绕点A自由转动至AB′过程中，AB的长度始终不变， 故AB的长度是常量； 而∠BAC的度数、BC的长度、△ABC的面积一直在变化，均是变量． 故选：B． 【点评】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键． 6．（2023春•西峰区校级期中）某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　 　，变量是 　 　． 【分析】根据常量是用电价格0.58（元/千瓦时），变量是用电量x（千瓦•时）和应付电费y（元）即可得出结论． 【解答】解：由题意，可知：常量是0.58，变量是x，y． 故答案为：0.58；x，y． 【点评】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键． 7．（2023春•普宁市期中）饮食店里快餐每盒5元，买n盒需付S元，则其中常量是 ，变量是 ． 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【解答】解：单价5元固定，是常量， 付费S元随着盒数n的变化而变化，是变量， 故常量是5，变量是n,S； 故答案为：5；n,S； 【点评】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键． 8．（2024春•大荔县期末）在球的表面积公式S＝4πr2中，常量是 　 　． 【分析】根据常量、变量的定义，可得答案． 【解答】解：在球的表面积公式S＝4πr2中，4π是常量，S、r是变量， 故答案为：4π． 【点评】本题考查了常量与变量，常量是在事物的变化中保持不变的量． 9．（2023秋•舟山期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（时）可用公式（N是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 　 　（时）． 【分析】把N＝13代入计算即可． 【解答】解：当N＝13时， 故答案为：9.7． 【点评】本题主要考查常量与变量的概念，掌握常量与变量的概念是解题的关键． 10．（2023秋•余杭区月考）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在S，p，a中是变量的是 　 ． 【答案】S和a． 【分析】根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量． 【解答】解：∵篱笆的总长为60米， ∴周长p是定值，而面积S和一边长a是变量， 故答案为：S和a． 【点评】本题主要考查常量与变量的概念，掌握常量与变量的概念是解题的关键． 11．（2024春•通州区期中）学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀．在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端．国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是 　 　（只填写序号）． 【分析】根据常量与变量的定义判断即可． 【解答】解：旗杆的高度30米始终保持不变，是常量；而国旗上升过程中的时间一直在变化，是变量；国旗上升过程中的高度随时间而改变，是变量， ∴①③正确，②不正确． 故答案为：①③． 【点评】本题考查常量与变量，掌握其定义是本题的关键． 12．写出下列变化过程中的变量和常量： （1）一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； （2）小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是1.2元，小佳购买n本练习本，剩余M元； （3）气温T（单位：℃）随海拔高度h（单位：km）的变化而变化，某地气温为12℃，海拔每升高1km气温下降6℃． 【分析】（1）根据长方形的面积为10平方厘米不变化可得出常量，根据长方形长随宽的变化而变化可得出变量； （2）根据20元钱及笔记本单价1.2元不变化可得出常量；根据剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化可得出变量； （2）根据某地气温为12℃，海拔每升高1km气温下降6℃不变化可得常量，根据气温T（单位：℃）随海拔高度h（单位：km）的变化而变化可得变量． 【解答】解：（1）∵长方形的面积为10平方厘米不变化，长方形长随宽的变化而变化， ∴a，b为变量，10为常量， 故答案为：a，b为变量，10为常量 （2）∵小佳带的20元钱和单价1.2元不变化，剩余的钱数M随购买笔记本的数量n的变化而变化， ∴n，M为变量，20，1.2为常量． 故答案为：n，M为变量，20，1.2为常量． （3）∵某地气温为12℃，海拔每升高1km气温下降6℃不变化，气温T（单位：℃）随海拔高度h（单位：km）的变化而变化， ∴T，h是变量；12，6是常量． 故答案为：T，h是变量；12，6是常量． 【点评】此题主要考查了变量和常量，解决问题的关键是理解在某一变化过程中，不发生变化的量叫做常量，发生变化的量叫变量． 题型二 用表格表示变量间的关系 1．（2023春•宁阳县期末）已知食用油的沸点一般都在200℃以上，下表所示的是小林加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是110℃ C．每加热10s，油的温度升高30℃ D．在这个问题中，自变量为时间t 【分析】从表格可知：t＝0时，y＝10，即没有加热时，油的温度为10℃；每增加10秒，温度上升20℃，则t＝50时，油温度y＝110；t＝110秒时，温度y＝230，在整个过程中，时间t是变化的． 【解答】解：从表格可知：t＝0时，y＝10，即没有加热时，油的温度为10℃； 每增加10秒，温度上升20℃，则50秒时，油温度110℃； 110秒时，温度230℃； 在这个问题中，自变量为时间t． 故选：C． 【点评】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法正确的是　 　． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 【答案】①③④． 【分析】根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【解答】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为10cm，错误； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，正确； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，正确 故答案为：①③④． 【点评】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键． 3．（2023春•即墨区校级期中）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．其中不变的量是 　 ，可以推断注满水池所需的时间是 　 　． 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 【分析】根据常量与变量解决此题． 【解答】解：由表可知，注水的速度是不变的，注水的速度是v＝（1.4﹣0.7）÷0.5＝1.4（m/h）． ∴注满水池所需的时间是 4.9÷1.4＝3.5（h）． 故答案为：注水的速度，3.5h． 【点评】本题主要常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义解决此题． 4．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得x、y是变量． 【解答】解：字母T，h表示的是变量．因为水深h随着时间T的变化而变化． 【点评】此题主要考查了常量和变量的定义，管家暗示正确理解定义的意思． 5．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间t/s 1 2 3 4 5 … 距离s/m 2 8 18 32 50 … 【分析】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2有关，所以表中数据的规律可以确定为t秒时，距离为2×t2，从而得出s和t满足的关系式；再根据常量和变量的定义即可得出答案． 【解答】解：∵1秒时，距离为2； 2秒时，距离为2×4＝2×22； 3秒时，距离为2×9＝2×32； 4秒时，距离为2×16＝2×42； ∴t秒时，距离为2×t2，s＝2t2； 常量是2，变量是s和t． 【点评】此题考查了常量和变量，解决本题的关键是发现距离都与2有关，进而得到规律． 6．用10m长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． （1）填写如表： 一边长x/m 3 3.5 4 4.5 x 另一边长y/m 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）这个过程中，变化的量是 　 　，不变化的量是 　 　． （3）试用含x的式子表示y，y＝　 　，x的取值范围是 　 　，这个问题反映了矩形的 　 　不变，　 　随 　 　的变化过程． 【分析】（1）根据：（长+宽）×2＝周长，填表可得； （2）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3）由（1）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 【解答】解：（1）填写表格如下： 一边长x/m 3 3.5 4 4.5 x 另一边长（m） 2 1.5 1 0.5 5﹣x （2）在以上这个过程中，变量是x与y，常量是5； （3）y＝5﹣x，0＜x＜5； 故答案为：（1）2，15，1，0.5，5﹣x；（2）x与y，5；（3）5﹣x，0＜x＜5，周长，一边，另一边． 【点评】本题考查了函数关系式，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． 7．（2023春•榆阳区校级期中）心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如表关系： 提出概念所用的时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 学生对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是 　 　；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是 　 　； （3）根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？ （4）根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？ 【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中x＝13时，y的值最大是59.9，即可求解； （4）根据表格中的数据即可求解． 【解答】解：（1）上表反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系； （2）由表中数据可知：当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是56.3；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是58.3； 故答案为：56.3，58.3； （3）当x＝13时，y的值最大，是59.9， 所以当提出概念所用时间为（13分）时，学生的接受能力最强； （4）由表中数据可知：当提出概念所用的时间x在（2分）到（13分）时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当提出概念所用的时间x在（13分）到（20分）时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 【点评】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． 题型三 用关系式表示变量间的关系 1．（2023秋•南山区校级期中）对于圆的周长公式C＝2πR，下列说法正确的是（　　） A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量 C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量 【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 【解答】解：C、R是变量，2、π是常量． 故选：D． 【点评】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容． 2．（2023春•迁安市期末）一个圆形花坛，面积s与半径r的函数关系式S＝πr2中关于常量和变量的表述正确的是（　　） A．常量是2，变量是S、π、r B．常量是2、π，变量是S、r C．常量是2，变量是S、π D．常量是π，变量是S、r 【分析】根据变量和常量的定义即可判断． 【解答】解：在S＝πr2中，S和r是变量，π是常量， 故选：D． 【点评】本题考查了变量和常量，熟练掌握变量和常量的定义是解题的关键． 3．（2023秋•温州月考）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【分析】根据变量的定义判断即可． 【解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键． 4．（2023秋•东昌府区月考）汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 　 　，其中的常量是 　 　，变量是 　 　． 【分析】根据油箱内剩余油量＝油箱内总油量﹣消耗掉的油，进而得出关系式，再利用常量、变量的定义得出答案． 【解答】解：根据题意可得： 油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的函数关系为：Q＝40﹣5t， 常量为：40、﹣5， 变量为：Q、t． 故答案为：Q＝40﹣5t；40、﹣5；Q、t． 【点评】本题主要考查了函数关系式以及常量与变量，掌握题意正确得出函数关系式是解题关键． 5．小丽练习打字，如果她每分钟可以打80个字，那么x分钟可以打 　 　个字；如果用y表示小丽打字的总个数，那么用含有x的式子表示y为 　 　，在这个式子中，　 　是常量，　 　是变量． 【分析】根据小丽每分钟可以打80个字可得x分钟可以打80x个字，进而可得y与x之间的函数关系式，由此可得常量和变量． 【解答】解：∵小丽每分钟可以打80个字， ∴x分钟可以打80x个字， ∴y＝80x， ∴常量是80，变量是x，y． 故答案为：80x；y＝80x；80；x，y． 【点评】此题主要考查了函数关系，常量和变量，根据题意得出y与x之间的函数关系，理解常量和变量的定义是解决问题的关键． 6．分别指出下列各关系式中的变量与常量． （1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是Sh； （2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α（度），则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90﹣α； （3）若某种铅笔的单价为m元，x表示购买这种铅笔的支数，则购买铅笔的总价y（元）与x间的关系式是y＝mx． 【分析】（1）根据三角形的面积公式进行解答； （2）由直角三角形两锐角互余的性质进行解答； （3）根据总价＝单价×数量进行解答． 【解答】解：（1）Sh，是常量，s、h是变量； （2）β＝90°﹣α，90°是常量，α、β是变量； （3）y＝mx，m是常量，x，y是变量． 【点评】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键． 7．（2023春•沙河市校级期末）在高速公路上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行一段距离s（单位：m），一般有公式s，其中v（单位：km/h）表示刹车前汽车的速度． （1）当v分别为50km/h，60km/h，100km/h时，相应的滑行距离s是多少？ （2）在上述公式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ 【分析】刹车前汽车的速度可以取不同的数值，刹车后的滑行距离也随之发生变化，根据它们的对应关系进行计算求值，也易于分辨关系式的变量与常量． 【解答】解：（1）当v＝50km/h时，代入s，得sm． 同理，当v＝60km/h时，s＝12m； 当v＝100km/h时，sm． （2）从（1）中可知，s，v是变量，是常量． 【点评】此题考查的是变量与常量的概念，掌握其概念是解决此题关键． 8．（2023春•南沙区期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是S cm2． （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当x＝6时，求S的值． 【分析】（1）根据函数的定义来确定常量与变量；根据矩形的面积公式写出S与x之间的关系式； （2）代入数值求S的值． 【解答】解：（1）S＝xx2+10x， 周长20cm是常量；一边x cm，面积S cm2是变量． （2）当x＝6时， S＝﹣x2+10x ＝﹣62+10×6 ＝﹣36+60 ＝24． 【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的解析式，函数值，解题的关键是列函数的解析式． 9．（2023春•曲阳县期中）球的体积V与半径R之间的关系式是． （1）在这个式子中，常量、变量分别是什么？ （2）利用这个式子分别求出当球的半径为2cm，3cm，4cm时球的体积； （3）若R＞1，当球的半径增大时，球的体积如何变化？ 【分析】（1）根据在事物的变化过程中，不变的量是常量，变化的量是变量，可得答案； （2）代值计算即可求解； （3）根据函数的增减性即可求解． 【解答】解：（1）在这个式子中，常量是：π， 变量分别是：球的半径R（cm），球的体积V（cm3）； （2）当球的半径为2cm，球的体积是π×23πcm3； 当球的半径为3cm，球的体积是π×33＝36πcm3； 当球的半径为4cm时，球的体积是π×43πcm3 （3）当球的半径增大时，球的体积就越大． 【点评】本题考查了函数关系式，常量与变量，利用了常量、变量的定义． 10．（2024春•即墨区期中）一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： （1）汽车行驶1h后油箱里还有油 　 L，汽车行驶6h后油箱里还有油 　 　L； （2）这一变化过程中共有 　 　个变量，其中 　 　是变量，　 　是常量； （3）设汽车行驶的时间为x h，油箱里剩下的油为Q L，请用含x的式子表示Q； （4）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【分析】（1）根据邮箱里剩下的油量＝油箱里原有的油量﹣耗油的油量，即可求出答案． （2）根据题中的三个数量：油箱里原有的油量、油箱里剩下的油量和行驶的时间，直接判断出变化的量就是变量和不变的量就是常量． （3）根据邮箱里的剩下的油量＝油箱里原有的油量﹣每小时耗油的油量×时间，直接用字母表达即可． （4）根据题意，使剩下的油量Q＝0，即可用表达式求出结果． 【解答】解：（1）40﹣2.5＝37.5（L）， 40﹣2.5×6＝25（L）， 故答案为：37.5；25． （2）这一变化过程中共有2个变量， 其中邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量， 每小时耗油的油量是常量， 故答案为：2；邮箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量． （3）Q＝40﹣2.5x． （4）40﹣2.5x＝0， 解得x＝16． 答：这辆汽车最多能行驶16小时． 【点评】本题考查了常量和变量的问题，解题的关键是根据题中的等量关系式来解答． 题型四 用图象表示变量间的关系 1．（2023•钱塘区开学）有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 【分析】根据图象可知，一个变量随着另一个变量的增加而增加，逐一判断即可． 【解答】解：由图象可知，一个变量随着另一个变量的增加而增加， A．订阅《智力数学》的总价随着本数的增加而增加，故本选项符合题意； B．路程一定时，行驶速度随着行驶时间的增加而减小，故本选项不符合题意； C．圆的面积随着它的半径的平方的增加而增加，故本选项不符合题意； D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量随着剩下的大米质量的增加而减少，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查常量和变量，熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键． 2．（2024春•迎泽区校级期末）某项目化学习小组的同学在水中掺入酒精，充分混合后，放入冰箱冷冻室．根据实验数据作出混合液温度y（℃）随时间t（min）变化而变化的图象．下列说法不正确的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度 B．混合液的温度随着时间的增大而下降 C．当时间为19min时，混合液的温度为﹣7℃ D．当10＜t＜18时，混合液的温度保持不变 【分析】观察函数图象，通过函数图象中的信息对每一项判断即可解答． 【解答】解：根据图象可知：在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度， ∴A项的说法正确， 故A项不符合题意； 根据图象可知：混合液的温度0～10小时之间随着时间的增大而下降，在10～18小时之间随着时间的增大混合液的温度保持不变，在18～20小时之间随着时间的增大混合液的温度减小， ∴B项的说法不正确， 故B项符合题意； 根据图象可知：当时间为19min时，混合液的温度为﹣7℃， ∴C项的说法正确， ∴C项不符合题意； 根据图象可知：当10＜t＜18时，混合液的温度保持不变， ∴D项的说法正确， 故D项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了从函数图象中获取信息，读懂函数图象是解题的关键． 3．骆驼体温在一昼夜中变化如图所示，在这张图中可知： （1）什么是变量？ （2）什么时候体温最高，是多少？ （3）什么时候体温最低，是多少？ （4）大约什么时候体温上升？什么时候又下降？ 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义判断即可；（2）（3）（4）根据函数的图象获取信息． 【解答】解：（1）变量是时间和体温； （2）由图可得当时间为16时，体温最高，最高为40℃； （3）由图可得当时间为4时，体温最低，最低为35℃； （4）大约在4时到16时体温上升，在0时到4时和16时到24时体温下降． 【点评】本题考查变量、函数的图象，基础题，解题关键是能读懂图象，获取信息． 4．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： （1）这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ （2）这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ （3）这个问题中的变量是什么？ 【分析】（1）可知，当横坐标t＝7时，纵坐标T＝﹣1℃．10时、14时是2℃、5℃；（2）14时最高，24 时最低；（3）变量是时间和温度． 【解答】解：（1）7时、10时、14时的气温是﹣1℃、2℃、5℃； （2）3～14时的气温在升高；0～3时与14～24时的气温在降低； （3）变量是时间和温度． 【点评】本题是一道有关变量与常量、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目； 5．（2023秋•化州市期中）如图是小明骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中变量是 ； （2）小明何时到达离家最远的地方？ （3）小明何时与家相距20km？ 【分析】（1）根据横轴和纵轴表示的意义即可解答； （2）根据点B表示的意义解答即可； （3）分两种情况：在到达最远距离之前和从最远距离返回时，结合图象利用路程、速度与时间的关系求解即可． 【解答】解：（1）在这个变化过程中自变量是时间和距离； 故答案为：时间，距离； （2）根据图象可知小明2h后到达离家最远的地方，此时离家30km； （3）在到达最远距离之前：根据图象可知，小明在AB段的平均速度为（30﹣10）÷（2﹣1）＝20（km/h）， 所以（20﹣10）÷20＝0.5（h），1+0.5＝1.5（h）； 从最远距离返回时，观察图象当t＝4h时，s＝20km； 综上所述，当t＝1.5h或t＝4h时，小明离家距离20km． 【点评】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂图象提供的信息是解题的关键． 6．（2023春•兰州期中）如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）变量是 　 　． （2）这位病人的最高体温是 　 　摄氏度，最低体温是 　 　摄氏度． （3）他在12时的体温是 　 　摄氏度． 【分析】（1）根据折线统计图可知，体温随时间变化解答即可； （2）找出折线图中的最高点和最低点即可； （3）找出折线图中时间为12时对应的温度即可． 【解答】解：（1）自变量是时间和温度， 故答案为：时间，温度； （2）这位病人的最高体温是39.8摄氏度，最低体温是36.8摄氏度， 故答案为：39.8，36.8； （3）他在4月7日12时的体温是38摄氏度， 故答案为：38． 【点评】此题主要考查了常量和变量以及折线统计图，准确的从统计图中获取信息是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第5章 一次函数》 5.1 常量与变量 知识点 常量和变量 ◆1、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量. 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量. 【注意】 （1）变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变. （2）“常量”是已知数,是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量,如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量； （3）判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中其数值是否发生变化； （4）变量、常量与字母的指数没有关系，如 S=r中,变量是“S和“r”(不能说r')，常量是“n”.指出一个变化过程中的常量时,必须连同它前面的符号一起写出． 题型一 变量与常量的确定 1．（2023春•西昌市校级月考）从西昌到成都大约有560千米，某天小丽一家准备自驾车从西昌到成都参观动物园，在这个过程中，如果设行驶速度为v千米/小时，行驶的时间为t小时，其中变量是（　　） A．560、t B．t、v C．560、v D．560、v、t 2．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）高师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是（    ）    A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．和18是常量 D．金额是数量的函数 3．（2023春•顺德区期中）用一根10cm长的铁丝围成的长方形，现给出四个量：①长方形的长；②长方形的宽；③长方形的周长；④长方形的面积．其中是变量的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（2023春•桥西区校级期中）某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是，其中（　　） A．100是常量，w，n是变量 B．100，w是常量，n是变量 C．100，n是常量，w是变量 D．无法确定哪个是常量，哪个是变量 5．（2023•蓬江区校级三模）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AB自由转动至AB′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（　　） A．∠BAC的度数 B．AB的长度 C．BC的长度 D．△ABC的面积 6．（2023春•西峰区校级期中）某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　 　，变量是 　 　． 7．（2023春•普宁市期中）饮食店里快餐每盒5元，买n盒需付S元，则其中常量是 ，变量是 ． 8．（2024春•大荔县期末）在球的表面积公式S＝4πr2中，常量是 　 　． 9．（2023秋•舟山期末）根据科学研究表明，10至50岁的人每天所需睡眠时间H（时）可用公式（N是人的年龄）．请你用这个公式计算，13岁的小明每天需要睡眠时间 　 　（时）． 10．（2023秋•余杭区月考）如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么在S，p，a中是变量的是 　 ． 11．（2024春•通州区期中）学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀．在奏响国歌第一个音符时，旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端．国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗上升过程中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是 　 　（只填写序号）． 12．写出下列变化过程中的变量和常量： （1）一个面积是10平方厘米的长方形，记它的长为a厘米，宽为b厘米； （2）小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是1.2元，小佳购买n本练习本，剩余M元； （3）气温T（单位：℃）随海拔高度h（单位：km）的变化而变化，某地气温为12℃，海拔每升高1km气温下降6℃． 题型二 用表格表示变量间的关系 1．（2023春•宁阳县期末）已知食用油的沸点一般都在200℃以上，下表所示的是小林加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/℃ 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（　　） A．没有加热时，油的温度是10℃ B．继续加热到50s，预计油的温度是110℃ C．每加热10s，油的温度升高30℃ D．在这个问题中，自变量为时间t 2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法正确的是　 　． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm； ④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 3．（2023春•即墨区校级期中）一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．其中不变的量是 　 ，可以推断注满水池所需的时间是 　 　． 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 4．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 5．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如表所示．请写出s和t满足的关系式，并指出哪些是常量，哪些是变量． 时间t/s 1 2 3 4 5 … 距离s/m 2 8 18 32 50 … 6．用10m长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． （1）填写如表： 一边长x/m 3 3.5 4 4.5 x 另一边长y/m 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）这个过程中，变化的量是 　 　，不变化的量是 　 　． （3）试用含x的式子表示y，y＝　 　，x的取值范围是 　 　，这个问题反映了矩形的 　 　不变，　 　随 　 　的变化过程． 7．（2023春•榆阳区校级期中）心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如表关系： 提出概念所用的时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 学生对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是 　 　；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是 　 　； （3）根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？ （4）根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？ 题型三 用关系式表示变量间的关系 1．（2023秋•南山区校级期中）对于圆的周长公式C＝2πR，下列说法正确的是（　　） A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量 C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量 2．（2023春•迁安市期末）一个圆形花坛，面积s与半径r的函数关系式S＝πr2中关于常量和变量的表述正确的是（　　） A．常量是2，变量是S、π、r B．常量是2、π，变量是S、r C．常量是2，变量是S、π D．常量是π，变量是S、r 3．（2023秋•温州月考）已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是S＝300t．在此变化过程中，变量是（　　） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 4．（2023秋•东昌府区月考）汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系是 　 　，其中的常量是 　 　，变量是 　 　． 5．小丽练习打字，如果她每分钟可以打80个字，那么x分钟可以打 　 　个字；如果用y表示小丽打字的总个数，那么用含有x的式子表示y为 　 　，在这个式子中，　 　是常量，　 　是变量． 6．分别指出下列各关系式中的变量与常量． （1）三角形的一边长5cm，它的面积S（cm2）与这边上的高h（cm）的关系式是Sh； （2）若直角三角形中的一个锐角的度数为α（度），则另一个锐角β（度）与α间的关系式是β＝90﹣α； （3）若某种铅笔的单价为m元，x表示购买这种铅笔的支数，则购买铅笔的总价y（元）与x间的关系式是y＝mx． 7．（2023春•沙河市校级期末）在高速公路上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行一段距离s（单位：m），一般有公式s，其中v（单位：km/h）表示刹车前汽车的速度． （1）当v分别为50km/h，60km/h，100km/h时，相应的滑行距离s是多少？ （2）在上述公式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ 8．（2023春•南沙区期末）周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是S cm2． （1）请用含x的式子表示S，并指出常量与变量； （2）当x＝6时，求S的值． 9．（2023春•曲阳县期中）球的体积V与半径R之间的关系式是． （1）在这个式子中，常量、变量分别是什么？ （2）利用这个式子分别求出当球的半径为2cm，3cm，4cm时球的体积； （3）若R＞1，当球的半径增大时，球的体积如何变化？ 10．（2024春•即墨区期中）一汽车油箱里有油40L，在行驶过程中，每小时耗油2.5L，回答下列问题： （1）汽车行驶1h后油箱里还有油 　 L，汽车行驶6h后油箱里还有油 　 　L； （2）这一变化过程中共有 　 　个变量，其中 　 　是变量，　 　是常量； （3）设汽车行驶的时间为x h，油箱里剩下的油为Q L，请用含x的式子表示Q； （4）这辆汽车最多能行驶多少小时？ 题型四 用图象表示变量间的关系 1．（2023•钱塘区开学）有两个相关联的量，它们的关系如图．这两个相关联的量可能是（　　） A．订阅《智力数学》的总价与本数 B．路程一定时，行驶速度与行驶时间 C．圆的面积与它的半径 D．一袋大米的质量一定，吃掉的大米质量与剩下的大米质量 2．（2024春•迎泽区校级期末）某项目化学习小组的同学在水中掺入酒精，充分混合后，放入冰箱冷冻室．根据实验数据作出混合液温度y（℃）随时间t（min）变化而变化的图象．下列说法不正确的是（　　） A．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度 B．混合液的温度随着时间的增大而下降 C．当时间为19min时，混合液的温度为﹣7℃ D．当10＜t＜18时，混合液的温度保持不变 3．骆驼体温在一昼夜中变化如图所示，在这张图中可知： （1）什么是变量？ （2）什么时候体温最高，是多少？ （3）什么时候体温最低，是多少？ （4）大约什么时候体温上升？什么时候又下降？ 4．如图所示是某地一天内的气温变化图，看图回答： （1）这天7时、10时、14时的气温分别是多少？ （2）这一天中什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ （3）这个问题中的变量是什么？ 5．（2023秋•化州市期中）如图是小明骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）在这个变化过程中变量是 ； （2）小明何时到达离家最远的地方？ （3）小明何时与家相距20km？ 6．（2023春•兰州期中）如图所示是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题： （1）变量是 　 　． （2）这位病人的最高体温是 　 　摄氏度，最低体温是 　 　摄氏度． （3）他在12时的体温是 　 　摄氏度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$