第11章 平面直角坐标系（知识点+例题） 2024—2025学年沪科版数学八年级上册

11.1 平面内点的坐标 一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系：在平面内有两条互相垂直的并且原点重合的数轴。 2、x轴（横轴）：其中水平的数轴，取向右的方向为正方向。 3、y轴（纵轴）：其中垂直的数轴，取向上的方向为正方向。 4、坐标原点：两数轴的交点；x轴和y轴统称为坐标轴。 5、坐标平面：建立了直角坐标系的平面。 二、平面直角坐标系上点的坐标（x，y） 【注意】不要混淆坐标与距离，距离没有正负。 1、由点找坐标的方法（给出图像上A点，A点的坐标如何表示） A点先向x轴做垂线，对应横坐标为3；再向y轴做垂线，对应纵坐标为-2；得到A的坐标为（3，-2）。图1 2、由坐标找点的方法（给出点A（3，2），该点在图像中如何表示） ①先找到表示横坐标与纵坐标的点（x=3、y=2）。 ②过这两点分别作x轴与y轴的垂线（沿x=3、y=2做垂线）。 ③垂线的交点就是该坐标对应的点。 例：在右图的正方形网格中，若A（1，1），B（2，0），则C点的坐标为（ ） 三、平面直角坐标系中坐标的特征 1、各象限内坐标（图2） x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。 【注意】①两条坐标轴不属于任何一个象限。 ②如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。图2 P（x，y）点的位置 横坐标和0的关系 纵坐标和0的关系 第一象限 x>0 y>0 第二象限 x<0 y>0 第三象限 x<0 y<0 第四象限 x>0 y<0 例题： 1.在平面直角坐标系中，点P（3，-3）所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平面直角坐标系中，点P（-1，x2+2）所在的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点A（x，y）在第四象限，则点B（-x，y）在第几象限（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知点P（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点P的坐标为（ ） A.（-2，3） B.（2，-3） C.（-3，2） D.（2，3） 5.在平面直角坐标系内，点P（m+3，m-5）在第四象限，则m的取值范围是________. 6.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，且点M到y轴的距离为3，到x轴的距离为1，则点M的坐标是________. 2、坐标轴上点的坐标特征（图3） 点在x轴上y=0，x为任意实数（点A、C在x轴上，y=0）； 点在y轴上x=0，y为任意实数（点B、D在y轴上，x=0）； 点即在x轴上，又在y轴上x=0，y=0，即点的坐标为（0，0）。 例题：图3 1.点P（3，-4）到x轴的距离是（ ） A.3 B.-4 C. 4 D. -4 2.在平面直角坐标系中，点Q（a-1，2a+3）在x轴上，则a的值为（ ） A.1 B.-1 C. - D. 3.若点M（a-3，a+3）在y轴上，则a的值为________. 4.已知P（m-1，2m+4）到两坐标轴的距离相等，求m的值。 5.已知平面直角坐标系上有一点P（m-2，2m+1），请根据题意回答下列问题： （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求点P的坐标； （3）点Q的坐标为（4，3），连接PQ，若PQ//x轴，求PQ的长。 6.点P（a，5）在平面直角坐标系中的二、四象限坐标轴夹角平分线上，则a=________. 3、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 ①平行于轴直线上的两点，纵坐标相等。（图4）：y=3平行于x轴，E、F纵坐标相等。 ②平行于轴直线上的两点，横坐标相等。（图5）：x=-2平行于y轴，M、N横坐标相等。 图5 图4 4、坐标平面内的点与有序数对（坐标）的关系 ①对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y） （即点M的坐标）和它对应。 ②反过来，对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内都有唯一的一点M（即坐标为（x，y）的点）和它对应。也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。 四、平面直角坐标系内的图形 1、在坐标平面内描点作图 找出图形每个顶点在平面坐标系中的位置，把每个点顺次连接，得到图形（如三角形、四边形等）。 2、坐标平面内图形面积的计算公式 ①三角形的面积公式：S=×底×高 ②长方形的面积公式：S=长×宽 ③平行四边形的面积公式：S=底×高 ④梯形的面积公式：S=×（上底+下底）×高图6 直接法 2、坐标平面内图形面积的计算方法 ①直接法：计算三角形一边的长，并求出该边上的高。 ②补形法：将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差。 ③分割法：选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形。 例题： 1.已知▲ABC中，点A（-2，-4），B（-3，0），C（4，0），在平面直角坐标系中，画出▲ABC并求▲ABC的面积。图7 补形法 2. （1）在平面直角坐标系中，分别描出A（-2，0），B（0，4），C（4，3），D（5，0），E（1，-2）. （2）顺次连接（1）中各点，得到五边形ABCDE，求五边形ABCDE的面积. 11.2 图形在坐标系中的平移 一、平移的概念 1、平移：把一个图形沿某一方向移动一定的距离。 2、平移的特点：平移后图形的位置改变，形状、大小不变；对应点的连线平行且相等。 3、在平面直角坐标系中，描述平移的一个方法是用图形上任一点的坐标（x，y）的变化来表示。如右移2个单位、下移3个单位的平移记作（x，y）→（x+2，y-3） 二、平面直角坐标系中点的平移 x右加左减，y上加下减 三、平面直角坐标系中图形的平移 1、图形经过两次平移后得到的图形可以通过原来的图形作一次平移得到。 如：▲ABC第一次向下平移2个单位长度，第二次向右平移1个单位长度，可以由▲ABC向右平移1个单位长度、向下平移2个单位长度得到。 2、图形的平移实际上就是图形上各点的平移，并且图形上各点平移的方向和距离相等。 例题： 1.点A（2，3）向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是________. 2.若点（-1，-2）经过平移后得到点（1，2），则点（3，2）经过同样的平移得到的点的坐标为（ ） A.（-3，-2） B.（1，6） C.（5，-2） D.（5，6） 3.在平面直角坐标系中，线段A’B’是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，3）的对应点为A’（3，2），点B（-1，1）的对应点为B’，则点B’的坐标为（ ） A.（4，0） B.（4，2） C.（2，4） D.（2，3） 4.已知坐标平面内的点A（-2，4）.如果将平面直角坐标系向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A在新的坐标系内的坐标是________. 5.三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。 （1）请写出三角形ABC各顶点的坐标。 （2）把三角形ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到三角形A’B’C’。请画出平移后的三角形A’B’C’，并写出A’，B’，C’的坐标。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$