精品解析：广东省广州南海实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025广州南海中学高一上期中考试 数 学 一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知其中，为常数，若，则的值等于（ ） A. -2 B. -4 C. -6 D. -10 5. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（ ） A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 25 m 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 4046 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，，当时，；（2）对于定义域内的任意x，，则称为理想函数，下列为理想函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分． 12. 函数的定义域为______________. 13. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大. 14. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则______． 四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知二次函数. （1）若，求在上的值域； （2）求在上的最小值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额） 19. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025广州南海中学高一上期中考试 数 学 一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的． 1. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定形式即可求. 【详解】命题的否定是：. 故选：C 2. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为定义域上的偶函数， 再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确； 对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确； 对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误； 对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，所以D不正确. 故选：A. 3. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 4. 已知其中，为常数，若，则的值等于（ ） A. -2 B. -4 C. -6 D. -10 【答案】D 【解析】 【分析】根据为定值求解即可. 【详解】因为,所以. 故. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解函数值的问题,属于基础题. 5. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（ ） A. 10 m B. 15 m C. 20 m D. 25 m 【答案】C 【解析】 【分析】设出矩形花园的宽为y m，根据相似得到方程，求出，从而表达出矩形花园的面积，配方求出最大值，并得到相应的. 【详解】设矩形花园的宽为ym，则，即， 矩形花园的面积，其中， 故当m时，面积最大. 故选：C 6. 已知函数，则其图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论. 【详解】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 当时，， 选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求， 故函数的图象大致是选项B中的图象， 故选：B. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 4046 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【解析】 【分析】逐个选项分别判断函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】对于A，，定义域均为，是同一函数； 对于B，与解析式不同，不是同一函数； 对于C，，定义域为，，定义域为R，两个函数定义域不同，不是同一函数； 对于D，，定义域均为R，是同一函数. 故选：AD． 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，通分再利用基本不等式即可判断；对B直接利用基本不等式式判断； 对C，平方后再判断即可判断；对D，直接利用基本不等式即可判断. 【详解】选项A：， 当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：， 当且仅当时等号成立，故B错误； 选项C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； 选项D：， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ACD 11. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，，当时，；（2）对于定义域内的任意x，，则称为理想函数，下列为理想函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的单调性、奇偶性确定正确选项. 【详解】条件（1）说明为减函数，条件（2）说明为奇函数. A，为偶函数，A错误. B，是定义在上的奇函数，且在上单调递减，B选项正确. C，在上递增，C错误. D，，，当时，； 当时，，，所以是奇函数.且在上递减，D选项正确. 故选：BD 三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分． 12. 函数的定义域为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得且. 故定义域为. 故答案为：. 13. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，列出函数关系，即可由二次函数的性质求解最值. 【详解】设移动秒时，面积最大， 此时，，所以， 故当时，面积最大， 故答案为：4 14. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】因为是定义域为的奇函数，则，并且，可得函数的周期为，根据函数性质可得，进而求得结果. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 又，所以，即， 所以，即是以为周期的奇函数， ，又，， 则，故， 则． 故答案为：. 四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再由补集的定义求解即可； （2）根据子集的关系建立不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，解得： ，则. 【小问2详解】 由题意，可知 因为，所以，解得：，即， 实数的取值范围. 16. 已知二次函数. （1）若，求在上的值域； （2）求在上的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域； （2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值. 【小问1详解】 若，则，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上的值域为； 【小问2详解】 二次函数， 对称轴为， 当，即时，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，在上单调递减，， 综上：. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）； （2） 在上是增函数， 证明：设是上任意两个实数且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）根据单调性的定义证明； （3）由奇偶性变形，再由单调性求解． 【小问1详解】 由题意，即， 又，解得， 所以，经检验符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， 又是奇函数，所以， 因为在上是增函数，所以，解得． 18. 中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n（）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额） 【答案】方案二更合理，理由如下： 设为前年的总盈利额，单位：万元； 由题意可得， 方案一：总盈利额， 当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利额为万元 方案二：平均盈利额为， 当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 此时处理掉设备：总利润为万元； 综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适． 【解析】 【分析】根据条件得到总盈利额，平均盈利额为，分别利用二次函数的性质和基本不等式，求出总盈利额，并比较需要年限，即可求解. 【详解】略 19. 定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 由已知，对于有成立，， 令，则， 所以，对有，故是奇函数， 任取且，则，由已知有， 又，得 所以在上是减函数； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【小问1详解】 令，则, 可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $