第十六章 二次根式章末核心要点分类整合 课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

章末核心要点分类整合 第十六章 二次根式 结构必知 1. 二次根式具有双重非负性：一是a ≥ 0，二是≥ 0. 2. 二次根式的性质 (1)＝|a|； (2)()2＝a(a ≥ 0)； (3)＝ · (a ≥ 0，b ≥ 0)； (4)＝(a ≥ 0，b>0). 核心必读 3. 两个互逆过程 (1) · (a ≥ 0，b ≥ 0)； (2) (a ≥ 0，b>0). 4. 常用的有理化因式 与；与；与；＋与－；a＋c与a－c等. 二次根式的乘法 积的算术平方根 二次根式的除法 商的算术平方根 核心必读 5. 根号外的因数(式)移到根号内的方法 先根据二次根式有意义的条件判断根号外的因数(式)的正负性，(1)如果根号外的因数(式) 是正数，则直接把该因数(式)变成其平方放在根号内；(2)如果根号外的因数 (式)是负数，则把负号留在根号外，把根号外的因数 (式)变成其相反数的平方放在根号内. 核心必读 专题 二次根式有意义的条件 1 链接中考 >>二次根式有意义的条件是二次根式的核心，也是解决很多二次根式问题的隐含条件.在中考中单独考查较多，有时也与分式进行综合考查.一般都以选择题或填空题的形式出现. 知识必学 例 1 [中考·包头]若代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________. x≥－1且x≠0 解题秘方：紧扣二次根式和分式有意义的条件，建立不等式组求解是解题的关键. 解：根据题意，得解得x≥－1且x≠0. 知识必学 专题 二次根式的性质 2 链接中考 >>二次根式的性质是对二次根式进行化简的关键，此类化简题在中考中经常与数轴、绝对值相结合，一般以选择题或填空题的形式考查. 知识必学 [中考·攀枝花]实数a，b在数轴上对应的点的位置如图16－1所示，化简＋－的结果是(　　) A．－2 B．0 C．－2a D．2b 例 2 知识必学 解题秘方：根据数轴得出字母a，b的取值范围，从而得出式子取值的正负，为进一步化简打下基础． 解：由数轴可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0. ∴原式＝|a＋1|＋|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－ b)＝－a－1＋b－1＋a－b＝－2. 答案：A 知识必学 专题 二次根式的运算 3 链接中考 >>二次根式的运算包括二次根式的加减乘除以及乘方等几种运算，二次根式的运算不仅要考虑运算的法则、运算的顺序和运算律，还要注意与整式的乘法公式相结合应用.在中考中一般以填空题或选择题的形式出现，有的地区也以解答题的形式考查. 知识必学 例 3 [中考·天津]计算(＋1)(－1)的结果为________. 10 解题秘方：根据平方差公式(a＋b)·(a－b)＝a2－b2进行计算即可. 解：原式＝()2－12＝11－1＝10. 知识必学 [中考·兰州]计算：－×． 解：原式＝3－＝3－2＝. 解题秘方：本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可. 例 4 知识必学 专题 最简二次根式 4 链接中考 >>最简二次根式(或整式)是二次根式运算的最后结果，识别最简二次根式是最常见的考查形式,关键就是扣住最简二次根式的两个条件.在中考中一般以选择题的形式出现. 知识必学 [中考·西宁]下列二次根式中，最简二次根式是(　　) A． B． C． D． 例 5 解题秘方：对照最简二次根式的概念，逐一判断. 知识必学 解：A 选项中，可以化为； B 选项中，可以化为； D 选项中，可以化为5. 它们都不是最简二次根式. 答案：C 知识必学 专题 整体思想 5 专题解读 >>整体思想就是在数学问题中，对于某些问题，可以从整体角度去思考，即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以巧妙解决. 在二次根式的运算中，遇到对称式、倒数式的求值问题时经常用到整体思想. 方法必会 已知xy＝6，x＋y＝－5，求x＋y的值. 思路引导： 例 6 方法必会 知3－练 解：由题意可知x<0，y<0. ∴ x＋y＝x·＋y·＝＋ ＝－(＋)＝－·. 将xy＝6，x＋y＝－5代入，则原式＝－. 方法必会 专题 数形结合思想 6 专题解读 >>数形结合思想就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决. 方法必会 [中考·淄博]如图16－2，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 (　　) A． B．2 C．2 D．6 例 7 方法必会 解题秘方：由题意得到大正方形的边长和小正方形的边长，再求阴影部分的面积. 答案：B 解：由题意可得，大正方形的边长为＝2，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为×(2－)＝2. 方法必会 类型 利用二次根式的非负性求值 1 题型1 利用二次根式的非负性求字母的值 1. 已知＋＝0，求x，y的值. 好题必解 题型2 利用二次根式的非负性求最值 2. 当x 取什么实数时，式子＋3的取值最小？并求出这个最小值. 好题必解 3. [月考·泰州靖江市]已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－|a＋c|＋－. 类型 利用二次根式的性质化简式子 2 好题必解 好题必解 类型 巧比较含二次根式的式子的大小 3 方法1 平方法 4. 比较＋与＋的大小 好题必解 方法2 作商法 5. 比较与的大小. 好题必解 方法3 作差法 6. 比较与的大小. 好题必解 方法4 倒数法 7. 已知x＝－，y＝－，试比较x，y的大小. 好题必解 类型 巧用二次根式化简求值 4 方法1 因式分解法 8. 化简：. 好题必解 好题必解 方法2 换元法 9. 化简：＋. 好题必解 方法3 配方法 10.已知－＝2，求的值. 好题必解 方法4 辅元法 11. 已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值. 好题必解 好题必解 方法5 整体代入法 12.已知a－b＝＋，b－c＝－， 求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值. 好题必解 好题必解 方法6 阅读类比法 13.求＋的值. 解：设x＝＋，两边同时平方，得x2＝ ()2＋()2＋2，即x2＝3＋＋3－＋4，∴ x2＝10，即x＝±. ∵ ＋>0，∴ ＋＝ . 好题必解 请利用上述方法，求＋的值. 好题必解 14.阅读下面材料： 将边长分别为a，a＋，a＋2，a＋3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4，则S2－S1＝(a＋)2－a2＝[(a＋)＋a][(a＋)－a]＝(2a＋)＝b＋2a. 例如：当a＝1，b＝3 时，S2－S1＝3＋2. 类型 利用二次根式解决探究类问题 5 好题必解 根据以上材料，解答下列问题： (1)当a＝1，b＝3 时，S3－S2＝______，S4－S3＝_______. (2)当a＝1，b＝3时，把边长为a＋n的正方形面积记作 Sn＋1，其中n 是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出Sn＋1－Sn 等于多少吗？并证明你的猜想. 好题必解 好题必解 (3)当a＝1，b＝3 时，令t1＝S2－S1，t2＝S3－S2，t3＝S4－ S3，…，tn＝Sn＋1－Sn， 且T＝t1＋t2＋t3＋…＋t50，求T的值． 好题必解 解：∵≥0，≥0，＋＝0， ∴x＋3＝0，x＋y－6＝0，解得x＝－3，y＝9. 解：由题意得≥0且5x－2≥0，即x≥. ∴当x＝时，式子＋3的取值最小，最小值为3. 解：由数轴上a，b，c对应的点的位置可知c＜a＜0＜b，∴a＋c＜0，c－b＜0，b－a＞0.∴原式＝－a＋a＋c＋b－ c－(b－a)＝－a＋a＋c＋b－c－b＋a＝a. 解：∵(＋)2＝18＋2，(＋)2＝18＋2，18＋2<18＋2，∴(＋)2<(＋)2. 又∵＋>0，＋>0，∴＋<＋. 解：∵÷＝＝＜1，>0，>0，∴＜. 解：－＝. ∵－3>0，∴>0.∴>. 解：＝＝>0， ＝＝>0. ∵＋>＋>0，∴>>0.∴x<y. 解：原式＝＝＝＝ ＝－. 解：设－＝a，＋＝b， 则a＋b＝2，ab＝1. ∴原式＝＋＝＝＝＝4x＋2. 解：将－＝2两边同时平方，得x＋－2＝4， ∴x＋＝6. ∴＝＝＝＝4. 解：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k. ∴原式＝＝＝－2. 解：∵a－b＝＋，b－c＝－， ∴a－c＝(a－b)＋(b－c)＝(＋)＋(－)＝2. ∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)]＝ [(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]＝[(＋)2＋(2)2＋(－)2]＝×36＝18. 解：设x＝＋， 两边同时平方，得x2＝()2＋()2＋2， 即x2＝4＋＋4－＋6，∴x2＝14.∴x＝±. ∵＋>0，∴＋＝. 9＋2 15＋2 解：Sn＋1－Sn＝6n－3＋2. 证明：Sn＋1－Sn＝(1＋n)2－[1＋(n－1)]2＝[2＋(2n－1)]×＝3(2n－1)＋2＝6n－3＋2. 解：当a＝1，b＝3时，T＝t1＋t2＋t3＋…＋t50＝S2－S1＋S3－S2＋S4－S3＋…＋S51－S50＝S51－S1＝(1＋50)2－1＝7 500＋100. $$