16.1 二次根式课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.1　二次根式 第十六章 二次根式 二次根式的定义 二次根式有意义的条件 二次根式的性质 代数式 学习目标 知识点 二次根式的定义 知1－讲 1 1. 二次根式的定义 一般地，我们把形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 此处省略了根指数2，不要误认为根指数是1或没有根 指数. 感悟新知 知1－讲 示 例 是二次根式. 二次根号不能少 被开方数是非负数 判断二次根式时，是对式子本身进行判断，而不是对计算后的结果进行判断 感悟新知 知1－讲 特别提醒 二次根式应满足两个条件： 1.含有二次根号“”； 2.被开方数是正数或0. 特别地，形如b(a≥0)的式子也是二次根式，它表示b与的乘积；当b是带分数时，要写成假分数. 感悟新知 知1－讲 2. 二次根式的特征 (1)必须含有二次根号“”； (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. (3)双重非负性：二次根式表示非负数a的算术平方 根，因此a ≥ 0，≥ 0 . 感悟新知 知1－讲 特别解读 a≥0是二次根式的前提，反之，如果是二次根式，就意味着满足a≥0这一隐含条件. 感悟新知 知1－练 例 1 给出下列式子： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ . 其中一定是二次根式的是_________(填序号). ①③⑤ 感悟新知 知1－练 思路引导：识别二次根式的方法 感悟新知 知1－练 解： 序号 结论 理由 ①③⑤ 是 含有二次根号，且被开方数(－2)2，0， a2＋1 都是非负数 ② 不是 “”是三次根号，不是二次根号 ④ 不一定 虽然含有二次根号，但被开方数x＋y 可能是负数 ⑥ 不是 虽然含有二次根号，但被开方数 －2a2－1 ＜ 0 感悟新知 知1－练 1－1. 若式子是二次根式，则a的值不可以是(　　) A. 0 B. －2 C. 2 D. 4 B 感悟新知 知1－练 1－2.[期末·北京密云区]在式子① ；② ；③ (x＞－1)；④ ； ⑤ ；⑥ 中，是二次根式的有_______(填序号)． ③④⑥ 感悟新知 知1－练 (1)若y＝＋＋2，则xy＝_______. (2)若实数m，n满足|m－n－5|＋＝0，则3m＋n＝________. 9 例 2 解题秘方：紧扣二次根式定义中的双重非负性：“a ≥ 0， ≥ 0”进行解答. 7 感悟新知 知1－练 解：(1)由二次根式中被开方数的非负性，得 ∴ x＝3. ∵ y＝＋＋2， ∴ y＝ 2 . ∴ xy＝32＝9. 当互为相反数的两个数同时作为二次根式的被开方数时，这两个被开方数都为0 感悟新知 知1－练 (2)由绝对值的非负性和二次根式的非负性， 得 解得 ∴ 3m＋n＝ 3×3－2＝7. 几个非负数的和等于0，那么每个非负数都等于0 感悟新知 知1－练 2－1. [中考·宿迁]若实数m，n 满足等式|m－2|＋＝ 0， 且m，n 恰好是等腰三角形 ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长是(　　) A．12 B．10 C．8 D．6 2－2. 若|a－2|＋＋(c＋)2＝ 0，则abc＝_______. B 2 感悟新知 知2－讲 1. 二次根式有无意义的条件 知识点 二次根式有意义的条件 2 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 有意义a≥0 二次根式无意义 被开方数为负数 无意义a<0 感悟新知 知2－讲 2. 使式子有意义的字母取值范围的类型(拓展) 类型 条件 二次根式型 被开方数大于或等于0 分式型 分母不等于0 负整数和零指数幂型 底数不为0 复合型 取各条件下字母取值范围的公共部分 感悟新知 知2－讲 巧记口诀 二次根式有意义，被开方数非负数； 二次根式无意义，被开方数是负数； 单个二次根式时，列出不等式求解； 复合形式的式子，列不等式组求解. 感悟新知 知2－练 当x取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)＋(x＋5)0； (2)； (3)－； (4). 解题秘方：要使式子有意义，必须保证组成该式子的每一部分都有意义，即字母取值是各部分有意义的条件的公共部分. 例 3 感悟新知 知2－练 解：(1)欲使＋(x＋5)0有意义，则必有∴x≤－3且x≠－5. (2)欲使有意义，则必有∴x>－. 感悟新知 知2－练 (3)欲使－有意义，则必有 ∴2≤x≤5. (4)欲使有意义，则必有 ∴x≥－4且x≠2. 感悟新知 知2－练 3－1. [中考·无锡]若二次根式有意义，则x的取值范围为(　　) A．x＞ B．x＜ C．x≥ D．x≤ D 感悟新知 知2－练 3－2. 若式子＋x2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A．x＞－1 B．x≥－1 C．x≥－1且x≠0 D．x＞－1且x≠0 3－3. 已知x为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的x的值是_________________. B 1(答案也可以是2) 感悟新知 知3－讲 知识点 二次根式的性质 3 1. 二次根式的性质 (1)()2＝a(a ≥ 0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； (2)＝|a|＝即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 感悟新知 知3－讲 应用提醒 逆用公式：3＝ (以后将会学习). 感悟新知 知3－讲 2. 与()2(a ≥ 0)的区别与联系 表达式 ()2 区 别 取值范围不同 a为全体实数 a ≥ 0 运算顺序不同 是先平方后开方 ()2是先开方后平方 运算结果不同 ＝|a|＝ ()2＝a(a ≥ 0) 联系 与()2均为非负数；当a ≥ 0 时， ＝()2 感悟新知 知3－讲 特别提醒 逆用公式：若a≥0，则a＝ ()2. 注意：无论是正用还是逆用，都要注意前提是a ≥ 0. 感悟新知 知3－练 计算：(1)()2；(2)；(3)； (4)(－2)2；(5). 解题秘方：紧扣“二次根式的性质的两公式”进行计算. 例 4 感悟新知 知3－练 解：(1)()2＝. (2)＝ |－6|＝6. (3)＝＝10－1＝. (4)(－2)2＝(－2)2×()2＝8. (5)＝ |3.14－π|＝π－3.14. 幂的乘方的逆用， 即amn=(am)n=(an)m a-n= (b)2=b2()2=b2a(a≥0) 感悟新知 知3－练 温馨提示： (1)运用()2＝a(a ≥ 0)进行计算时，要严格按照公式进行，在遇到积的乘方时，可运用公式(ab)n＝anbn进行 计算； (2)化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a 与0 的大小去掉绝对值符号. 感悟新知 知3－练 4－1.[中考·杭州]下列计算正确的是(　　) A．＝2 B．＝－2 C．＝±2 D．＝±2 4－2. 已知＝1－2a, 那么a 的取值范围是(　　) A．a＞ B．a＜ C．a ≥ D．a ≤ A D 感悟新知 知3－练 4－3. 计算： (1)(3)2＝______； (2)－＝________； (3)＝_________. 45 感悟新知 知4－讲 1. 代数式的定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式. 2. 列代数式：把实际问题中与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来. 知识点 代数式 4 感悟新知 知4－讲 3. 列代数式的常用方法 (1)直接法：根据问题中的语言叙述直接写出代数式； (2)公式法：根据公式列出代数式； (3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 1. 单独一个数或字母也是代数式. 2. 将两个代数式用关系符号(“=”“>”“<”等)连接起来的式子叫做关系式，方程和不等式都是关系式.如:3x-1=2x+3就是关系式，不是代数式. 3. 我们学过的整式、分式、二次根式都是代数式. 感悟新知 知4－练 观察： ①＝2；②＝3；③＝4；…. (1)根据以上规律，按顺序写出第4个式子； (2)用含自然数n(n≥1)的式子表示你观察到的规律. 例 5 感悟新知 知4－练 解题秘方：紧扣“式子中各数字与序号间的关系”，用从特殊到一般的思想找规律解答. 感悟新知 知4－练 解：经观察可知，等号左边根号内包含两项：整数和分 数，整数是从1开始的连续整数，分数是从开始的分母依次增加1的分数；等号右边根号外的因数是从2开始的连续整数，根号内的分数与等号左边根号内的分数相同. (1)＝5. (2)规律为＝(n＋1). 感悟新知 知4－练 5－1.(1)把a个苹果平均分给若干名学生,若每人分5个，还余3个，则学生人数为_______； (2)如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中正三角形的个数是________(用含n的代数式表示). 4n－2 感悟新知 二次根式 ()2=a(a≥0) ≥ 0 a ≥ 0 定义 二次根式 性质 =|a| 课堂小结 若已知实数a，b，c满足＋＋＝2，求ab＋bc的值. 例 6 思路引导： 题型 利用二次根式的性质求值 1 综合应用创新 解：∵(a2＋2 025)(b－6)≥ 0，∴ b－6 ≥ 0. ∴ b ≥ 6. ∴＝ |10－2b|＝2b－10. ∴ ＋＋2b－10＝2. ∴ ＋＋(2b－12)＝0. ∵ ≥ 0，≥ 0 ，2b－12 ≥ 0， ∴ a＋b＋c＝0，(a2＋2 025)(b－6)＝ 0 ，2b－12＝0. ∴ b＝6，a＋c＝－6.∴ ab＋bc＝b(a＋c)＝6×(－6)＝－36. 综合应用创新 解法提醒 1. 二次根式的双重非负性是解决二次根式问题的一个重要隐含条件. 2. 非负数除了三个常见形式，，|a|以外，还可以根据取值范围直接确定为非负数. 综合应用创新 题型 利用二次根式的性质化简 2 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图16.1－1所 示.试化简：＋＋＋－ . 例 7 类型1 结合数轴化简 综合应用创新 思路引导： 综合应用创新 解：由数轴上点的位置可知0＜a＜1，b＜－1， 所以a－b>0，b－1＜0，a－1＜0. 则＋＋＋－ ＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1| ＝a－b＋a－b＋1－b－(1－a) ＝3a－3b. 综合应用创新 解题通法 运用 =|a|进行化简时，其关键步骤是去绝对值符号，而去绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的代数式的符号(例7是根据字母在数轴上对应点的位置来确定)，因此一定要结合具体问题(如数轴、几何图形的特征等)确定其符号，然后进行化简. 综合应用创新 设a，b，c分别为一个三角形的三边长，化简： ＋|a－b－c|＋－. 例 8 思路引导： 类型2 结合三角形三边关系化简 综合应用创新 解：∵a，b，c分别为一个三角形的三边长， ∴a＋b＋c>0，a－b－c＜0，b－a－c＜0，c－b－a＜0. ∴原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－a－c|－|c－b－a| ＝(a＋b＋c)－(a－b－c)－(b－a－c)＋(c－b－a) ＝a＋b＋c－a＋b＋c－b＋a＋c＋c－b－a ＝4c. 综合应用创新 知识链接 三角形三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 综合应用创新 已知x为任意实数，化简：＋. 例 9 类型3 分段化简 思路引导： 综合应用创新 解：＋＝＋ ＝|x－1|＋|x＋3|. (1)当x＜－3时，x－1＜0，x＋3＜0, ∴原式＝1－x－x－3＝－2x－2； (2)当－3≤x≤1时，x－1≤0，x＋3≥0， ∴原式＝1－x＋x＋3 ＝4； (3)当x＞1 时，x－1＞0，x＋3＞0， ∴原式＝x－1＋x＋3＝2x＋2 . 综合应用创新 方法总结 “零点分段法”： 利用代数式的零点进行分类讨论，从而解决含有绝对值的式子的运算的方法称为“零点分段法”． 综合应用创新 题型 利用二次根式的性质因式分解 3 在实数范围内分解因式: (1)x2－5； (2)x4－4x2＋4. 例10 解题秘方：逆用()2＝a(a≥0)分解因式. 逆用二次根式的性质时，必须先确定该数为非负数，故一般只对数进行变形 综合应用创新 解：(1)x2－5 ＝x2－()2 ＝(x＋)(x－). (2)x4－4x2＋4 ＝(x2－2)2 ＝[(x＋)(x－)]2 ＝(x＋)2(x－)2. 综合应用创新 解题策略 在实数范围内分解因式的策略： 1. 在实数范围内分解因式时，常常把正数a转化为()2，以便于使用平方差公式或完全平方公式分解因式； 2. 一般地，如果题目没有指明在什么范围内分解因式，都是指在实数范围内分解因式. 综合应用创新 易错点 求使二次根式有意义的条件时，考虑不全面而出错 [中考·广元]若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 例11 x＞3 综合应用创新 错解：∵是二次根式， ∴由二次根式有意义的条件得x－3 ≥ 0，解得x ≥ 3 . 正解：∵在中，是分母，且x－3是二次根式的被开方数，∴解得x ＞ 3 . 综合应用创新 诊误区： 对于形如的式子，在求字母的取值范围时，要注意A不仅是二次根式的被开方数，还在分母的位置上，因此有意义的条件为A>0.此题中极易简单地由二次根式有意义的条件求得x≥3，从而导致错误. 综合应用创新 [中考·烟台]若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围为_______． x＞1 考法 利用二次根式有意义的条件求字母的值 1 例12 中考风向标 试题评析：本题考查二次根式有意义的条件，同时还要注意分母不为零. 解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴ x－1＞0，解得x＞1. 中考风向标 [中考·乐山]已知1＜x＜2，化简＋|x－2|的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x 考法 利用二次根式的性质化简 2 例13 中考风向标 试题评析：本题考查二次根式、绝对值的化简，正确判断式子的符号及掌握二次根式、绝对值的性质是解题关键. 答案：B 解：∵ 1＜x＜2， ∴ x－1>0，x－2<0. ∴ ＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1． 中考风向标 [中考· 成都]若m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为_______． 考法 利用二次根式的非负性求值 3 例14 1 中考风向标 试题评析：本题考查了平方的非负性及二次根式的非负性，根据“几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0”列式是解题的关键. 解： ∵ m，n 为实数，且(m＋4)2＋＝0， ∴ m＋4＝0，n－5＝0，解得m＝－4，n＝5. ∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1． 中考风向标 1. [期中·潍坊潍城区]下列二次根式中，字母x的取值范围为x ≥ 2 的是( ) A. B. C. D. C 综合素养训练 2. [期末· 佛山顺德区]下列计算正确的是(　　) A．＝±3 B．＝－3 C．(－)2＝3 D．()2＝－3 C 综合素养训练 3. [母题 教材P5习题T9]若二次根式的值是整数，则下列n 的取值符合条件的是( ) A. n＝12 B. n＝15 C. n＝18 D. n＝16 C 综合素养训练 4. 满足2＝6－2a的正整数a的所有值的平方和为 (　　) A．13 B．14 C．15 D．16 B 综合素养训练 5. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的化简结果是(　　) A．2 B．2a－2 C．2－2b D．－2 A 综合素养训练 6. 若a 满足|2 024－a|＋＝a，则a－2 0242的值为 (　　) A．0 B．1 C．2 024 D．2 025 D 综合素养训练 7. 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x 的值：______________． 8. 已知与|3－a－b|互为相反数，则(a－b)2 025＝__________． 3(答案不唯一) －1 综合素养训练 9. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第n个图案中有_____个白色圆片(用含n的代数式表示)． (2＋2n) 综合素养训练 10. 在实数范围内分解因式： (1)x4－4； (2)3x2－6y2； (3)－x2＋2x－2. 综合素养训练 11. 已知a，b为实数，且＋2＝b＋4，求a，b 的值. 综合素养训练 12. 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l 表示摆长(单位：m)．假如一台座钟钟摆的摆长为 0.2 m.(π取3，g ≈ 9.8 m/s2) 综合素养训练 (1)求钟摆摆动的周期． 综合素养训练 (2)如果钟摆每摆动一个来回，座钟发出一次滴答声，那么在6 min 内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 综合素养训练 13. 求代数式a＋的值，其中a＝1 013．如图是小兰和小芳的解答过程： (1)_______的解法是正确的； 小芳 综合素养训练 (2)化简代数式a＋(a＜0)； (3)若＋＝13，直接写出a的取值范围． －8≤a≤5. 综合素养训练 － －3 解：原式＝(x2－2)(x2＋2)＝(x－)(x＋)(x2＋2)． 原式＝3(x2－2y2)＝3[x2－(y)2]＝3(x＋y)(x－y)． 原式＝－(x2－2x＋2)＝－(x－)2. 解：由二次根式有意义的条件可得 解得a＝5. ∴b＋4＝0.∴b＝－4. 解：T＝2π≈2×3×＝6×＝6×＝(s)． 答：钟摆摆动的周期约为s. 解：6 min＝360 s，∴360÷＝420(次)． 答：在6 min内，该座钟大约发出了420次滴答声． 解：∵a＜0，∴a＋＝a＋＝a－a＋3＝3. $$