专题04 指对幂函数的图象和性质9种常考题型归纳-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题04 指对幂函数的图象和性质 幂函数的定义及其应用 1．（2023秋•东城区校级期中）已知幂函数经过点，则（4）　　． 2．（2021秋•东城区校级期末）已知幂函数过点，若，则　　． 3．（2023秋•丰台区校级期中）若函数是幂函数，则的值为　　 A． B． C． D．2 4.（2023秋•朝阳区校级期末）已知函数是幂函数，若，则（4）　　． 5．（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是的幂函数是　　 A． B． C． D． 幂函数的图象和性质 6．（2022秋•西城区校级期末）已知幂函数是上的增函数，则的值为　　． 7．（2023春•顺义区期末）若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数，的值依次是 　　． 8．（2020秋•海淀区校级期末）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为　　 9．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数经过点，则不等式的解集为 　　． 10．（2021秋•房山区期末）已知幂函数的图象经过点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围． 指数的运算 11．（2022秋•延庆区期末）的值为　　 A． B． C．2 D．4 12．（2021秋•房山区期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 13．（2021秋•大兴区期末）已知，则　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•房山区期末）　　． 指数函数的图象和性质 15．（2022秋•门头沟区期末）函数且的图象过定点　　 A． B． C． D． 16．（2022春•东城区校级期末）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是　　． 17．（2022春•东城区校级期末）已知且，，当时，均有，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，其中且． （Ⅰ）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （Ⅱ）若，求的最小值； （Ⅲ）若在区间，上的最大值为2，求的值． 19．（2022秋•西城区校级期末）已知函数． （1）证明函数为奇函数； （2）解关于的不等式：． 20．（2023秋•昌平区期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是，； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 　　． 对数的运算 21．（2023春•东城区校级期末）已知，则（1）　　． 22．（2022秋•西城区期末）设，则　　 A．8 B．11 C．12 D．18 23.（2023秋•石景山区期末）设函数，则　　 A．2 B．5 C．7 D．10 24．（2024春•东城区期末）已知，，则的值为　　 A．15 B． C． D． 25.（2023秋•西城区期末）已知，，则　　 A．9 B．2 C． D． 26．（2022秋•朝阳区期末）设，，且，则的最小值为 　　． 27．（2022秋•西城区校级期末）　　． 28．（2022秋•密云区期末）计算：　　（用数字作答） 29.（2023秋•延庆区期末）　　． 30．（2022秋•门头沟区期末）化简求值： （1）； （2）． 31．（2022秋•西城区校级期末）（1）计算； （2）计算． 对数的实际应用 32．（2022秋•石景山区期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　 A． B．10.1 C． D． 33．（2022秋•怀柔区期末）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔升，计算这种苏打水的值．（精确到（参考数据：　　 A．8.699 B．8.301 C．7.699 D．6.602 34．（2022秋•朝阳区期末）声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•密云区期末）香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：，为信道带宽（单位：，为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是　　 A．30000 B．22000 C．20000 D．18000 36．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为，地球公转周期为，万有引力常量为，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量．已知，，，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为　　 A． B． C． D． 37.（2024春•顺义区期末）碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氮原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定．半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间．对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的，则这块化石距今约为（参考数据：　　 A．40万年 B．20万年 C．4万年 D．2万年 38.（2024春•昌平区期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为　　（参考数据 A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 39.（2023秋•通州区期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣标准对数视力表发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分．图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值，4.1，对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值，0.12，．已知标准4.0对数记录法的数据和小数记录法的数据满足为常数）．某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为　　（参考数据：， A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 对数函数的定义域和值域 40．（2023秋•顺义区期末）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•房山区期末）函数的定义域是 　　． 42．（2023秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 43．（2024春•顺义区期末）函数的定义域为 　　． 44．（2023秋•丰台区期末）函数的定义域为 　　． 45．（2023秋•东城区期末）函数的定义域为 　． 46．（2023秋•昌平区期末）函数的定义域为 　　． 47．（2024春•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 48．（2023秋•通州区期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是　　 A． B． C． D． 对数的图象和性质 49．（2023秋•昌平区期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点　　 A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 50．（2022秋•通州区期末）函数与的图象　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 51．（2023秋•海淀区期末）在同一个坐标系中，函数，，的部分图象可能是　　 A． B． C． D． 52．（2023秋•丰台区期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 53．（2023秋•平谷区期末）已知函数，，为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数　　 A． B． C． D．2 54．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，则函数的减区间是　　 A． B． C． D． 55．（2023秋•大兴区期末）已知函数，若，则　　；若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 56．（2022秋•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）判断的奇偶性； （Ⅱ）若，求的取值范围； （Ⅲ）当，时，求的值域． 57．（2022秋•大兴区期末）已知函数． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断的单调性，并说明理由． 58．（2022秋•丰台区校级期末）已知函数，且． （Ⅰ）若（2），求的值． （Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值． 59．（2023秋•朝阳区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求（1）的值； （Ⅱ）判断在区间，上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）当，时，的最小值为3，求的值． 60．（2023秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）求函数的零点； （Ⅱ）求函数的图象与函数的图象的交点坐标； （Ⅲ）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围． 利用指、对、幂函数图象比较大小 61．（2023秋•通州区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 62．（2023秋•延庆区期末），，的大小关系为　　 A． B． C． D． 63．（2023秋•朝阳区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 64．（2022秋•西城区校级期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 65．（2021秋•怀柔区期末）已知，，，那么，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 66．（2022秋•房山区期末）设，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 67．（2022秋•延庆区期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 68．（2023春•顺义区校级期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 69．（2022秋•海淀区期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 70．（2022秋•顺义区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 71．（2022秋•北京期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 72．（2024春•朝阳区期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 73．（2023秋•海淀区校级期末）若，则　　 A． B． C． D． 74.（2023秋•顺义区期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为　　 A． B． C． D． 75.（2023秋•大兴区期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 76．（2022秋•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的反函数； （Ⅱ）若，时的最小值是（a），求（a）解析式． 77．（2022秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）判断的奇偶性，并证明； （Ⅱ）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出该函数的值域； （Ⅲ）写出不等式的解集． 78．（2022秋•东城区期末）已知函数，对，满足且（a）（b），则下面结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 79．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若函数是偶函数，求的值； （Ⅲ）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围． 80．（2022秋•海淀区期末）已知且，函数在上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个． ①函数为奇函数；②（1）；③． （Ⅰ）从中选择的两个条件的序号为 　　，依所选择的条件求得　　，　　； （Ⅱ）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （Ⅲ）在（Ⅰ）的情况下，若方程在，上有且只有一个实根，求实数的取值范围． 81.（2023秋•海淀区校级期末）共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数表示市场外部性强度，越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①过定点； ②在，上单调递增； ③关于对称； ④取定，外部性强度越大，越小． 其中所有正确结论的序号是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指对幂函数的图象和性质 幂函数的定义及其应用 1．（2023秋•东城区校级期中）已知幂函数经过点，则（4）　　． 【解析】设， 幂函数经过点， 则，解得， 故， 所以（4）． 故答案为：2． 2．（2021秋•东城区校级期末）已知幂函数过点，若，则　　． 【解析】把点代入， 得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2023秋•丰台区校级期中）若函数是幂函数，则的值为　　 A． B． C． D．2 【解析】是幂函数， 则，解得， 故选：． 4.（2023秋•朝阳区校级期末）已知函数是幂函数，若，则（4）　　． 【解析】设， 则， 所以， 则（4）． 故答案为：2． 5．（2021秋•房山区期末）下列函数中，值域是的幂函数是　　 A． B． C． D． 【解析】在上，函数的值域为，故满足条件； 由于函数的值域为，故不满足条件； 由于函数的值域为，，故不满足条件； 由于函数的值域为，故不满足条件； 故选：． 幂函数的图象和性质 6．（2022秋•西城区校级期末）已知幂函数是上的增函数，则的值为　　． 【解析】函数是幂函数，则， 即， 解得或； 当时，不是上的增函数，不满足题意； 当时，是上的增函数，满足题意． 则的值为3． 故答案为：3． 7．（2023春•顺义区期末）若幂函数在上单调递减，在上单调递增，则使是奇函数的一组整数，的值依次是 　　． 【解析】因为幂函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，又因为是奇函数， 所以，需要满足为小于0的奇数，为大于0的奇数． 故答案为：、3（答案不唯一）． 8．（2020秋•海淀区校级期末）已知幂函数在上单调递增，则实数的值为　　 【解析】由题意得：，解得：或， 时，在递增，符合题意， 时，，是常函数，不合题意， 故答案为：0． 9．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数经过点，则不等式的解集为 　　． 【解析】函数经过点， ， ， ， 在，单调递增， 恒成立， 又（1）， ， 解得， 故不等式的解集为． 故答案为：． 10．（2021秋•房山区期末）已知幂函数的图象经过点． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若函数满足条件，试求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）幂函数的图象经过点， ，， ． （Ⅱ）函数为偶函数，在上单调递增，且满足， 不等式可化为， ， 两边平方得， 解得， 即实数的取值范围为． 指数的运算 11．（2022秋•延庆区期末）的值为　　 A． B． C．2 D．4 【解析】， 故选：． 12．（2021秋•房山区期末）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【解析】． 故选：． 13．（2021秋•大兴区期末）已知，则　　 A． B． C． D． 【解析】，则． 故选：． 14．（2022秋•房山区期末）　　． 【解析】原式． 故答案为：． 指数函数的图象和性质 15．（2022秋•门头沟区期末）函数且的图象过定点　　 A． B． C． D． 【解析】由指数函数且的图象恒过定点， 所以在函数中，当时，恒有， 所以且的图象过定点． 故选：． 16．（2022春•东城区校级期末）已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是　　． 【解析】由指数函数的图象恒过点 而要得到函数的图象， 可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位． 则点平移后得到点． 则点的坐标是 故答案为 17．（2022春•东城区校级期末）已知且，，当时，均有，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由题意可知，在上恒成立，令，， 由图象知：时，即； 当时，，可得 ． 或． 故选：． 18．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数，其中且． （Ⅰ）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （Ⅱ）若，求的最小值； （Ⅲ）若在区间，上的最大值为2，求的值． 【解析】（Ⅰ）令，则， 所以定点坐标为； （Ⅱ）当时，，当时，等号成立， 所以的最小值为； （Ⅲ），令， 当时，由于在，上单调递减，则，， 而函数在，上单调递减，则，解得或，不合题意； 当时，由于在，上单调递增，则，， 而函数在，上单调递增，则，解得或（舍； 综上，实数的值为3． 19．（2022秋•西城区校级期末）已知函数． （1）证明函数为奇函数； （2）解关于的不等式：． 【解析】（1）证明：因为函数，则， 则函数为奇函数， （2）由，得函数为定义域上的增函数， 又，即，即， 则，得， 故不等式的解集为． 20．（2023秋•昌平区期末）已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增； ②存在最大值； ③不等式的解集是，； ④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解析】函数的定义域为， 函数在上单调递减， 因此在上单调递增，①正确； 由于，则，，， 函数不存在最大值，②错误； 不等式，即，整理得，解得， 的解集是，，③正确； 由于， 因此的图象关于点 对称，④正确， 所以所有正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 对数的运算 21．（2023春•东城区校级期末）已知，则（1）　　． 【解析】已知，则（1），故（1）（2）， 故答案为 0． 22．（2022秋•西城区期末）设，则　　 A．8 B．11 C．12 D．18 【解析】由，则， 则． 故选：． 23.（2023秋•石景山区期末）设函数，则　　 A．2 B．5 C．7 D．10 【解析】函数，则． 故选：． 24．（2024春•东城区期末）已知，，则的值为　　 A．15 B． C． D． 【解析】因为，， 所以，可得， 所以． 故选：． 25.（2023秋•西城区期末）已知，，则　　 A．9 B．2 C． D． 【解析】， ，且， ． 故选：． 26．（2022秋•朝阳区期末）设，，且，则的最小值为 　　． 【解析】，，，， ，则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2， 故答案为：2． 27．（2022秋•西城区校级期末）　　． 【解析】． 故答案为：7． 28．（2022秋•密云区期末）计算：　　（用数字作答） 【解析】 ． 故答案为：． 29.（2023秋•延庆区期末）　　． 【解析】原式． 故答案为：15． 30．（2022秋•门头沟区期末）化简求值： （1）； （2）． 【解析】（1） ． （2） ． 31．（2022秋•西城区校级期末）（1）计算； （2）计算． 【解析】（1）原式； （2）原式． 对数的实际应用 32．（2022秋•石景山区期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为　　 A． B．10.1 C． D． 【解析】设太阳的星等是，天狼星的星等是， 由题意可得：， ，则． 故选：． 33．（2022秋•怀柔区期末）溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为摩尔升，计算这种苏打水的值．（精确到（参考数据：　　 A．8.699 B．8.301 C．7.699 D．6.602 【解析】由 可得，． 故选：． 34．（2022秋•朝阳区期末）声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：．若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为　　 A． B． C． D． 【解析】声强级（单位：由公式给出，其中为声强（单位：， 若平时常人交谈时的声强约为，则声强级为， 故选：． 35．（2022秋•密云区期末）香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：，为信道带宽（单位：，为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是　　 A．30000 B．22000 C．20000 D．18000 【解析】，其中为信道容量（单位：， 为信道带宽（单位：，为信噪比． 通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比． ． 故选：． 36．（2022秋•东城区期末）记地球与太阳的平均距离为，地球公转周期为，万有引力常量为，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量．已知，，，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为　　 A． B． C． D． 【解析】 ， ， 故选：． 37.（2024春•顺义区期末）碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氮原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定．半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间．对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的，则这块化石距今约为（参考数据：　　 A．40万年 B．20万年 C．4万年 D．2万年 【解析】设大约经过个半衰期碳14的含量为原来的，即， 两边取对数，得，即，解得，所以这块化石距今约（年万年． 故选：． 38.（2024春•昌平区期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为，，则的值约为　　（参考数据 A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 【解析】把，，代入中，得， 即，所以，解得，即； 把，，代入中，得， 即，所以，解得，即； 所以． 故选：． 39.（2023秋•通州区期末）国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣标准对数视力表发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分．图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值，4.1，对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值，0.12，．已知标准4.0对数记录法的数据和小数记录法的数据满足为常数）．某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为　　（参考数据：， A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【解析】因为， 由题意得，，即， 所以， 当时，． 故选：． 对数函数的定义域和值域 40．（2023秋•顺义区期末）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 【解析】函数， 则，解得， 故函数的定义域为，． 故选：． 41．（2023秋•房山区期末）函数的定义域是 　　． 【解析】由题意得，，解得且． 故答案为：且． 42．（2023秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】， 则，解得， 故函数的定义域为，． 故答案为：，． 43．（2024春•顺义区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】， 则，解得， 故函数的定义域为，． 故答案为：，． 44．（2023秋•丰台区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】对于函数，应有． 求得，可得函数的定义域为． 故答案为：． 45．（2023秋•东城区期末）函数的定义域为 　． 【解析】函数， 则，解得且． 故答案为：． 46．（2023秋•昌平区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】对于函数，应有，求得， 可得函数的定义域为． 故答案为：． 47．（2024春•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】根据题意，函数， 则有，解可得，即函数的定义域为． 故答案为：． 48．（2023秋•通州区期末）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是　　 A． B． C． D． 【解析】的定义域和值域都是， ，和的定义域都是；的定义域和值域都是． 故选：． 对数的图象和性质 49．（2023秋•昌平区期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点　　 A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【解析】函数， 只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度． 故选：． 50．（2022秋•通州区期末）函数与的图象　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【解析】由于函数，即函数， 故函数与的图象关于轴对称， 故选：． 51．（2023秋•海淀区期末）在同一个坐标系中，函数，，的部分图象可能是　　 A． B． C． D． 【解析】当时，中，应该单调递减，而在应该在的下方，所以不正确； 中，应该单调递减，而在应该在的下方，的图象应该单调递增，所以不正确； 中，在应该在的下方，所以不正确； 中，的图象应该单调递增，所以不正确； 当时， 中的图象应该单调递减，所以不正确； 中，应该单调递增，的图象应该单调递减，所以不正确； 中，三个图象正确； 中，应该单调递增，应该在在的上方，所以不正确． 综上所述：只有时正确． 故选：． 52．（2023秋•丰台区期末）函数的图象是　　 A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，排除． 故选：． 53．（2023秋•平谷区期末）已知函数，，为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数　　 A． B． C． D．2 【解析】设图象上的任意一点，则有， 将线段绕着点逆时针方向旋转后，得到点，点落在的图象上，可得， 代入可得， 即，解得． 故选：． 54．（2022秋•西城区校级期末）已知函数，则函数的减区间是　　 A． B． C． D． 【解析】设， 由可得或， 则在递减， 由在递增， 可得函数的减区间为． 故选：． 55．（2023秋•大兴区期末）已知函数，若，则　　；若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 【解析】因为， 若， 则或， 若，且（a）（b），则， 所以， 所以， 所以． 故答案为：或，． 56．（2022秋•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）判断的奇偶性； （Ⅱ）若，求的取值范围； （Ⅲ）当，时，求的值域． 【解析】（Ⅰ）由，得， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数． （Ⅱ）由，得，解得， 所以不等式的解集为，． （Ⅲ）， 当，时，，所以，， 所以的值域为，． 57．（2022秋•大兴区期末）已知函数． （1）求的值； （2）判断的奇偶性，并说明理由； （3）判断的单调性，并说明理由． 【解析】（1）因为， 所以； （2）为奇函数， 证明：要使有意义，只需，解得，所以的定义域为； 又，所以为奇函数， （3）在上为减函数． 证明：任取，且， 则， ， ， 得，得到， 在上为减函数． 58．（2022秋•丰台区校级期末）已知函数，且． （Ⅰ）若（2），求的值． （Ⅱ）若在，上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【解析】因为（2）， 所以， 解得或（舍， 当时，在，上单调递增， 由题意得，， 解得，， 当时，在，上单调递减， 由题意得，， 解得，， 综上，或． 59．（2023秋•朝阳区期末）设函数． （Ⅰ）当时，求（1）的值； （Ⅱ）判断在区间，上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）当，时，的最小值为3，求的值． 【解析】（Ⅰ）当时，， 所以（1）； （Ⅱ）函数在，上单调递增，证明如下： 在，上任取，，且， 则， 因为任取，，且，，所以， 所以，即， 所以，即， 所以， 即证得在，上单调递增； （Ⅲ），时，由（Ⅱ）可得在，上单调递增， 所以， 可得． 60．（2023秋•西城区期末）已知函数． （Ⅰ）求函数的零点； （Ⅱ）求函数的图象与函数的图象的交点坐标； （Ⅲ）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）令， 所以，即， 所以， 所以零点为； （Ⅱ）令， 即， 所以， 整理可得， 即， 所以，解得； 将代入中，可得（2）， 所以函数的图象与函数图象的交点坐标为； （Ⅲ）由得，所以，解得， 即函数的定义域为，， 由题意，在，上恒成立． 所以在，上恒成立． 令， 则在上恒成立， 即即可， 令，则，， 开口向下，对称轴，所以时，， 所以，解得． 所以的取值范围为． 利用指、对、幂函数图象比较大小 61．（2023秋•通州区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，， 所以，，， 所以． 故选：． 62．（2023秋•延庆区期末），，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】，， ，， ，， ． 故选：． 63．（2023秋•朝阳区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ，， ． 故选：． 64．（2022秋•西城区校级期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，，则． 故选：． 65．（2021秋•怀柔区期末）已知，，，那么，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】函数在上单调递增，，，，， ， 故选：． 66．（2022秋•房山区期末）设，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】因在单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 则， 即． 故选：． 67．（2022秋•延庆区期末）设，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ． 故选：． 68．（2023春•顺义区校级期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为， ， ， 所以． 故选：． 69．（2022秋•海淀区期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， 又， ， 故选：． 70．（2022秋•顺义区期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，且， 所以， 故选：． 71．（2022秋•北京期末）已知，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】， ， 即， 又， ， ， 故选：． 72．（2024春•朝阳区期末）已知，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ． 故选：． 73．（2023秋•海淀区校级期末）若，则　　 A． B． C． D． 【解析】由， 易得且， 令 则（a），且（a）， 当，则，易知 在单调递增，故，则； 当，，因为 在单调递增，又，（1），得，故； 易知不成立，错误； 当，则，； 当，则，，且不成立，错误． 故选：． 74.（2023秋•顺义区期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现两岁燕子的飞行速度（单位：可以表示为，其中表示燕子耗氧量的单位数．某只两岁燕子耗氧量的单位数为时的飞行速度为，耗氧量的单位数为时的飞行速度为，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】， ， ， ． 故选：． 75.（2023秋•大兴区期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是　　 A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【解析】①中，为，单调递减，所以，所以①正确； ②中，因为，的增加的幅度大于的幅度，所以，所以②不正确； ③中，因为，在增加的幅度小于的幅度，所以，所以③正确； ④中，因为，而，所以， 可得，即，所以④正确． 故选：． 76．（2022秋•延庆区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的反函数； （Ⅱ）若，时的最小值是（a），求（a）解析式． 【解析】（Ⅰ）时，函数， 因为，所以，所以， 所以函数不是定义域上的单调函数， 所以函数在定义域上没有反函数． （Ⅱ），时，，，函数的对称轴为，开口向上， 当即时，函数在，上为增函数，（a）（1）， 当即时，函数在，上的最小值为（a）， 当，即时，函数在，上为减函数，（a）（2）， 所以（a）． 77．（2022秋•丰台区期末）已知函数． （Ⅰ）判断的奇偶性，并证明； （Ⅱ）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出该函数的值域； （Ⅲ）写出不等式的解集． 【解析】（Ⅰ）函数为偶函数， 理由如下，函数的定义域为， ， 为偶函数； （Ⅱ）图象如图所示， 由图象可知函数的值域为，； （Ⅲ）分别画出与的图象，如上图所示， 结合图象，可知不等式的解集为，，． 78．（2022秋•东城区期末）已知函数，对，满足且（a）（b），则下面结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】（a）（b）， ， 又， ，， 故， 故， 即， 故， 故， 故选：． 79．（2022秋•朝阳区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）若函数是偶函数，求的值； （Ⅲ）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，， 则， 解得， 故不等式的解集为； （Ⅱ）函数是偶函数， ， ， 即， ； （Ⅲ）当时， 由于在上为减函数， 在上为增函数， ， ， 函数的图象与直线有公共点， ， 故的范围为． 80．（2022秋•海淀区期末）已知且，函数在上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个． ①函数为奇函数；②（1）；③． （Ⅰ）从中选择的两个条件的序号为 　　，依所选择的条件求得　　，　　； （Ⅱ）利用单调性定义证明函数在上单调递减； （Ⅲ）在（Ⅰ）的情况下，若方程在，上有且只有一个实根，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）因为在上是单调减函数， 故②（1），③不会同时成立， 故函数一定满足①函数为奇函数， 由于函数定义域为，所以有，则 （1），，故一定满足②， 选择①②，， （1）， 解得，． （Ⅱ）证明：任取，，且， 则， 由于，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递减． （Ⅲ）由（Ⅰ）可得， 所以方程为，即，，， 令，由于，，所以，， 则问题转化为在，上有唯一解， 由（Ⅱ）知，函数在，上单调递减， 所以（5），（2）， 所以实数的取值范围是，． 81.（2023秋•海淀区校级期末）共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具．通过调查发现人们在单车选择时，可以使用“竞争函数”进行近似估计，其解析式为（其中参数表示市场外部性强度，越大表示外部性越强）．给出下列四个结论： ①过定点； ②在，上单调递增； ③关于对称； ④取定，外部性强度越大，越小． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解析】对于①，在中，令，则，过定点，故①正确； 对于②，， 令，当，，则， 且由基本初等函数及复合函数的单调性知在，上单调递减， 则在，上单调递增，故②正确； 对于③，由②知在，上单调递增，故在，不存在对称轴，故③错误； 对于④，方法一：由①知当时，，与的取值无关，故④错误． 方法二：以为自变量，设为（a），则， ，故的正负取决于， 当，即时，（a），随着的增大，减小， 当，即时，（a），随着的增大，增大，故④错误． 故答案为：①②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$