6.2.3平面向量的坐标及其运算同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

6．2.3　平面向量的坐标及其运算 必备知识基础练　 1．（5分）已知数轴上两点M，N且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN＝（　　） A．1 B．2 C．－7 D．1或－7 2．（5分）已知数轴上A，B的坐标分别是12，－8，AB的中点为C，则向量的坐标是（　　） A．－10 B．10 C．28 D．－28 3．（5分）已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，||＝2，||＝8，则点N的坐标为（　　） A．11 B．－11 C．3 D．－3 4．（5分）已知点A（1，－3），的坐标为（3，7），则点B的坐标为（　　） A．（4，4） B．（－2，4） C．（2，10） D．（－2，－10） 5．（5分）已知a＝（1，－1），b＝（3，0），则3a－2b＝（　　） A．（5，3） B．（4，－1） C．（－2，－1） D．（－3，－3） 6．（5分）已知向量a＝（－2，3），b∥a，向量b的起点为A（1，2），终点B在坐标轴上，则点B的坐标为　　　　Ｗ． 关键能力综合练 7.（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　） A．（－7，－4） B．（7，4） C．（－1，4） D．（1，4） 8．（5分）在数轴上有M，N，P三点，其中点M，P的坐标分别是2和－3，且满足MN＝3NP，则点N的坐标可以是（　　） A． B．－或－ C．1 D．－ 9．（6分）（多选）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且＝＋t，下列结论正确的是（　　） A．若点P在x轴上，则t＝－ B．若点P在y轴上，则t＝－ C．若点P在第二象限，则－＜t＜－ D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形 10．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC.若＝x＋y（x，y∈R），则x－y＝　　　　. 11．（5分）设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　　　Ｗ． 12．（13分）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝. （1）求E，F的坐标； （2）判断与是否共线． 核心素养升级练 13.（6分）（多选）已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（－1，0） D．（0，－1） 14．（15分）在平面直角坐标系中，给定△ABC，点M为BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝λ，＝μ. （1）求λ与μ的值； （2）若A，B，C三点坐标分别为（2，－2），（5，2），（－3，0），求P点坐标． 参考答案 必备知识基础练　 1．（5分）已知数轴上两点M，N且|MN|＝4.若xM＝－3，则xN＝（　　） A．1 B．2 C．－7 D．1或－7 答案：D 解析：|MN|＝|xN－（－3）|＝4， ∴xN－（－3）＝±4，即xN＝1或－7. 2．（5分）已知数轴上A，B的坐标分别是12，－8，AB的中点为C，则向量的坐标是（　　） A．－10 B．10 C．28 D．－28 答案：A 解析：C点的坐标为xC＝＝＝2， ∴＝2－12＝－10. 3．（5分）已知M，P，N三点在数轴上，且点P的坐标是5，||＝2，||＝8，则点N的坐标为（　　） A．11 B．－11 C．3 D．－3 答案：A 解析：设点M，N的坐标分别为x1，x2， 因为点P的坐标是5，||＝2，||＝8， 所以解得 故点N的坐标为11. 4．（5分）已知点A（1，－3），的坐标为（3，7），则点B的坐标为（　　） A．（4，4） B．（－2，4） C．（2，10） D．（－2，－10） 答案：A 解析：设点B的坐标为（x，y），由＝（3，7）＝（x，y）－（1，－3）＝（x－1，y＋3）＝（3，7），得B（4，4）. 5．（5分）已知a＝（1，－1），b＝（3，0），则3a－2b＝（　　） A．（5，3） B．（4，－1） C．（－2，－1） D．（－3，－3） 答案：D 解析：3a－2b＝3（1，－1）－2（3，0）＝（3，－3）－（6，0）＝（－3，－3）. 6．（5分）已知向量a＝（－2，3），b∥a，向量b的起点为A（1，2），终点B在坐标轴上，则点B的坐标为　　　　Ｗ． 答案：或 解析：由b∥a，可设b＝λa＝（－2λ，3λ）. 设B（x，y），则＝（x－1，y－2）＝b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 所以B或. 关键能力综合练 7.（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　） A．（－7，－4） B．（7，4） C．（－1，4） D．（1，4） 答案：A 解析：方法一　设C（x，y），则＝（x，y－1）＝（－4，－3），所以 从而＝（－4，－2）－（3，2）＝（－7，－4）.故选A. 方法二　＝（3，2）－（0，1）＝（3，1）， ＝－＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A. 8．（5分）在数轴上有M，N，P三点，其中点M，P的坐标分别是2和－3，且满足MN＝3NP，则点N的坐标可以是（　　） A． B．－或－ C．1 D．－ 答案：B 解析：如图，当N点在线段MP上时，设N点坐标为x， 则MN＝2－x，NP＝x＋3， 则2－x＝3（x＋3），解得x＝－. 当N在P点左侧时，设N点坐标为x，则 MN＝2－x，NP＝－3－x， 则2－x＝3（－3－x），解得x＝－. 综上，N点的坐标为－或－. 9．（6分）（多选）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且＝＋t，下列结论正确的是（　　） A．若点P在x轴上，则t＝－ B．若点P在y轴上，则t＝－ C．若点P在第二象限，则－＜t＜－ D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形 答案：ABC 解析：由已知得＝（1，2），＝（4，5），＝（3，3），＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）.对于A，若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－，A正确；对于B，若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－，B正确；对于C，若点P在第二象限，则有解得－<t<－，C正确；对于D，＝－＝（4，5）－（1＋3t，2＋3t）＝（3－3t，3－3t），若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形，D错误． 10．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DCA＝2∠BAC.若＝x＋y（x，y∈R），则x－y＝　　　　. 答案：－1 解析： 如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M， 设∠BAC＝α，则∠ACD＝2α，∠ACB＝90°－α， ∴∠DCM＝180°－2α－（90°－α）＝90°－α＝∠ACB， ∴Rt△ABC∽Rt△DMC， ∴＝＝k（k为相似比）. ∴＝k，＝k， ∴＝＋＋＝＋k＋k＝（k＋1）＋k， 又＝x＋y，∴x＝k，y＝k＋1， ∴x－y＝－1. 11．（5分）（易错题）设＝（1，－2），＝（a，－1），＝（－b，0），a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是　　　　Ｗ． 答案：8 解析：＝－＝（a－1，1）， ＝－＝（－b－1，2）， 因为A，B，C三点共线，所以∥， 所以2（a－1）＋b＋1＝0，即2a＋b＝1， ＋＝（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为8. 易错提醒：根据点共线的条件，转化为向量共线的条件问题，解题过程中需要等价转化． 12．（13分）已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝. （1）求E，F的坐标； （2）判断与是否共线． 解析：（1）设E（x1，y1），F（x2，y2），依题意得 ＝（2，2），＝（－2，3）. 由＝可知，（x1＋1，y1）＝（2，2）， 即解得 ∴E的坐标为. 由＝可知，（x2－3，y2＋1）＝（－2，3）， 即解得 ∴F的坐标为. 故E点的坐标为，F点的坐标为. （2）由（1）可知 ＝－＝， 又＝（4，－1）， ∴＝（4，－1）＝，故与共线． 归纳总结：线段的定比分点坐标公式：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）是平面内两个定点，点P0（x0，y0）分有向线段所成的比为λ（λ≠－1）（即），则 特别地，当点P0为内分点时，λ>0；当点P0与点P1重合时，λ＝0；当点P0为外分点时，λ<0（λ≠－1）. 核心素养升级练 13.（6分）（多选）已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝λ1e1＋λ2e2，则可使λ1λ2<0成立的a可能是（　　） A．（1，0） B．（0，1） C．（－1，0） D．（0，－1） 答案：AC 解析：e1＝（－1，2），e2＝（2，1）， ∴向量a＝λ1e1＋λ2e2＝（－λ1，2λ1）＋（2λ2，λ2），＝（2λ2－λ1，2λ1＋λ2），若使λ1λ2<0成立， a＝（1，0），则2λ1＋λ2＝0，满足题意， a＝（0，1），则2λ2－λ1＝0，不满足题意， a＝（－1，0），则2λ1＋λ2＝0，满足题意， a＝（0，－1），则2λ2－λ1＝0，不满足题意，故选AC. 14．（15分）在平面直角坐标系中，给定△ABC，点M为BC的中点，点N满足＝2，点P满足＝λ，＝μ. （1）求λ与μ的值； （2）若A，B，C三点坐标分别为（2，－2），（5，2），（－3，0），求P点坐标． 解析：（1）设＝a，＝b， 则＝＋＝－a－3b，＝2a＋b， ＝λ＝－λa－3λb， ＝μ＝2μa＋μb， 故＝－＝（λ＋2μ）a＋（3λ＋μ）b， 而＝＋＝2a＋3b， 由平面向量基本定理得解得 （2）因为A（2，－2），B（5，2），C（－3，0），由于M为BC的中点，所以M（1，1）.设P（x，y），又由（1）知＝4，所以（x－2，y＋2）＝4（1－x，1－y）， 可得解得 所以P点的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$