第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（本题3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题3分）下列多项式能用公式法进行因式分解的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 5．（本题3分）若的结果中的二次项系数和一次项系数相等，则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 6．（本题3分）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 7．（本题3分）将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）有一数值转换机，原理如图所示，若输入的的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是，，请你写出第2024次输出的结果是（    ） A．6 B．3 C．1 D．4 9．（本题3分）若的积中不含有x的一次项，则a的值为（　　） A．3 B．6 C． D．6或3 10．（本题3分）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）计算： 12．（本题3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 13．（本题3分）若与乘积中项的系数为2，常数项为，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ． 14．（本题3分）已知：，则 ． 15．（本题3分）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 16．（本题3分）已知，，，满足关系式，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）分解因式： (1)； (2)． 18．（本题6分）计算： (1)； (2)． (3)． 19．（本题6分）先化简，再求值： (1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－； (2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2. 20．（本题8分）求值. （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值； （3）已知，，，求a，b，c之间的值； 21．（本题8分）(1)填空21－20＝2( )；  22－21＝2( ) ；23 －22＝2( ) (2)请用字母表示第n个等式，并验证你的发现． (3)利用(2)中你的发现，求20＋21＋22＋23＋…＋22016＋22017的值． 22．（本题9分）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空： ①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______； ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______ 方法2：______ ③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______． 23．（本题9分）阅读下面题目的解题过程，并回答问题. 若,求x2+y2的值. 解：设，则原式可化为a2-8a+16=0，即(a-4)2=0，所以a=4. 由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2. （1）错误的原因是___________________________________ （2）本题正确的结论为_________________________________ （3）设“”的方法叫做换元法，它能起到化繁为简的目的.请用“换元法”把(x+y)2-14(x+y)+49因式分解. 24．（本题10分）先阅读材料，再回答问题：分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1. 解：将“a-b”看成整体，令a-b=M，则原式=M2-2M+1=(M-1)2,再将a-b=M还原，得到：原式=(a-b-1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：9+6(x+y)+(x+y)2=____________________. （2）分解因式：x2-2xy+y2-1=____________________. （3）若n为正整数，则(n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值为某一个整数的平方，试说明理由． 25．（本题10分）【阅读理解】 “若满足，求的值” 解：设，则， 所以 【解决问题】 （1）若满足，求的值. （2）若满足，求的值. （3）如图，正方形的边长为，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，根据幂的运算法则逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项A运算错误，不符合题意； B、，故选项B运算错误，不符合题意； C、，故选项C运算错误，不符合题意； D、，故选项D运算正确，符合题意． 故选：D． 2．（本题3分）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：，正确； ，正确； ，错误； ，错误； 故选B． 3．（本题3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中有分式，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 4．（本题3分）下列多项式能用公式法进行因式分解的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②④⑤ B．②④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：①，无法运用公式法分解因式； ②，能运用平方差公式进行因式分解，符合题意； ③，无法运用公式法分解因式； ④，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意； ⑤，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意． 综上，能用公式法进行因式分解的是②④⑤， 故选：A． 5．（本题3分）若的结果中的二次项系数和一次项系数相等，则的值为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，由多项式乘以多项式可得，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：， ∵的结果中的二次项系数和一次项系数相等， ∴， 解得：， 故选：D． 6．（本题3分）已知三角形ABC的三边，，满足，则三角形的形状（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：C． 7．（本题3分）将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形，得出图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为． 【详解】解：由图1，阴影部分由四个小正方形构成，由图2知，小正方形边长的2倍为，因而图1阴影面积为， 图2中，整体的面积为，空白部分的面积为，所以阴影部分面积为， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查完全平方公式，掌握组合图形中求特定图形面积的方法是解题的关键． 8．（本题3分）有一数值转换机，原理如图所示，若输入的的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是，，请你写出第2024次输出的结果是（    ） A．6 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律及代数式求值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得： 第1次的输出的结果为：； 第2次的输出的结果为：； 第3次的输出的结果为：； 第4次的输出的结果为：； 第5次的输出的结果为：； 第6次的输出的结果为：； 第7次的输出的结果为：， ， 则该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现， ， 第2024次输出的结果为3． 故选：B． 9．（本题3分）若的积中不含有x的一次项，则a的值为（　　） A．3 B．6 C． D．6或3 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含有x的一次项， ∴， ∴， 故选：B． 10．（本题3分）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（本题3分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 【答案】4 【分析】根据，即可得． 【详解】解：∵ ∴甲纸片1块，再取乙纸片4块，取丙纸片4块，可以拼成一个边长为a+2b的正方形， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式． 13．（本题3分）若与乘积中项的系数为2，常数项为，则这两个多项式乘积的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据题意列出关系式，由项的系数为2，常数项为，求出p与q的值，即可确定出这两个多项式乘积的一次项系数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】根据题意得：， ∵项的系数为2，常数项为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴这两个多项式乘积的一次项系数为26， 故答案为：26． 14．（本题3分）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ，， 解方程组， 得：， ． 故答案为： ． 15．（本题3分）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 【答案】 【分析】根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值． 【详解】解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解、、这三个数每个都加了两次，并且能把凑成完全平方式． 16．（本题3分）已知，，，满足关系式，，则的值为 ． 【答案】74 【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键． 将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可. 【详解】由题意得，①， ②， 得③， 得④， 得， ， ． 故答案为：74． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 18．（本题6分）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单项式的乘法法则处理； （2）根据整式的运算法则处理； （3）根据整式的运算法则，结合乘法公式处理； 【详解】（1）； （2）. （3） . 【点睛】本题考查整式的运算，乘法公式的运用；掌握整式的运算法则是解题的关键． 19．（本题6分）先化简，再求值： (1)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－； (2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2. 【答案】（1）4－2ab，5；（2）－2x－5y，0. 【分析】（1）利用平方差公式、单项式乘以单项式以及结合单项式除以单项式的法则去掉括号，再合并同类项，将已知数据代入即可解答；（2）先利用平方差公式和完全平方公式把中括号内的式子化简，再利用多项式除以单项式的运算法则计算化为最简，最后代入求值即可. 【详解】（1）原式＝， =， =4－2ab， 当ab＝－时， 原式＝5. （2）原式＝ ， =， =－2x－5y， 当x＝－5，y＝2时， 原式＝0. 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式乘除运算法则是解题关键． 20．（本题8分）求值. （1）已知，求的值； （2）已知，求x的值； （3）已知，，，求a，b，c之间的值； 【答案】（1）21;（2）x=1;（3） . 【详解】试题分析：根据同底数幂的法则进行运算即可. 试题解析： （1）. （2），所以2x+1=3，所以x=1.   （3），则 . 21．（本题8分）(1)填空21－20＝2( )；  22－21＝2( ) ；23 －22＝2( ) (2)请用字母表示第n个等式，并验证你的发现． (3)利用(2)中你的发现，求20＋21＋22＋23＋…＋22016＋22017的值． 【答案】（1）0，1，2；（2）证明见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）根据0次幂的意义和乘方的意义进行计算即可； （2）观察各等式得到2的相邻两个非负整数幂的差等于其中较小的2的非负整数幂，即2n-2n-1=2n-1（n为正整数）； （3）由于21-20=20，22-21=21，23-22=22，…22018-22017=22017，然后把等式左边与左边相加，右边与右边相加即可求解． 试题解析：（1）21-20=1=20；22-21=2=21；23-22=4=22， 故答案为0，1，2； （2）观察可得：2n-2n-1=2n-1（n为正整数），证明如下： 2n-2n-1=2×2n-1-2n-1=2n-1×(2-1)=2n-1； （3）∵21-20=20， 22-21=21， 23-22=22， … 22018-22017=22017， ∴22018-20=20+21+22+23+…+22016+22017， ∴20+21+22+23+…+22016+22017的值为22018-1． 22．（本题9分）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． (1)按要求填空： ①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______； ②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积： 方法1：______ 方法2：______ ③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值． (3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______． 【答案】（1）①m﹣n；②（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（2）（m﹣n）2=20；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2 【分析】（1）①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n； ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积；方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积； ③根据以上相同图形的面积相等可得； （2）根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4，利用（1）中结论（m-n）2=（m+n）2-4mn计算可得； （3）根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得． 【详解】（1）①阴影部分的正方形边长是m﹣n． ②方法1：阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积， 即（m﹣n）2， 方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn； ③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn． （2））∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0， ∴m+n﹣6=0，mn﹣4=0， ∴m+n=6，mn=4 ∵由（1）可得（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn ∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=62﹣4×4=20， ∴（m﹣n）2=20； （3）根据大长方形面积等于长乘以宽有：（2m+n）（m+n）， 或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有：2m2+3mn+n2， 故可得：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 故答案为（1）m﹣n；（2）①（m﹣n）2，②（m+n）2﹣4mn，③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（3）（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2． 【点睛】 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识． 23．（本题9分）阅读下面题目的解题过程，并回答问题. 若,求x2+y2的值. 解：设，则原式可化为a2-8a+16=0，即(a-4)2=0，所以a=4. 由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2. （1）错误的原因是___________________________________ （2）本题正确的结论为_________________________________ （3）设“”的方法叫做换元法，它能起到化繁为简的目的.请用“换元法”把(x+y)2-14(x+y)+49因式分解. 【答案】（1）x2+y2是非负数（2）x2+y2=2（3）(x+y-7)² 【分析】（1）由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2，这步发生错误，因为x2+y2必须是非负数；（2）因为x2+y2必须是非负数，可得正确结论为x2+y2=2；（3）利用换元法分解因式即可. 【详解】（1）∵x2≥0，y2≥0，x2+y2≥0， ∴由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2，这步发生错误，错误原因为x2+y2必须是非负数； （2）由（1）可得，本题正确的结论为：x2+y2=2； （3）设x＋y=m， ∴原式=m2-14m+49=(m-7)2， ∴原式=(x+y-7)². 【点睛】换元法是因式分解和解方程时常用方法之一，它能够把一些多项式及方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法的特点，寻找解题技巧． 24．（本题10分）先阅读材料，再回答问题：分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1. 解：将“a-b”看成整体，令a-b=M，则原式=M2-2M+1=(M-1)2,再将a-b=M还原，得到：原式=(a-b-1)2.上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题： （1）分解因式：9+6(x+y)+(x+y)2=____________________. （2）分解因式：x2-2xy+y2-1=____________________. （3）若n为正整数，则(n+1)(n+4)(n2+5n)+4的值为某一个整数的平方，试说明理由． 【答案】（1）(x+y+3)2  （2）（x-y+1）（x-y-1）  （3）详见解析 【分析】（1）根据题意，把x+y看做整体即可因式分解； （2）先将x2-2xy+y2因式分解，再用整体思想，根据平方差公式因式分解； （3）先将(n+1)(n+4)去括号得到（n2+5n+4），再将n2+5n看做整体，化简得完全平方式. 【详解】（1）9+6(x+y)+(x+y)2= (x+y+3)2， 故答案为(x+y+3)2； （2）x2-2xy+y2-1=（x-y）2-1=（x-y+1）（x-y-1）， 故答案为（x-y+1）（x-y-1）； （3）(n+1)(n+4)(n2+5n)+4=（n2+5n+4）(n2+5n)+4 设M=n2+5n，则原式=（M+4）M+4=M2+4M+4=（M+2）2 将M=n2+5n代入还原,可得原式=（n2+5n+2）2； ∵n为正整数， ∴（n2+5n+2）2也是正整数， ∴(n+1)(n+4)(n2+5n)+4是一个整数的平方. 【点睛】本题主要考查整体思想，需要做题时多观察题目的特点.（1）直接利用整体思想即可；（2）需先分组再因式分解，这里用到了完全平方公式和平方差公式；（3）此问显然不能直接因式分解，通常这种情况下，都会尝试先去括号再重新观察式子的特点. 25．（本题10分）【阅读理解】 “若满足，求的值” 解：设，则， 所以 【解决问题】 （1）若满足，求的值. （2）若满足，求的值. （3）如图，正方形的边长为，，长方形的面积是500，四边形和都是正方形，是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）. 【答案】（1）120；（2）2017；（3）2100 【详解】分析：（1）根据举例进行解答即可；     （2）设（2017﹣x）=c，（2015﹣x）=d，则（2017﹣x）2+（2015﹣x）2=c2+d2=4038，c﹣d=（2017﹣x）﹣（2015﹣x）=2，所以2cd=（c2+d2）﹣（c﹣d）2=4038﹣22=4034，可得cd=2017，即可解答；     （3）根据正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，所以DE=（x﹣10），DG=x﹣20，得到（x﹣10）（x﹣20）=500，设（x﹣10）=a，（x﹣20）=b，从而得到ab=500，a﹣b=（x﹣10）﹣（x﹣20）=10，根据举例求出a2+b2，即可求出阴影部分的面积． 详解：（1）设（30﹣x）=m，（x﹣20）=n，则（30﹣x）（x﹣20）=mn=﹣10，m+n=（30﹣x）+（x﹣20）=10，∴（30﹣x）2+（x﹣20）2=m2+n2=（m+n）2﹣2mn=（﹣10）2﹣2×（﹣10）=120；     （2）设（2017﹣x）=c，（2015﹣x）=d，则（2017﹣x）2+（2015﹣x）2=c2+d2=4038，c﹣d=（2017﹣x）﹣（2015﹣x）=2，2cd=（c2+d2）﹣（c﹣d）2=4038﹣22=4034，cd=2017，∴（2017﹣x）（2015﹣x）=cd=2017．     （3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，∴DE=（x﹣10），DG=x﹣20，∴（x﹣10）（x﹣20）=500，设（x﹣10）=a，（x﹣20）=b，∴ab=500，a﹣b=（x﹣10）﹣（x﹣20）=10，∴a2+b2=（a﹣b）2+2ab=102+2×500=1100，∴阴影部分的面积为：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100． 点睛：本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式，进行转化运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$