椭圆及其标准方程讲义-2025届高三数学一轮复习

椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义 在平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫________． 这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________． 集合，，其中是常数，且： ⑴若 ，则集合表示椭圆； ⑵若 ，则集合表示线段； ⑶若 ，则集合为空集． 2．椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在上 焦点在上 图　形 标准方程 焦点 、 、 焦距 的关系 3．点和椭圆的关系 (1)点在椭圆内. (2)点在椭圆上. (3)点在椭圆外. 1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上,则的最大值是（ ） A． B． C． D． 考点一 椭圆的定义 【例1】已知为椭圆上的点，点为圆 上的动点，点为圆上 的动点，则的最大值为（ ） A． 　　B． C． 　 D． 【方法技巧】椭圆定义的应用主要有 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 椭圆上的任意一点到焦点的所有距离中，最大距离为，最小 距离为. 【变式】椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点， 则的取值范围是（ ） A．　 B． C．　　 D． 考点二 求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于； （2）椭圆的长轴长等于短轴长的倍，并且经过点． 【方法技巧】用待定系数法求椭圆方程的步骤 (1)定位：确定焦点的位置，若不能确定，要分类讨论； (2)定量：由条件求、、． 【变式】已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 ． 考点三 椭圆方程的综合运用 【例3】已知椭圆过点和点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 【方法技巧】两种情况的解法策略 （1）若，通常设的中点，利用去解决； （2）若，通常利用去解决． 1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ ） A． 　　 B． 　 C． 　 D． 3．一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有（ ） A．3个　 B．4个 C．6个　 D．8个 5．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为，则______. 6．已知动点在椭圆上，若，，且，则的最小值是_____． 7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得与的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 8．已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义 在平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫_椭圆_______． 这两定点叫做椭圆的__焦点______，两焦点间的距离叫做椭圆的____焦距____． 集合，，其中是常数，且： ⑴若 ，则集合表示椭圆； ⑵若 ，则集合表示线段； ⑶若 ，则集合为空集． 2．椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在上 焦点在上 图　形 标准方程 焦点 、 、 焦距 的关系 3．点和椭圆的关系 (1)点在椭圆内. (2)点在椭圆上. (3)点在椭圆外. 1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】若，则，即椭圆表示焦点在轴的椭圆．反之，也成立． 2．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆定义知，， 相加得，∴周长为， ∵在中，有两边之和是， ∴第三边和长度为． 3．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上,则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵椭圆的长半轴的长， ∴， （当且仅当时取“=”）． 考点一 椭圆的定义 【例1】已知为椭圆上的点，点为圆 上的动点，点为圆上 的动点，则的最大值为（ ） A． 　　B． C． 　 D． 【答案】B 【解析】 【方法技巧】椭圆定义的应用主要有 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 椭圆上的任意一点到焦点的所有距离中，最大距离为，最小 距离为. 【变式】椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点， 则的取值范围是（ ） A．　 B． C．　　 D． 【答案】D 【解析】设，则， ∴， ∵，∴，∴． 考点二 求椭圆的标准方程 【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于； （2）椭圆的长轴长等于短轴长的倍，并且经过点． 【解析】（1）设椭圆的标准方程为（）， ∵，，∴， ∴椭圆的标准方程为． 【方法技巧】用待定系数法求椭圆方程的步骤 (1)定位：确定焦点的位置，若不能确定，要分类讨论； (2)定量：由条件求、、． 【变式】已知中心在坐标原点的椭圆的右焦点为，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的方程为 ． 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得， 依题意，可设椭圆方程为， ∴，解得，∴椭圆方程为． 考点三 椭圆方程的综合运用 【例3】已知椭圆过点和点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）∵椭圆过点和点， ∴，由，得． ∴椭圆的方程为． 由，得． 由，． 设，中点为， 得，． 由，知，∴，即． 化简得，满足．∴．因此直线的方程为． 【方法技巧】两种情况的解法策略 （1）若，通常设的中点，利用去解决； （2）若，通常利用去解决． 1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（A ） A． B． C． D． 【解析】由椭圆，得， ∵焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍， ∴，解得． 2．椭圆的左焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（ A ） A． 　　 B． 　 C． 　 D． 【解析】∵为椭圆的左焦点，∴． ∵线段的中点在轴上，∴可设，∴，解得， ∴． (另解) 3．一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（ A ） A． B． C． D． 【解析】设椭圆的标准方程为． 由点在椭圆上知． 又成等差数列， 则，即，， 又，联立得． 4．已知椭圆上有一点，，是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则这样的点有（ C ） A．3个　 B．4个 C．6个　 D．8个 【解析】当为直角时， 根据椭圆的对称性知，这样的点有2个； 同理当为直角时，这样的点有2个； 当点为椭圆的短轴端点时，最大，且为直角， 此时这样的点有2个．故符合要求的点有6个． 5．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为，则_3_____. 【解析】设， 则，∴ ∴，∴ ． 6．已知动点在椭圆上，若，，且，则的最小值是_____． 【解析】∵，∴. ∴， ∵椭圆右顶点到右焦点的距离最小， 故，∴. 7．已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点到的距离等于焦距. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，是否存在直线，使得与的面积比值为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由已知得，． ， ∴椭圆的方程为． （2）设直线的方程为， 由,得． 设，，则，① ．② ∵等价于，得．③ 由①②③解得， 因此存在直线：即 使得与的面积比值为． 8．已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为． （1）求曲线的方程； （2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程． 其中，，则． ∴曲线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，不满足题意． 设直线的方程为， 由方程组 得． 设，， 则，， ∵，∴． 　　 ∵，， ∴． 　　　∴ ． ∴． 解得，或． 　∴直线的方程是，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$