精品解析：河南省漯河市漯河市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

漯河高中2024-2025学年（上） 高一第一次月考 数学试题 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】由，即，解得， 因为真包含于， 所以使得不等式“”成立的一个必要不充分条件可以是. 故选：C 2. 已知集合，集合，则（ ） A. {或} B. C. {或} D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解. 【详解】解：因为或， 所以或， 故选：A 3. 已知集合，集合且，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合及子集可得答案. 【详解】由题意可得，故子集为， 共有8个. 故选：B. 4. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可. 【详解】的解集为，故为方程的两个根， 且（当且仅当时等号成立）. 故选：A. 5. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得. 【详解】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 【答案】B 【解析】 【分析】 利用韦达定理可求的值. 【详解】因为，，故为方程的两个根， 故. 又 ， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题. 7. 已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次函数的性质可得或时取得函数的最小值，然后由结合条件即得. 【详解】因为二次函数的对称轴为，开口向下， 所以或时取得函数的最小值， 由，可得或， 当时，时，， 当时显然不合题意， 当时显然不合题意， 当时，时，； 所以m等于3. 故选：C. 8. “”是“函数是定义在上的减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以根据函数是定义在上的减函数得出，然后根据是的真子集即可得出结果. 【详解】因为函数是定义在上的减函数， 所以，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数是定义在上的减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判断，可借助集合的方式进行判断，考查分段函数的单调性，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都递减，且要注意分界点处函数值的处理，是中档题. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，若存在定义域之外的元素，则不符合条件；对其他选项可根据特殊函数的单调性得出. 【详解】由“对勾”函数的单调性可知，函数在单调递增，A正确； 由在单调递增，在单调递减，知在单调递增，B正确； 函数在处无定义，因此不可能在单调递增，C错误； 函数的定义域为，因此在上没有定义，故不可能在单调递增，D错误. 故选:AB. 10. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域是，故A错误； 当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确； 当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确； 当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误． 故选：BC． 11. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点P，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，用x表示相应的长度和面积，根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对勾函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：设，则， 因为，所以． 矩形的面积， 因为，所以无最大值．故A错． 对于选项B：根据图形折叠可知与全等， 所以周长为．故B正确． 对于选项C：设，则，有， 即，得， ， 当时，取最大值．故C正确． 对于选项D：因为， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则的解析式为_______. 【答案】 () 【解析】 【分析】令，则，求得，即可求得函数的解析式. 【详解】由题意，令，其中，则， 所以，即函数的解析式为 (). 故答案为： (). 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，其中解答中熟练应用“换元法”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 13. 命题“”的否定是__________________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得结果. 【详解】∵全称命题的否定为特称命题， ∴“”的否定是“或” 故答案为：或. 14. 记表示，中较大的数.若关于的方程的所有实数根的绝对值之和为6，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可将原方程化为，讨论和，可得所有实数根的绝对值之和为6，即，即可求出的值. 【详解】由于，所以原方程化为， 即， 当时，依题意可知，方程有根，设其两根分别为， 则，所以方程有两正根，且， 当时，同理可得，方程有两负根，且， 所以，所以，解得：，检验符合. 故答案为：3. 四、解答题：（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得对一切实数恒成立，分、两种情况讨论，结合不等式对应二次函数性质求参数范围； （2）依题意可得函数的值域包含，分、两种情况讨论，当时，解得即可. 【详解】（1）因为对一切实数恒成立， 即对一切实数恒成立， 当时，，显然不恒成立，故舍去； 当时，要使对一切实数恒成立． 则，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）因为函数的值域为， 所以函数的值域包含， 当时，的值域为，显然符合题意； 当时，则，解得， 综上可得的取值范围为. 16. 已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）若，使成立，求实数的范围． 【答案】（1） 在区间上单调递减,证明如下： 设， 则 ∵，∴，，， ∴，∴ 所以，在区间上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）运用定义法结合函数单调性即可； （2）将能成立问题转化为最值问题，结合单调性求解最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递减， 所以，当时，取得最小值，即， 又，使成立，∴只需成立， 即，解得． 故实数的范围为． 17. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑补集思想，先求出命题均为假命题时的取值范围，再求出其补集即可； （2）先得，然后该不等式左边为关于的一次函数，所以只要把和代入上式不等式可求得结果. 【小问1详解】 考虑补集思想，命题中至少有一个真命题的反面为：命题均为假命题， ，则恒成立， 故， ，则有解， ，当且仅当时取等号， 故， 故，再取补集：的取值范围为 【小问2详解】 先研究，不等式对于有解， 故：，当且仅当时，取得最小值1， 再研究，将视为主元，则该不等式左边为关于的一次函数，故只须在的值均满足条件即可， 则，得，解得或 故的取值范围为 18. 已知，函数定义域为. （1）求的值（用含a的式子表示）； （2）函数在单调递增，求a的取值范围； （3）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接代入求解函数值； （2）利用单调性的定义，再利用分离参数法即可求解； （3）利用函数定义域及单调性化简不等式，转化为含参的不等式，分类讨论求解可得. 【小问1详解】 由函数可得，； 【小问2详解】 任意，且， 则 因为函数在单调递增，所以. 因为，所以，， 所以， 即时，恒成立. 因为，所以， 所以，且当时，. 所以要使恒成立，则. 即实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 所以不等式可化为. 由函数定义域为，则； 故当时，无意义，故不等式的解集为； 当时，由（2）知，在单调递增， 所以不等式， 由，则，， 则不等式， 故不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 19. 若函数同时满足： ①函数在整个定义域是增函数或减函数； ②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”. （1）判断是不是上的“闭函数”?若是，求出区间；若不是，说明理由； （2）若是“闭函数”，求实数的取值范围： （3）若在上的最小值是“闭函数”，求a，b满足的条件. 【答案】（1） 不是，理由如下： 由函数为上的单调递增函数， 若是“闭函数”，则存在，使得在上的值域为， 则，则关于的方程至少有两个不等的实数根， 因为，可得方程无实根，所以函数不是“闭函数”. （2） （3）且. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为关于的方程至少有两个不等的实数根，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，转化为在有两个不等的实根，令，得到有两个不等的实根，设，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. （3）根据二次函数的性质，求得，得到的单调性，分类讨论，结合“闭函数”的定义，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为函数为上的单调递增函数， 若函数是上的“闭函数”， 则存在，使得在上的值域为， 则，所以方程在有两个不等的实数根， 令，则，即方程为，即， 设，其中， 则函数在上有两个零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：因为， 当时，函数在上单调递增，则； 当时，可得， 综上可得，， 可得函数在为单调递减函数，且在上也是单调递减函数， 当时，则，两式作差得， 因为，所以，这与，则矛盾，舍去； 当时，则，消去得，解得， 这与矛盾，舍去； 当时，则，可得， 此时满足的条件为且. 综上可得， 是“闭函数”， 此时满足的条件为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河高中2024-2025学年（上） 高一第一次月考 数学试题 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. {或} B. C. {或} D. 3. 已知集合，集合且，则集合的子集个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（ ） A. 2 B. －20 C. 2或－20 D. 2或20 7. 已知二次函数，当时，若该函数的最大值为m，最小值为，则m等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. “”是“函数是定义在上的减函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 11. 设矩形的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点P，如图，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形的面积有最大值 B. 的周长为定值 C. 的面积有最大值 D. 线段有最小值 三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，则的解析式为_______. 13. 命题“”的否定是__________________________． 14. 记表示，中较大的数.若关于的方程的所有实数根的绝对值之和为6，则的值为______. 四、解答题：（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）若，使成立，求实数的范围． 17. 若命题：存在，命题：二次函数在的图像恒在轴上方 （1）若命题中至少有一个真命题，求的取值范围？ （2）对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围？ 18. 已知，函数定义域为. （1）求的值（用含a的式子表示）； （2）函数在单调递增，求a的取值范围； （3）当时，解关于x的不等式． 19. 若函数同时满足： ①函数在整个定义域是增函数或减函数； ②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”. （1）判断是不是上的“闭函数”?若是，求出区间；若不是，说明理由； （2）若是“闭函数”，求实数的取值范围： （3）若在上的最小值是“闭函数”，求a，b满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $