1.3 线段的垂直平分线(1)课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.3 线段的垂直平分线(1) 1 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力. 学习目标 2 如图，A，B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? A B 情境引入 已知: 如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC = BC, P是MN上任意一点. 求证: PA = PB. A C B P M N 我们曾经利用折纸的方法得到以下结论，你能证明这一结论吗? 探一探 线段的垂直平分线的性质 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA = ∠PCB = 90°. ∵AC = BC, PC = PC， ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴PA = PB(全等三角形的对应边相等). 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 这是当点P不在线段AB上时. 当点P与点C重合 时，结论也成立. 定理 几何语言 ∵MN垂直平分AB,点P在NM上， ∴PA = PB. 这个结论经常用来证明两条线段相等. 你能写出“ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗? 它是真命题吗? 如果是, 请你证明它. 逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 想一想 C 已知: 如图, PA = PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. A B P 证明：过点P作PC⊥AB，垂足为C. ∵PA = PB ，PC⊥AB， ∴AC = BC (三线合一). ∴PC垂直平分AB, 即点P在AB的垂直平分线上. 定理：到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 几何语言 ∵PA = PB， ∴点P在线段AB的垂直平分上. 还有其他证明方法吗？ 这个结论通常用来确定点的位置. 例题学习 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O是△ABC内一点，且OB = OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC． 例1 证明：∵ AB = AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线 段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线 (两点确定一条直线). 还有其他证明方法吗？ 例题学习 已知：如图，在△ABC中，AB = AC，O是△ABC内一点，且OB = OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC． 例1 证明：在△ABO和△ACO中， ∵ AB = AC，OB = OC ,AO = AO . ∴ △ABO≌△ACO (SSS). ∴ ∠BAO = ∠CAO . ∵ AB = AC . ∴ AD ⊥ BC ,BD = CD . 即直线AO是线段BC的垂直平分线. D 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证：∠ECF=∠EDF. 随堂练习 证明：∵AB是线段CD的垂直平分线，E，F在AB上， ∴EC = ED , FC = FD . 在△ECF和△EDF中， ∵EC = ED , FC = FD ，EF = EF , ∴△ECF≌△EDF(SSS). ∴∠ECF = ∠EDF. 还有其他证明方法吗？ 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证：∠ECF =∠EDF. 随堂练习 证明:∵AB是线段CD的垂直平分线，E，F在AB上， ∴EC = ED , FC = FD (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等). ∴∠ECD = ∠EDC ,∠FCD = ∠FDC (等边对等角). ∴∠ECD ＋∠FCD = ∠EDC＋∠FDC ， 即 ∠ECF = ∠EDF. 习题1.7 1.如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，AB的垂直平分线交AB 于点E，交BC于点F，连接AF，求∠AFC的度数. 解：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B = ∠C = = 30°. ∵ EF垂直平分AB, ∴ FB = FA(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)， ∴ ∠BAF = ∠B = 30° (等边对等角). ∵ ∠AFC是△ABF的外角， ∴ ∠AFC = ∠B ＋∠BAF = 30°＋30°= 60°. 习题1.7 2.在以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么 共同特征？ A B C C1 C2 C3 C4 解：以线段AB为底边的所有等腰三角形中,它们 另一个顶点都在线段AB的垂直平分线上. 习题1.7 3.如图，在△ABC中，已知AC = 27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于 点E，△BCE的周长等于50，求BC的长. 解:∵ DE垂直平分AB, ∴ EA = EB (线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等). ∵ △BCE的周长等于50， ∴ BE ＋ EC ＋ BC = 50, ∴ AE ＋ EC ＋ BC = 50. 即 AC ＋ BC = 50. ∵ AC = 27， ∴ BC = 50 －27 = 23. 如图，A，B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 解决问题 A B 解：连接AB, 作线段AB的垂直平分线,交河岸于点P. 则码头应建在点P处. P 课堂小结 线段的垂直平分线 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 通常用来判定两条线段相等. 2.判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 通常用来判定点的位置. 1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点, 如果EC=7cm,那么ED = cm；如果∠ECD =60 °, 那么∠BED = ° . E D A B C 7 30 2.如图，已知△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于 . 5 随堂检测 随堂检测 3.如图,在△ABC中，AB = AC，∠A = 30°,AB的垂直平分线 l 交AC于点D，则∠CBD的度数为 . 45° 4.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，如果AC = BD，那么下列结论：①AD = BC；②∠ABC = ∠BAD；③∠DAC = ∠CBD；④点O在线段AB的垂直平分线上．其中正确的是 . ①②③④ 5.在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐 角为50°，求∠B的度数. 随堂检测 解:①当△ABC为锐角三角形，如图①所示， ∵MN垂直平分AB,∠AED = 50°， ∴∠A = 40°. ∵AB = AC， ∴∠B =∠C = 70°. ②当△ABC是钝角三角形，如图②所示， ∵MN垂直平分AB,∠AED = 50°， ∴∠BAC =∠AED＋∠ADE= 50°＋90°=140°， ∴∠B = ∠C = 20°. 综上∠B的度数为70°或20°. 作 业 教材34页第7、11题 再 见 高效上好每节课·快乐上好每天学 $$