专题01 空间向量与立体几何（考点清单，15个考点清单+15类题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期人教B版

专题01 空间向量与立体几何（15个考点清单+15类题型解读） 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 知识点10：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点11：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点12：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点13：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点14：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点15：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型一：空间向量线性运算 11 题型二：向量共面与四点共面 13 题型三：用基底表示向量 14 题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 15 题型五：空间直角坐标系 16 题型六：空间向量的平行、垂直运算 17 题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算 18 题型八：空间向量的投影向量 19 题型九：异面直线所成角 20 题型十：线面角 21 题型十一：二面角、平面与平面所成角 23 题型十二：点到线的距离 25 题型十三：点到面的距离 26 题型十四：折叠问题 27 题型十五：探索性问题 30 【题型一：空间向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型二：向量共面与四点共面】 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 2．（24-25高二上·重庆·期中）在空间中，若向量，，共面，则（   ） A． B． C． D．6 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型三：用基底表示向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东枣庄·期中）若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D．-2 5．（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【题型五：空间直角坐标系】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南·期中）在空间直角坐标系中，已知点是点在平面内的射影，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二上·福建厦门·期中）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在中，已知，，，则边上的中线长为（    ） A． B．6 C． D．7 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是（    ） A．4 B． C．6 D． 【题型六：空间向量的平行、垂直运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知向量，，若，则m等于（   ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 6．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型八：空间向量的投影向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，在方向上的投影为，则 ． 5．（23-24高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【题型九：异面直线所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【题型十：线面角】 一、解答题 1．（24-25高二上·重庆·期中）如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点. (1)证明：平面ACE； (2)求与平面ACE所成角的余弦值. 2．（24-25高二上·四川甘孜·期中）在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 3．（24-25高二上·宁夏·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型十一：二面角、平面与平面所成角】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 4．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，已知四棱锥，，，，点，分别是，的中点，面. (1)证明：直线面； (2)若二面角的正弦值为，求. 【题型十二：点到线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型十三：点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【题型十四：折叠问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在中，为的中点，，，把沿折起，使到达点的位置，得到三棱锥，且在平面内的射影为，直线与平面所成角的正弦值为，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 3．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高二上·重庆·期中）如图所示，等腰梯形中，，，，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）. (1)证明：平面； (2)若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由. 【题型十五：探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 4．（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点.为与的交点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何（15个考点清单+15类题型解读） 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 知识点10：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 知识点11：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 知识点12：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 知识点13：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 知识点14：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 知识点15：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 题型一：空间向量线性运算 11 题型二：向量共面与四点共面 14 题型三：用基底表示向量 17 题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角 20 题型五：空间直角坐标系 25 题型六：空间向量的平行、垂直运算 27 题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算 29 题型八：空间向量的投影向量 34 题型九：异面直线所成角 36 题型十：线面角 41 题型十一：二面角、平面与平面所成角 48 题型十二：点到线的距离 57 题型十三：点到面的距离 61 题型十四：折叠问题 66 题型十五：探索性问题 77 【题型一：空间向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算即可得到答案. 【详解】 故选：A. 3．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 【题型二：向量共面与四点共面】 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·开学考试）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】B 【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B 2．（24-25高二上·重庆·期中）在空间中，若向量，，共面，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面则存在唯一的使得，列出等式计算可得结果. 【详解】若向量，，共面，则 ， 即，解得：. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 4．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理判断． 【详解】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面． D选项，，共面． 故选：C． 5．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【详解】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故选：A 6．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 【题型三：用基底表示向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】判断三个向量是否共面即可得． 【详解】选项AD中，三个向量一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面， 故选：B． 2．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故答案为：A. 3．（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图，在三棱锥中，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用向量的线性运算可求得结果. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·山东枣庄·期中）若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】分析可知存在，使得，结合空间向量基本运算求解. 【详解】因为是空间的一个基底，可知均不为零向量， 若不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 可得，解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若是空间不共面的三个向量，则可以与向量和向量构成空间一个基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量的基本定理可判断出、、共面，、、共面，、、共面，然后利用反证法与共面向量的基本定理可证得、、不共面，即可得出结论. 【详解】因为，， 故、、共面，、、共面，故AB错误； 因为，即、、共面，故D错误； 假设、、共面，则存在实数、，使得， 所以，，则、、共面，与题设条件矛盾， 故假设不成立，即、、可构成空间向量的一组基底，故C正确. 故选：C 【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点， 则，， 所以. 故选：A.    2．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以，，为基底，根据空间向量的加减运算，表示出，即得答案. 【详解】由题意知在空间四边形中，，，，且，，    则 ， 故选：D 3．（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在棱长均为1的三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可． 【详解】如图，设，，，棱长均为1 则，，， ，， ， ， ， ，， 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A．    5．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 6．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 【题型五：空间直角坐标系】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间坐标系的定义得对称点的坐标，再求得向量坐标． 【详解】由点与点关于平面对称，可得，所以. 故选：A． 2．（24-25高二上·海南·期中）在空间直角坐标系中，已知点是点在平面内的射影，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求得摄影点坐标为，即可得. 【详解】易知点在平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：C 3．（24-25高二上·福建厦门·期中）一束光线自点出发，被平面反射到达点被吸收，那么光线所经过的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于平面的对称点，的长即是光线所经过的距离. 【详解】由题意得，点关于平面的对称点为， 则. 故选：B. 4．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在中，已知，，，则边上的中线长为（    ） A． B．6 C． D．7 【答案】B 【分析】需要先求出边的中点坐标，然后根据空间两点间距离公式来计算中线长. 【详解】已知，，根据中点坐标公式， 中点的坐标为. 已知，，根据空间两点间距离公式，. 故选：B. 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】由题意求出坐标，作出折叠后的图形，利用空间向量表示各段模长和二面角的平面角，利用空间向量的线性运算和数量积的运算律即可求得两点间距离. 【详解】 因是直线上的两点，故有， 如图是折叠后的图形，作轴于点，作轴于点， 依题意，与所成的角为，则 ， 由两边取平方，可得 ， 故折叠后两点间的距离是. 故选：D. 【题型六：空间向量的平行、垂直运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知向量，，若，则m等于（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据的条件，可得两个向量的坐标乘积之和为零，代入公式即可求解. 【详解】由，，， 得. 解得. 故选：B 2．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【分析】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 4．（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得. 【详解】根据题意：，， 与共线，所以， 可得，． 故选：B 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 6．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）向量，，且，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计算，即可求得答案. 【详解】由向量，， 可得， 结合，，即， 得，结合，解得，则. 故选：A 【题型七：空间向量的数量积、模长、夹角运算】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】由已知可得，且. 又，故，即， 故，，又，故. 故选：B 3．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解. 【详解】 故选：C 4．（23-24高一下·重庆·期末）平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 5．（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 6．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 7．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可. 【详解】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 8．（24-25高二上·广东·期中）棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 【题型八：空间向量的投影向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，再由投影向量的计算式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故选：D. 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又为一组单位正交基底， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，在方向上的投影为，则 ． 【答案】/ 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 5．（23-24高二上·北京通州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，.则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 . 【答案】 /0.5 【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 在的投影向量为. 故答案为：；. 【题型九：异面直线所成角】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东潍坊·期中）如图，在斜三棱柱中，底面ABC为正三角形，为AC的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合夹角公式即可求解． 【详解】解：，， ， 又，，， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的， 如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为， 所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：B 3．（24-25高二上·四川雅安·期中）如图，平行六面体的所有棱长均相等，且，则异面直线AC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底表示，根据向量夹角公式求得正确答案. 【详解】设棱长为， 以为基底，则， ， ， 所以异面直线AC与所成角的余弦值为：. 故选：A 4．（24-25高二上·湖南·期中）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角公式即可求解． 【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系， 因为，，则，，，， 可得 , 则， 则直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，此时异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，建立空间直角坐标系， 求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 【题型十：线面角】 一、解答题 1．（24-25高二上·重庆·期中）如图，正方体中，E、F、G分别为，，的中点. (1)证明：平面ACE； (2)求与平面ACE所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接BD和，设， 连接EO，则O为BD中点， 在中，因为F，G分别为和的中点， 所以，又因为在中，因为E为的中点， 所以，所以 又平面ACE，平面ACE， 所以平面ACE． （2）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图： 设正方体的棱长为2， 则，，，， 所以，，， 设为平面ACE的一个法向量， 则，所以，取 设直线与平面ACE所成角为， 所以直线与平面ACE所成角的正弦值为： ． 所以与平面ACE所成角的余弦值为. 2．（24-25高二上·四川甘孜·期中）在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图． (1)求证：； (2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面，平面平面，平面， ，所以平面. 又平面，所以． （2）由（1）知，平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，、、、、， 则，，， 设平面的法向量． 则．                                        取，则， 所以为平面的一个法向量． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 3．（24-25高二上·宁夏·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接BD交AC与O，连接，构造三角形中位线即可求得；（2）根据面面垂直的性质定理可以证得线面垂直，进而得到线线垂直，再结合正三角形三线合一可以求得；（3）建立空间直角坐标系即可求得. 【详解】（1）连接BD交AC与O，连接，如图所示： 因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面， 平面底面， ，所以平面，所以， 因为侧面是正三角形，M是的中点，所以， 因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （3）过点P作PF垂直于AD，因为侧面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在点建立空间直角坐标系，取的中点E，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设底面正方形的边长为2， 则，，， 由第二问可知，即为平面的法向量，，， ，直线与平面所成角的大小为. 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于4的正三角形，底面为菱形，为的中点，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点到平面的距离； (2)已知点为直线上的动点，若直线与面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）如图，由题意，根据线面垂直的判定定理可得，平面，又线面垂直的性质可得，进而，利用面面垂直的判定定理与性质可得平面，求出即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求解线面角，建立关于t的方程，解之即可求解. 【详解】（1）连接，如图， 因为是边长为2的正三角形，所以， 而平面，则平面， 又平面，有， 故是二面角的平面角，得， 因平面，于是得平面平面，过作的延长线于， 平面平面，平面，故平面， 而，则， 所以点到平面的距离是3． （2）以点为坐标原点，以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的一个法向量为，则 ，令， 设与面的所成角为，则， 解得，则，线段的长度为． 5．（24-25高二上·河北邢台·期中）如图，在矩形中，，取中点，将和分别沿直线，折叠，使，两点重合于点得到三棱锥． (1)当时，求证：； (2)若二面角的平面角为，是否存在上一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，位于中点 【分析】（1）根据题意可得，，可证平面，即可得； （2）可证平面，建系标点，设，利用空间向量结合线面夹角运算求解. 【详解】（1）由题可知，，，， 又因为，所以． 所以．即， 且，平面，可得平面， 由平面，所以． （2）存在，理由如下： 因为，，，平面， 所以平面，二面角的平面角为， 如图所示，以为原点，垂直于所在的直线为轴，、方向为和轴． 则，，，， 可得，， 设， 则 平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角， 可得，解得， 故位于中点时，满足条件. 【题型十一：二面角、平面与平面所成角】 一、解答题 1．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为圆的直径得，由平面得，由线面垂直的判定定理得平面，由，得平面，进而可得结论； （2）以A为坐标原点，构建空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为，分别为棱，的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， 中点，即为，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，则，，， 又平面的法向量可表示为， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）如图，在四棱锥中，，  ，，平面平面． (1)求证：平面； (2)点Q在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）若分别为中点，连接，易得、、、，再应用面面垂直的性质得面，由线面垂直的性质证、，最后综合线面垂直的性质及判断定理证结论； （2）构建合适空间直角坐标系，首先根据线面角的向量求法列方程求Q位置，再应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）若分别为中点，连接， 由，，则为直角梯形，且为中位线， 所以，且， 由，则，又，可得， 面面，面，面面， 则面，面，故，则， 由面，则，又，均在面内， 所以面，面，可得， 所以，故，即， 由，则，而均在面内， 所以平面. （2）由（1）可构建如上图所示的空间直角坐标系， 所以， 令且，则， 则，，， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 由题意， 整理得，故，则， 若是面的一个法向量，则， 令，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. 3．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 4．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出结论； （2）证明出AB，AD，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的空间向量公式进行求解即可. （3）设点，其中，求出两平面的法向量，列出方程，求出，得到答案. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，已知四棱锥，，，，点，分别是，的中点，面. (1)证明：直线面； (2)若二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行，由线面平行得到面面平行， 再由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角系，利用向量法求出二面角即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 则，面，面， 面，同理面， 面，故面面， 而面，直线面. （2）因为面，面， 所以， 又，面， 所以面， 所以以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，， 设面的一个法向量为， 由，得，令，则， 设面的一个法向量为， 由，而，即， 于是，令，则， 设二面角的平面角为， 则，所以， 则，① 又在直角三角形中，，即，② 联立①②可得，，， 所以. 【题型十二：点到线的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】解：取的中点， 则， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意得， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，分别为，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的向量法，即可建立空间直角坐标系求解. 【详解】取底面的中心为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ，, 则， 所以，， 故点到直线的距离为, 故选：A 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，则，   ，， 故在的投影为， 点到线的距离为. 故选：D. 5．（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 【题型十三：点到面的距离】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，则直线EF到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，将直线到面的距离转化为空间点到平面距离，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由于，则， 又平面，故平面， 则直线EF到平面的距离即为点E到平面的距离， 又, 设点E到平面的距离为d，即得, 即直线EF到平面的距离为， 故选：B 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，在直三棱柱中，，，，且，，，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出点A坐标以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则可取， 则点到平面的距离为． 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 4．（24-25高二上·安徽·期中）在平行六面体中，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的一个法向量，运用向量法求点到平面的距离. 【详解】以点为坐标原点，方向为轴非负方向，方向为轴非负方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 由，得， 由，得， ，由，可得，解得， ， 取平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 . 故选：C. 5．（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则=（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到PA，PB，PC两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体求解. 【详解】解：在正三棱锥中，，又，，所以，所以， 同理可得，，即PA，PB，PC两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面ABC的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点O到平面ABC的距离， 所以． 故选：D． 【题型十四：折叠问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·安徽宿州·期中）如图甲，在边长为4的等边中，是边上的高，，分别是和边的中点，现将沿翻折使得，如图乙. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线的性质及线面平行的判定证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）如图，在中，E，F分别是和边的中点，， 平面平面平面DEF； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面DEF的法向量为，则，即， 令，则. 点到平面DEF的距离为. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在中，为的中点，，，把沿折起，使到达点的位置，得到三棱锥，且在平面内的射影为，直线与平面所成角的正弦值为，如图2. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面角的正弦值求得，的长，根据勾股定理的逆定理得到，进而得到平面，利用线面垂直的性质得到； （2）建立空间直角坐标系，并求相关点、向量的坐标，分别求平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由在平面内的射影为，得平面，故为直线与平面所成的角， 故，又，，， 连接，则， 又，，， 又平面，平面，， 又，，平面， 平面， 又平面，. （2）易知，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 故，， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，可得， 由（1）可得为平面的一个法向量. ， 易知二面角为锐角， 二面角的大小为. 3．（24-25高二上·湖南·期中）如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.    (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面，即可得结果； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）过作，垂足为， 在等腰梯形中，，，，    可知，所以， 故， 可得， 则，即， 又因为，则， 且，平面，平面，可得平面， 由平面，所以. （2）因为平面，平面，则平面平面， 过点作平面，则平面， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 则，，， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 4．（24-25高二上·云南玉溪·期中）在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）先证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的大小； （3）设，根据空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. （2）由（1）可知，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 翻折前，在中，，则，则， 则，则，， 翻折后，因为平面，平面，则， 所以，，，则， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 不妨令，则，，则． 设直线与平面所成角的大小为， 则有，则， 直线与平面所成角的大小为. （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为． 在空间直角坐标系中，，，， 设， 则， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为． 则满足， 化简得，解得或，即或， 则或. 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为． 此时的长度为或． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或．理由见解析． 【分析】（1）证明平面，由平行得证平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面，然后以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论． 【详解】（1）由题意，，平面， 所以平面， 又因为图1中，分别是中点，所以， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2）由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面，而平面，所以， ，平面，所以平面， 以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 6．（24-25高二上·重庆·期中）如图所示，等腰梯形中，，，，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）. (1)证明：平面； (2)若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得结果，先证明线线垂直，再证明线面垂直； （2）先建立空间直角坐标系，根据线面夹角的正弦值得到点到平面的距离即三棱锥的高，即可求得体积. 【详解】（1）在原图中，连接，由于，， 所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形， 所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 在翻折过程中，，保持不变， 即，保持不变， 由于，，平面， 所以平面； （2）由上述分析可知，在原图中，，所以， 所以， 折叠后，若，则， 所以， 由于，，，平面， 所以平面， 由于，平面，所以，， 所以，，两两相互垂直， 由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，，，， 设，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ，，，， 所以，即是的中点， 由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为， 所以. 【题型十五：探索性问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点. (1)求点到平面的距离. (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点与点重合 【分析】（1）使用空间向量法求解点到平面的距离即可； （2）设在线段上存在一点，使平面，，再根据线面垂直，从而线线垂直，使用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，过作的平行线为轴，则轴两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的法向量为. 点到平面的距离为. （2）假设在线段上存在一点，使平面. 设，则， ，，. 平面，平面， ，， ，解得， 在线段上存在一点，使平面，此时点与点重合. 2．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点. (1)判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)相交但不垂直，证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可； （3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可. 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，即， 则， 连接与交于N点，即直线与平面相交于N点， 则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值； （2）由上知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）设存在满足题意，不妨设， 则， 易知，设平面的一个法向量为， 则，取，即， 而， 所以点到平面的距离是，所以不存在. 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为， 由，得 ， 点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值 . ， 解得：或. 4．（24-25高二上·四川泸州·期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论； （2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果； 方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果； （3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论； 方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果. 【详解】（1）连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. （2）方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. （3）方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 5．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点.为与的交点. (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）作出辅助线，得到，所以平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，则，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离向量公式列出方程，求出，得到答案； （3）设，则，由（2）知平面的一个法向量为， 设，，由得到方程，化为在上有解问题， 当时，，不合要求，当时，求出两根，只需，得到答案. 【详解】（1）连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以，， 故四边形为平行四边形，则， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 点到平面的距离为， 解得， 故正四棱柱的高为； （3）设，则， 由（2）知平面的一个法向量为， 设，，， 则， 化简得在上有解， 当时，方程为，解得，不合要求， 当时，， 故方程的根为， 故只需，解得或， 综上，或， 故线段的取值范围为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$