4.5.1 函数的零点与方程的解课时作业-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 作业 【基础训练】 1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数f(x)＝－log2x的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 4．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是(　　) A．－2 B．0 C．1 D．3 5．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点为________. 6．方程lg x＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 7．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)的零点； (2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围． 【能力训练】 8．(多选）已知函数f（x）=（m∈R，e为自然对数的底数），则（　　） A: 函数f（x）至多有2个零点 B: 函数f（x）至少有1个零点 C: 当m＜-3时，对∀x1≠x2，总有＜0成立 D: 当m=0时，方程f[f（x）]=0有3个不同实数根 9．（多选） 若直线y=3a与函数y=|ax-1|（a＞0，且a≠1）的图象有两个公共点，则a可以是（　　） A: 2 B:  C:  D:  10．（多选）设函数f（x）=|ln|x-1||，则（　　） A: f（x）的图象关于直线x=1对称 B: f（x）在（0，1）上单调递减 C: 若a＞b＞1且f（a）=f（b）时，=1 D: 关于x的方程f（x）=t（t≥0）恒有4个不同的实根 11．若函数f(x)＝ax2－x＋2只有一个零点，则实数a的取值集合是________． 12．已知函数f(x)＝x2－bx＋3. (1)若f(0)＝f(4)，则函数f(x)的零点为________； (2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，则b的取值范围为________． 13．已知函数f(x)＝|x2－4|＋x2＋ax，a∈R. (1)若f(x)为偶函数，求实数a的值； (2)当a＝4时，求函数f(x)的零点； (3)若方程f(x)＝0在(0，4)上有两个不同的实数根x1，x2(x1＜x2)，求实数a的取值范围． 【创新训练】 14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)的解析式，并画出f(x)的图象； (2)设g(x)＝f(x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)有①一个零点；②两个零点；③三个零点？ 答案解析 1.答案　B 解析　由题表可知，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，又因为函数f(x)的图象是连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． 2.答案　D 解析　依题意知，当x>0时，作出函数y＝ln x与y＝x2－2x的图象(如图)， 由图可知两个函数的图象有两个交点；当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1的图象与x轴只有一个交点．综上，函数f(x)有3个零点，故选D. 3.答案　C 解析　易知函数f(x)＝－log2x在(0，＋∞)上单调递减，f(1)＝3－log21＝3>0，f(2)＝－log22＝＞0，f(3)＝－log23＝1－log23<0，所以f(2)·f(3)<0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2，3)内．故选C. 4.答案　A 解析　f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1，2)上是连续不断的，逐个选项代入验证．当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝2－1＝1＞0.故f(x)在区间(1，2)上有零点．同理，其他选项不符合，选A. 5.答案　－8和2 解析　当x≤0时，令y＝f(x)－3＝－3＝0，解得x＝－8；当x>0时，y＝f(x)－3＝x＋log2x－3在(0，＋∞)上单调递增，且y＝0，故y＝f(x)－3在(0，＋∞)内有且仅有一个零点x＝2.综上所述，函数y＝f(x)－3的零点为－8和2. 6.答案　3 解析　令f(x)＝lg x＋2x－8，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且在(0，＋∞)上连续，因为f(1)＝－6＜0，f(2)＝lg 2－4＜0，f(3)＝lg 3－2＜0，f(4)＝lg 4＞0，所以f(3)f(4)＜0，函数零点所在的区间是(3，4)，所以k＝3. 7.解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1. 令f(x)＝0，即2·(2x)2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝－(舍去). ∴x＝0，∴函数f(x)的零点为x＝0. (2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝＝＋，令＝t，则g(t)＝t＋t2＝－. ∵t>0，∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，其值域为(0，＋∞)，∴2a>0，即实数a的取值范围是(0，＋∞). 8.答案ABC 9.答案CD 10.答案AC 11.答案　 解析　当a＝0时，f(x)＝－x＋2.令f(x)＝0，解得x＝2，所以函数只有一个零点2，符合题意；当a≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝.综上a＝或a＝0. 12.答案　(1)1和3　(2)(4，＋∞) 解析　(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3.令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零点是1和3. (2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 只需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范围为(4，＋∞). 13.解　(1)由f(－x)＝f(x)得|x2－4|＋x2－ax＝|x2－4|＋x2＋ax，即2ax＝0对任意实数x都成立，∴a＝0. (2)当x∈[－2，2]时，f(x)＝4＋4x，令4＋4x＝0，解得x＝－1；当x＞2或x＜－2时，f(x)＝2x2＋4x－4，令2x2＋4x－4＝0，解得x＝－1±，∴x＝－1－.综上，函数f(x)的零点为－1和－1－. (3)当|x|≤2时，f(x)＝ax＋4，方程ax＋4＝0在(0，4)上最多有一个实数根；当|x|＞2时，f(x)＝2x2＋ax－4，可得方程2x2＋ax－4＝0，若x1，x2均为该方程的两个根，则x1·x2＝－2，不合题意．故x1∈(0，2]，x2∈(2，4).由ax1＋4＝0得a＝－，∴a≤－2；由2x＋ax2－4＝0得a＝－2x2，∴－7＜a＜－2.综上所述，a的取值范围为{a|－7＜a＜－2}． 14.解　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x.设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，所以f(x)＝画出函数f(x)的图象如图所示． (2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，结合(1)中函数的图象可知：①当k＜－1或k＞1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有一个交点．即函数g(x)＝f(x)－k有一个零点；②当k＝－1或k＝1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有两个零点；③当－1＜k＜1时，函数y＝k与y＝f(x)的图象有三个交点，即函数g(x)＝f(x)－k有三个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$