1.1 等腰三角形(4)课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.1 等腰三角形(4) 学 习 目 标 1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用. 2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理， 并能运用定理解决问题. 3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明 的能力. 温故知新 等边三角形有哪些性质？ (1)等边三角形的三边都相等； (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直 平分线； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°； (4)各边上的高、中线、对应的角平分线分别重合，且长度相等． 怎样判定三角形是等边三角形 A B C 一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流. 探一探 三个内角都相等，每个角都是60°. 猜想： 的三角形是等边三角形. 等边三角形 性质 ? 三个角都相等 1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 4 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形. B C A 已知：△ABC中，∠A = ∠B = ∠C. 求证：△ABC为等边三角形. 证明：∵∠A =∠B， ∴ AC = BC. 怎样判定三角形是等边三角形 探一探 ∵∠B = ∠C, ∴ AB = AC. ∴ AB = AC = BC. ∴ △ABC为等边三角形. 定理1 几何语言 ∵∠A = ∠B = ∠C, ∴ AB = BC = AC. 有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形. 猜想 等边三角形是特殊的等腰三角形. ？ 怎样判定三角形是等边三角形 探一探 A B C 【情况一】当顶角为60°时. 求证：有一个角是 60°的 等腰三角形 是等边三角形. B C A 证明：∵ AB = AC, ∴∠B = ∠C. 怎样判定三角形是等边三角形 探一探 分类讨论:“一个角” 是顶角还是底角? 已知：如图 ,在△ABC中，AB=AC,∠A=60° . 求证：△ABC是等边三角形． 60° ∵∠A＋∠B＋∠C =180°,∠A = 60°， ∴ ∠B = ∠C = = = 60°. ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∴ AB = BC = AC. 即△ABC是等边三角形． 【情况二】当底角为60°时. 求证：有一个角是 60°的等腰三角形 是等边三角形. B C A 证明:∵ AB = AC, ∴∠B = ∠C = 60°. 怎样判定三角形是等边三角形 探一探 已知：如图 ,在△ABC中，AB = AC, ∠B = 60° . 求证：△ABC是等边三角形． 60° ∵∠A＋∠B＋∠C =180°, ∴∠A = 180°-∠B -∠C = 180°-60°- 60°= 60°. ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∴ AB = BC = AC. 即△ABC是等边三角形． 总结：涉及到等腰三角形，不论是边还是角，大家要有分类讨论的意识. B C A 60° 60° 60° 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言 ∵ AB = AC. ∠A = 60° ∴△ABC为等边三角形. 怎样判定三角形是等边三角形 探一探 几何语言 ∵ AB = AC. ∠B = 60° ∴△ABC为等边三角形. 或者 怎样判定三角形是等边三角形 说一说 定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【边】 【角】 【边角结合】 B C A 1.已知:如图,△ABC是等边三角形,与BC平行的直线分别交AB和AC于点D,E. 求证：△ADE 是等边三角形. A B C D E 习题1.4 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C = 60°， ∴△ADE是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B = 60°， ∠AED = ∠C = 60°， ∴∠ADE =∠AED =∠A. 【做一做】用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样 的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？ 说说你的理由. 含30°角的直角三角形的性质 探一探 B A D 30° 60° C 60° 30° B A D 30° 60° 60° 30° 能拼出一个等边三角形或一个底角为30°的等腰三角形. 猜想：BD = AB. D 60° 已知:在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°， 求证:BC= AB. A 30° B C 含30°角的直角三角形的性质 探一探 求证：在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半. ∵∠ACB = 90°,∠BAC=30°, ∴∠ACD = 90°,∠B=60°. 证明: 延长BC至D,使CD = BC,连接AD. ∵ AC = AC(公共边), ∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴ AB = AD(全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形). ∴∠ACB =∠ACD. ∴BC = BD = AB. 想一想，还有其他方法吗？ D B C A 证明：在△ACB内部作∠ACD =∠A = 30°,交 AB于点D. 已知:在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°， 求证:BC= AB. 含30°角的直角三角形的性质 探一探 ∴ AD = CD. ∴ DC = DB. ∵∠ACB = 90°， ∴∠DCB = 90°－30°= 60° = ∠B. ∴△BCD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形). ∴BC = BD = CD. ∵CD = AD， ∴BC = BD = AD. ∴BC = AB. 10 定理: 在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半. 含30°角的直角三角形的性质 学一学 5 ？ 例如：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°,BC = 5.则AC = . 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. ∴ BC = AB. 30° A B C 5 AC = = = 5 . 如图，在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠B = 60°,CD是△ABC的高，且BD =1， 求AD的长. 随堂练习 D A B C 60° 1 ∵在△ABC中,∠ACB = 90°,∠B = 60°， ∴∠A = 90°－60°= 30°, ∴BC = AB , ∴AB = 2BC = 2×2 = 4， ∴AD = AB－BD = 4－1 = 3. 解：∵CD是△ABC的高，即CD⊥AB， ∴∠CDB = 90°, ∵∠B = 60°, ∴∠BCD = 90°－60°= 30°. ∴BD = BC， 即BC = 2BD = 2. 30° 30° 证明:在△ABC 中， ∵AB = AC，∠B = 15°， ∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）. 例题学习 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB. 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半. 例2 ∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°＋ 15°= 30°. ∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°. ∴CD = AC ∴CD = AB. 30° 30° 习题1.4 2.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 7.4m， 点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，求BC，DE的长. 解：∵BC⊥AC， ∴∠ACB = 90°. ∵ ∠A = 30° ∴BC = AB = ×7.4 = 3.7m . ∵D是AB的中点， ∴AD = AB = ×7.4 = 3.7m . ∵DE⊥AC， ∴∠DEA = 90°. ∵∠A = 30° ∴DE = AD = ×3.7 = 1.85m . 习题1.4 3.(1)如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线， 得到一个新的△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等 边三角形吗？点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点吗？请证明你的结论. 60° 60° 60° 60° 60° 解：△DEF是等边三角形. 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°. ∵EF∥BC, ∴∠FAC =∠ACB =60°， ∵ED∥AC, ∴∠E = ∠FAC = 60°. 同理∠D = ∠F = 60°. 60° 60° ∴∠E = ∠D = ∠F . ∴△DEF是等边三角形. 60° 60° △ABE、△BCD、△ACF都是等边三角形. 证明:∵∠FAC=∠BAC=60°， ∴∠EAB = 60°. ∴∠EBA=60°=∠EAB=∠E, 所以△ABE是等边三角形. 同理△BCD和△ACF是等边三角形. 点A,B,C分别是EF,ED,FD的中点. 证明:∵△ABC、△ABE、△ACF是等边三角形， ∴AB=AE=AC=AF,即点A为EF中点. 同理点B，C分别是ED，FD的中点. 习题1.4 (2)如果△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么 △ABC是等边三角形吗？请证明你的结论. 60° 60° 60° 证明:∵△DEF是等边三角形, ∴ DE = EF = DF, ∠E = ∠D = ∠F = 60°. 解：△ABC是等边三角形. ∴△ABC是等边三角形. ∴△ABE、△ACF和△BCD都是等边三角形. (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). ∴AB = AE , AC = AF ,BC = BD. ∴AB = BC = AC. ∵点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点， ∴AE=AF= EF, EB=BD= DE, FC=CD= DF. ∴EA = EB = AF = FC = DB = DC. 习题1.4 4.证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角等于30°. D A B C 已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB. 求证：∠A = 30°. 30° 证明：延长BC至点D，使CD = BC, 连接AD. ∵∠ACB = 90°, ∴∠ACD = 90°= ∠ACB. ∵ AC = AC(公共边), ∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴ AB = AD . ∴ ∠BAD = 60°. ∵ BC= AB ,BC= BD， ∴ AB = BD = AD, ∵ AC⊥BD, ∴ ∠BAC = ∠BAD = 30° . 习题1.4 5.如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD=2AB，沿过点D的折痕将A角翻折， 使得点A落在BC上(如图中的点A′)，折痕交AB于点G，那么∠ADG等于 多少度？你能证明你的结论吗？(提示：利用第4题的结论) 30° 30° 解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB = DC ,∠C = 90°，BC∥AD. 由翻折可知， A′D = AD, ∠A′DG =∠ADG. ∵AD = 2AB， ∴A′D = 2CD. 即CD = A′D. ∵∠C = 90°， ∴∠CA′D = 30°. ∵BC∥AD, ∴∠A′DA = ∠CA′D = 30°. ∴∠ADG = ∠A′DA = 15°. 1.等边三角形的判定方法： 定理 ：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 ：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形． 2. 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半． 课堂小结 1.如图，AC = BC = 10 cm，∠B =15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D， 则AD的长为(　　). A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm 随堂检测 C 2.如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD是高，∠A = 30°，AB = 4． 则BD = . A C B D 1 3.如图,在△ABC中,∠B = 60°,D是BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E， 交AC于F，若CD = CF. 求证：△ABC是等边三角形. 证明:∵DE⊥AB, ∴∠B＋∠D = 90°， ∠A＋∠AFE = 90°. ∵CD = CF, ∴∠CFD = ∠D = 30°. ∴∠A = 90°－30°= 60°. ∵∠AFE =∠CFD, ∴∠AFE = 30°. ∴∠ACB =180°－∠A－∠B = 60°. ∴∠A = ∠B = ∠ACB. ∴∠D=90°－60°=30°. ∵∠B = 60° ∴△ABC是等边三角形. 随堂检测 ∵∠A =∠B = 60° 作 业 教材34页第5题 再 见 27 $$