期末复习01 三角形的边角关系解答题专项训练-2024-2025学年人教版数学八年级上册

期末复习01 三角形的边角关系解答题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度之间关系）（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）当P在内部时；当P在四边形内部时，． 【分析】（1）①如图1中，连接．证明即可．②利用①中结论解决问题． （2）直接利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）当P在内部时，如图3中，连接，如图4，当P在四边形内部时，连接，再利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接．    ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，； （2）结论：． 理由：如图2中，    ∵， ∴． （3）当P在内部时，如图3中，连接，    ∵，， ∴， ∴． 如图4，当P在四边形内部时，连接，    同理可得：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 例2．（折叠问题）（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴，∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵，∴， ∵的平分线交于点，∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 例3．（三角形内角和）（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 例4.（8字模型）（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    【答案】(1)见详解 (2)①3，4②③ 【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据角平分线的定义可得，，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； （2）解：①以线段为边的“8字型”有：和，和，和，共3个； 以点为交点的“8字型”有：和，和，和，和，共4个； 故答案为：3，4； ②∵在和中，， 在和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∴； ③、、之间的关系为． 理由如下： 如下图，    ∵和分别平分和， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴、、之间的关系为． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 例5．（坐标系中角度问题）（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，A，两点同时从原点出发，点A以每秒个单位长度沿轴的负方向运动，点以每秒个单位长度沿轴的正方向运动．    (1)若，分别求出1秒后A，两点的坐标； (2)如图①，设的两外角平分线相交于点．点A、在运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由； (3)如图②，若的平分线与的外角平分线的反向延长线相交于点，随着A，两点的运动，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， (3)不变， 【分析】（1）由得，解得，得； （2）由外角及角平分线得，，于是，所以； （3）由（2）知，于是，由外角得，所以． 【详解】（1）解：由得 ，解得 1秒后， ∴， （2）解：如图，， ∵是的平分线 ∴ 同理，得 ∴． ∴．    （3）解：由（2）知 而 ∴． 而，， ∴．    【点睛】本题考查二元一次方程组求解，三角形内角和定理，外角的性质；灵活运用三角形内角和定理，外角定理确定角之间的关系是解题的关键． 【专项训练】 1．（20-21七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点是第四象限内一点，轴于，且是轴负半轴上一点，，．    (1)求点和点的坐标： (2)如图1，点为线段（端点除外）上某一点，过点作垂线交轴于，交直线于，、的平分线相交于，求的度数； (3)如图2，若点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若记，请用的式子表示的大小． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】主要考查了坐标与图形性质，三角形的面积，三角形内角和定理和三角形的外角性质； （）先确定的坐标，再利用的面积求出，即可求出点的坐标； （）过点作轴，平行线的性质及角平分线的定义可得出，，利用三角形的内角和，即可得出的度数； （）过点作轴，平行线的性质及角平分线的定义可得出，，利用三角形外角性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵是轴负半轴上一点， ∴， ∵轴，， ，即， 解得， ∴的坐标为； （2）如图1，过点作轴，    ∵， ∴， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∵， ∵， ∴， ∴， （3）如图2，过点作轴，    ∵，， ∵是 的角平分线， ∴， 又∵，∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【答案】（1）120；（2）；（3）；（4）；（5）；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． 4．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵，∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴， ∵，，∴．故答案为． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 【答案】探究：（1）25；（2）；（3），证明见解析；挑战： 【分析】探究：（1）由四边形内角和定理求出，由角平分线的定义得出，由三角形外角的性质得出，通过等量代换即可求解； （2）同（1）可得，，通过等量代换即可求解； （3）根据，可得，结合角平分线的定义可得，进而证明，； 挑战：画出图形，参照“探究”中的方法，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 和的平分线交于点， ， ， ， 故答案为：25； （2）由（1）得，， ， 故答案为：； （3）若，则，证明如下： ， ， 平分，平分， ， ， ， ； 挑战：如图4，，证明如下： 平分，平分， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、四边形内角和的性质、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件是解题的关键． 6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴； （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 7．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图1，如果，用含的代数式表示； (3)探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系； (4)拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期末）探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析 【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案； （3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案； （4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）． 理由：设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点P关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：200； （4）． 理由：设，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习01 三角形的边角关系解答题专项训练 【例题精讲】 例1．（角度之间关系）（23-24八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    例2．（折叠问题）（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    例3．（三角形内角和）（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 例4.（8字模型）（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)求证：； (2)如图2，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有_______个，以点为交点的“8字型”有________个； ②若，，求的度数； ③根据②的结果直接写出、、之间的关系（不需要证明）．    例5．（坐标系中角度问题）（22-23八年级上·陕西渭南·期末）如图，A，两点同时从原点出发，点A以每秒个单位长度沿轴的负方向运动，点以每秒个单位长度沿轴的正方向运动．    (1)若，分别求出1秒后A，两点的坐标； (2)如图①，设的两外角平分线相交于点．点A、在运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由； (3)如图②，若的平分线与的外角平分线的反向延长线相交于点，随着A，两点的运动，的大小是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由． 【专项训练】 1．（20-21七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，点是第四象限内一点，轴于，且是轴负半轴上一点，，．    (1)求点和点的坐标： (2)如图1，点为线段（端点除外）上某一点，过点作垂线交轴于，交直线于，、的平分线相交于，求的度数； (3)如图2，若点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若记，请用的式子表示的大小． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 4．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知为四边形，点为边延长线上一点． 【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点，则______； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则______；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，若两平分线所在的直线交于点，则与有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论． 6．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 7．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图1，如果，用含的代数式表示； (3)探索：如图2，作外角的平分线交于点，试写出之间的数量关系； (4)拓展：如图3，延长线段交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 8．（23-24八年级上·山东青岛·期末）探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$