点线面位置关系及平行关系单元练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第三单元 空间点、直线、平面之间的位置关系及空间直线、平面的平行 （120分钟 150分） 命 题 视 点 必备知识点 线面垂直 滚动知识点 线面平行 命题情境点 生活实践情境题 探索创新情境题 课程学习情境题 题 题 题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A解析：当时，不一定成立，也有可能等情况； 当时，因为，所以；综上：是的充分不必要条件 2.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， B解析：对于A，若，，，，当平行时，与平面可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故A错误； 对于B，若，则直线与平面内的所有直线都垂直，又，∴与平面内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得，故B正确； 对于C， 若，设，在平面内作直线，则，由线面平行的判定定理可得，而此时在平面内，故C错误； 对于D，若，设过的平面与交于，则根据线面平行的性质定理可得，在平面内，作直线,则，而此时在平面内，故D错误； 3.设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系为. A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 B解析：，如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交. 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° C解析：连接AC，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝ 因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角， 在中，，因为为锐角，所以 5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，,则点P到平面ABCD的距离为 A.1 B.2 C. D. C解析：在四棱锥中，因是的中点，则， 在直角中，，有，在矩形中，，有，又因，在中，，则， 而平面，因此平面，从PO为点P到平面ABCD的距离，即. 6.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为,则四棱锥的体积为 A.96 B.42 C.28 D.20 D解析：（1）取的中点为，连接，过点作底面的垂直，垂足为，连接，如下所示：因为三角形为边长的等边三角形，故可得，且； 又面面，故，又面，， 故面，又面，故；又面面面，则即为与底面所成二面角的平面角，即，故，则四棱锥. 7.如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． D【详解】取的中点D，连接交于点E，连接DE， 则 且，则为异面直线与所成的角或其补角． 易求，，则， 所以. 8.如图，大小为的二面角的棱上有两个点A，B，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，则 A. B.6 C. D. 解析：根据题意，，由二面角大小为，可得， ，所以. 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，.有选错的得0分. 9.如图所示，已知几何体是正方体，则（    ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为60° D． BCD解析：根据正方体的性质可知，三角形是等边三角形， 所以与所成角为，所以与所成角为，所以A选项错误，C选项正确.根据正方体的性质可知平面平面，由于平面，所以平面，B选项正确.根据， 故，所以D选项正确. 10.如图，已知多面体中，平面，平面，且，，，四点共面，是边长为2的菱形，，． A.EF⊥AC B. C. 平面 D.多面体的体积． ACD解析：如图，连接和交于点，连接，因为，，，四点共面，平面，平面平面，所以，因为底面是边长为2的菱形， ，所以，所以四边形为平行四边形，又因为平面，且平面，所以，所以四边形为矩形，所以， 又因为，，所以，且，所以平面，故,B项错误,A,C项正确；，，， 所以平面，且四边形为直角梯形，所以，又，所以 ．所求多面体的体积为． 11.在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（　　） A．直线与平面所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 C．异面直线AM与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积为定值 BD解析： 对A选项，在正方体中，如图，又平面， 所以，所以平面，所以，同理，所以直线平面，故A正确；对选项B，连接交于点，连接交于点，根据对称性，当点M位于点时，直线与平面所成角最大为，设正方体的边长为2，则，此时，故B正确； 对C，由，异面直线AM与所成角为直线AM与所成角，故当在点处时所成角最大，此时，所成角为，当在点或处时，所成角最小为，故C错误；对D，因为，平面，所以平面，又直线， 所以动点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在三棱锥是，，且，O为的中点，若是边长为1的等边三角形，且平面平面,则AC= 解析：，为中点，，，， 又在中，，且平面平面，平面，即，，，故. 13.如图，已知球是棱长为2的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为_______. 解析：平面截球的截面为的内切圆， 正方体棱长为1，. 内切圆半径.截面面积为：. 14.如图，在正方体中，E是的中点，O是的中点，则异面直线与OF所成角的余弦值等于___． 解析：取的中点，连接，如图所示，由, 则即为异面直线与OC所成的夹角，设正方体的棱长为2，则，，在中，，，，在中，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的一点. (1)求证：D为AC的中点 (2)求证：平面； 解析：（1）证明：,且AB=BC,故D为AC的中点. （2）证明：∵，∴平行四边形为正方形，∴.又∵平面，平面∴，又，平面，平面 ∴平面，又平面，∴. 又在直三棱柱中，，，平面.∴平面. 16.(15分)如图，在三棱柱中，，． (1)记平面与平面的交线为l，求证：平面； (2)求证：． 解析：（1）由棱柱的性质得，因为平面，平面， 所以平面，因为平面，平面与平面的交线为， 所以，因为平面，平面，∴平面. （2）连接，由棱柱的性质和，得四边形为菱形，所以， 因为且，所以，又因为平面，平面， 且，所以平面，又因为平面，所以. 17.（15分）如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）． (1)证明：平面平面． (2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离． 解析：（1）平面与平面垂直．证明如下：因为底面为矩形，所以． 又侧面底面，且平面平面，平面 所以平面．又平面，所以． 又，且，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面. （2）当为的中点时，取的中点，连接． 因为，所以．因为侧面底面，且平面平面，平面，所以底面．因为，，所以，．在中，，，所以． 由（1）知平面，又平面，所以．所以．因为，所以．设点到平面的距离为，则由，得，解得． 所以点到平面的距离为4． 18．（17分）如图，三棱柱中，，A在底面的投影点恰好为其中心O点. (1)证明：； (2)若，，，求三棱柱的高； (3)在（2）的条件下，求三棱柱的表面积． 解析：（1）证明：连接，则为与的交点，∵侧面为菱形，∴． ∵平面，∴．∵，平面 , 平面 ∴平面．∵平面，∴． （2）解：作，垂足为，连接，作，垂足为，如图． ∵，，，平面,平面, ∴平面，∴． ∵，，平面,平面, ∴平面． ∵，∴为等边三角形．∵，∴， ∵，∴，由，且，可得，∵O为的中点，∴到平面的距离为，∴三棱柱的高为. （3）解：易知，，，，,，∴，，，．∴表面积为． 19.（17分）在三棱锥中，平面，点在棱上且是的外心，点是的内心，. (1)求PG; (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正弦值. 解析：（1）∵，为的外心，∴为中点，且，∵， ∴为等边三角形，GA=. (2)∵平面，平面，∴，∵为的内心， ∴，∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴平面⊥平面. （3） 延长交于，连接，∵平面，平面，平面，平面平面，∴，，∴为二面角的平面角，由，在中，，，∴， 在中，，，∴，， ∵，∴, 所以二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 空间点、直线、平面之间的位置关系及空间直线、平面的平行 （120分钟 150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 3.设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系为. A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，，,则点P到平面ABCD的距离为 A.1 B.2 C. D. 6.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为,则四棱锥的体积为 A.96 B.42 C.28 D.20 7.如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8.如图，大小为的二面角的棱上有两个点A，B，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若，，，则 A. B.6 C. D. 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，.有选错的得0分. 9.如图所示，已知几何体是正方体，则（    ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成的角为60° D． 10.如图，已知多面体中，平面，平面，且，，，四点共面，是边长为2的菱形，，． A.EF⊥AC B. C. 平面 D.多面体的体积． 11.在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（　　） A．直线与平面所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 C．异面直线AM与所成角的取值范围是 D．三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在三棱锥是，，且，O为的中点，若是边长为1的等边三角形，且平面平面,则AC= 13.如图，已知球是棱长为2的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为_______. 14.如图，在正方体中，E是的中点，O是的中点，则异面直线与OF所成角的余弦值等于___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）如图所示，在直三棱柱中，，平面，D为AC的一点. (1)求证：D为AC的中点 (2)求证：平面； 16.(15分)如图，在三棱柱中，，． (1)记平面与平面的交线为l，求证：平面； (2)求证：． 17.（15分）如图，在四棱锥中，，，侧面底面，底面为矩形，为上的动点（与，两点不重合）． (1)证明：平面平面． (2)若，，当为的中点时，求点到平面的距离． 18．（17分）如图，三棱柱中，，A在底面的投影点恰好为其中心O点. (1)证明：； (2)若，，，求三棱柱的高； (3)在（2）的条件下，求三棱柱的表面积． 19.（17分）在三棱锥中，平面，点在棱上且是的外心，点是的内心，. (1)求PG; (2)求证：平面平面； (3)求二面角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$