1.1 锐角三角函数（1） 课件2024-2025学年浙教版数学九年级下册

浙教版 九年级下册 第1章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数（1） 新知探究 【引例】如图，有一座形如三角形的山坡，现测得斜坡的坡角∠A，∠C的度数分别为31°，40°，甲上坡行走了1800米，站在山顶的甲想:下坡还要走多长的路呢? A B C 问题一般化: 在△ABC中，已知∠A = α，∠C = β，AB= c，求BC的长. 上坡 下坡 α β c 31° 40° 1800 ？ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 2 新知探究 【探究1】如图（1），在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°. 若AB = 5，求其余边长. 如图（2），在Rt△A′B′C′中，∠C′ = 90°，∠A′ = 30°. 若A′B′ = 10，求其余边长. 图（1） 图（2） C" B" 角为30° 边的比值为定值 P Q 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 新知探究 【探究2】当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？ (3)计算并判断 ,，是否相等? (1)请在任务单上作一个∠PAQ，如图在PA边上分别任取两点B，B’，作BC⊥AQ于点C，B’C’⊥AQ于点C’; (2)量出AB、AC、BC、AB’、AC’、B’C’的长; ∠PAQ=45°或60° 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知探究 A’ B’ C’ A B C ∵∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’， ∴△ABC∽△A’B’C’ ， 【探究3】如图，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那如何证明么如何证明 ,，相等呢? ∠A为定值 边的比值 在Rt△ABC中 证明思路：三角形相似 获得结论： ∴ ，， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知探究 【形成概念】 A B C = sinA= 叫做∠A的正弦值，记做sinA，即 = cosA= 叫做∠A的余弦值，记做cosA，即 = tanA= 叫做∠A的正切值，记做tanA，即 在Rt△ABC中 ∠A为定值 斜边 ∠A的邻边 ∠A的对边 温馨提醒：以正弦为例 sinA（省去角的符号）， 30°的正弦表示为sin30°， ∠BAC的正弦表示为sin∠BAC，∠1的正弦表示为:sin∠1. 锐角∠A的三角函数 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知探究 【例1 】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，（在下面选择其中一个条件），求∠A的正弦、余弦和正切. ①BC=8，AC=6 ③∠A=60° ②AB:AC=5:3 A B C ④tanB= ①BC=8，AC=6 勾股定理 三角函数概念 正弦sinA= 余弦cosA= 正切tanA= 解: 在Rt△ABC中， ∵AB=， ∴sinA=， tanA= . cosA=， 8 6 10 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知探究 【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，（在下面选择其中一个条件），求∠A的正弦、余弦和正切. ②AB:AC=5:3 A B C 勾股定理 三角函数概念 解:设AB=5k，AC=3k， ∴sinA=， tanA= . cosA=， 设比值法 5k 3k 4k 在Rt△ABC中 ∵BC=， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知探究 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，（在下面选择其中一个条件），求∠A的正弦、余弦和正切. A B C 三边比值 三角函数概念 特殊角 ③∠A=60° 60° 2 1 sinA=， tanA= . cosA=， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知探究 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ，（在下面选择其中一个条件），求∠A的正弦、余弦和正切. A B C 勾股定理 三角函数概念 设比值法 ④tanB= 5k 3k 4k 三角函数概念 sinA=， tanA= . cosA=， 解后反思：在直角三角形中，已知什么条件可以求三角函数值? 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 课堂练习 【1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A. 【2】在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求cos∠C和sin∠BAC. 思路2：等角转化 思路1：求AB的长 △BCD∽△BAC =得出AB= sinA== ∠A=∠BCD sinA=sin∠BCD == 解题反思：相等的锐角其三角函数值也相等，因此可以通过等角，转化到条件已知的直角三角形中求解. （ （ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 2.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求cos∠C和sin∠BAC. A B C 3 5 D E 构造Rt△ACD cosC== 构造Rt△ABE 三线合一得CD=3 面积法BC·AD=AC·BE BE= sin∠BAC== 解题反思：求锐角三角函数的问题一般都转化到直角三角形中进行求解. 5 6 4 课堂练习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 课堂练习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 课堂练习 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 课堂总结 正弦sinA= 余弦cosA= 正切tanA= 三角形边角关系 锐角三角函数 30° 45° 60° 角度确定 边比值确定 特殊 一般 直角三角形 n° 实验 观察 验证 猜想 证明 表达 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 【3】如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是__________. 【4】在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝__________. eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(5),5) $$