11.1.与三角形有关的线段讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.1 与三角形有关的线段 知识点1 三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段 顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的三要素 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC用符号表示为 . 知识点2 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的 性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点3 三角形的分类 1.等腰三角形的定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边都叫做 ，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的分类 （1）按边分类 （2）按角分类 知识点4 三角形的三边关系 三角形两边的和 第三边，两边的差 第三边. 判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 知识点5 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画 ， 和 间的线段叫做三角形的高. 知识点6 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边 的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的 .三角形的重心在三角形内部. 知识点7 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 和交点的线段叫做三角形的角平分线.任意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部，这个点叫做三角形的内心. 答案 首尾 △ABC 稳定 腰 顶角 等腰 等边 大于 小于 垂线 顶点 垂足 中点 重心 顶点 重点 注意1 三角形的三条边 （1）是三条线段； （2）不在同一条直线上； （3）首尾顺次相接. 注意2 （1）用字母表示三角形时，三个字母没有先后顺序. （2）用大写字母表示顶点，小写字母表示边，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 图示1 三角形的稳定性 图示2 等腰三角形 注意3 等腰三角形与等边三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形. 图示3 注意4 三角形的三边关系中的“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两边. 拓展1 锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形的三条高交于直角顶点，钝角三角形的三条高交于三角形外部. 注意5 三角形的高是线段，它是有长度的，不是射线. 拓展2 （1）三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形，即. （2）三角形的一条中线把三角形分成如图所示的两个三角形，即△ABD和△CBD，其周长差为AB与BC的差. 注意6 角的平分线与三角形的角平分线不同. 图示4 三角形的内心 28 学科网（北京）股份有限公司 课时1 三角形的边 基础巩固 题型1 三角形的有关概念 1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（ ） A. B. C. D. 1.D 【解析】三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.故选D. 2.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 2.C 【解析】图中有5个三角形.故选C. 3.如图所示，图中有_______个三角形；其中以AB为边的三角形有________________；含∠ACB的三角形有_______ ____；在△BOC中，OC的对角是_______，∠OCB的对边是_______. 3.8 △ABO，△ABC，△ABD △BOC，△ABC，∠OBC OB 题型2 三角形的分类 4.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形.下列四个图中，能正确表示它们之间的关系的是（ ） A. B. C. D. 4.C 【解析】根据各类三角形的概念可知，C选项可以表示它们之间的关系.故选C. 5.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 5.C 【解析】A选项，知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B选项，露出的角是直角，因此是直角三角形；C选项，露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D选项，露出的角是钝角，因此是钝角三角形.故选C. 题型3 三角形的三边关系 6.下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ） A.5cm，6cm，12cm B.3cm，4cm，5cm C.4cm，6cm，10cm D.3cm，4cm，8cm 6.B 【解析】A选项，5+6<12，所以不能围成三角形；B选项，3+4>5，所以能围成三角形；C选项，4+6=10，所以不能围成三角形；D选项，3+4<8；所以不能围成三角形.故选B. 7.下图是一根长度为10m的木条，从两边各截取长度为xm的木条.若得到的三根木条能组成三角形，则x可以取的值为（ ） A.2 B. C.3 D.6 7.C 【解析】根据三角形的三边关系，可得，解得2.5<x<5.故选C. 8.要将3根木棒首尾顺次连接围成一个三角形，其中2根木棒的长分别为5cm和7cm，要选择第3根木棒，若第3根木棒的长取偶数，则有_______种情况可以选取. 8.4 【解析】设第3根木棒的长为xcm，则2<x<12.∵第3根木棒的长取偶数，∴第3根木棒的长可能是4cm，6cm，8cm，10cm，共4种情况.故答案为4. 9.如果a，b，c为一个三角形的三边长，那么点在第_______象限. 9.四 【解析】∵a，b，c为一个三角形的三边长，a+b-c>0，a-b-c<0，∴点在第四象限，故答案为四. 10.如图，在△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：. 10.【证明】∵在△ABD中，AB+AD>BD，在△PDC中，CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BD+PC.∵BD=PB+PD，AD+CD=AC，∴AB+AC>BP+CP. 11.已知a，b，c是△ABC的三边长，且，.若三角形的周长是小于18的偶数. （1）求c的值； （2）判断△ABC的形状. 11.【解】（1）∵△ABC的周长为a+b+c=10+c，且周长小于18，即10+c<18，∴c<8. 又∵三角形的周长是小于18的偶数，即10+c为偶数， ∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6. ∵当c=2时，2+4=6，不能构成三角形，故舍去， ∴c的值为4或6. （2）由（1）得当c=4时，有a=c；当c=6时，有b=c， ∴△ABC为等腰三角形. 易错点 忽略三角形三边关系而致错 12.已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长. 12.【解】①若腰长为4，则等腰三角形的三边长为4，4，10，4+4<10，不符合三角形的三边关系，故腰长不能为4；②若腰长为10，则等腰三角形的三边长为10，10，4，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为24. 综上所述，这个等腰三角形的周长为24. 易错警示 解决本题时应注意分两种情况讨论，而且不能忽略一个重要条件，即“三角形三边关系需满足任意两边之和大于第三边”，对出现的情况应逐一验证，确定取舍. 巩固提升 1.已知三角形的三边长分别为4，a，8，那么下列在数轴上表示该三角形的第三边a的取值范围正确的是（ ） A. B. C. D. 1.A 【解析】∵三角形的三边长分别为4，a，8，∴8-4<a<8+4，即4<a<12，在数轴上表示为A选项. 2.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ） A.都是直角三角形 B.都是钝角三角形 C.都是锐角三角形 D.是一个直角三角形和一个钝角三角形 2.C 【解析】如图（1），沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形. 图（1） 图（2） 图（3） 如图（2），钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形. 如图（3），直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形.因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形.综上所述，将一个三角形剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形.故选C. 3.有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形的周长（ ） A.最小值是11 B.最小值是12 C.最大值是14 D.最大值是15 3.D 【解析】由题意知，3，4，x和3，5，x和4，5，x都能组成三角形，∴2<x<7.∵x为正整数，∴x取3或4或5或6.要使组成的三角形的周长最小，即x=3，三边长为3，3，4，故周长最小值为3+3+4=10；要使组成的三角形的周长最大，即x=6，三边长为4，5，6，故周长最大值为4+5+6=15.故选D. 4.已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简得（ ） A. B. C. D. 4.A 【解析】∵△ABC的三边长分别是a，b，c，∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则a+b-c>0，a-b-c<0，a+b+c>0，∴|a+b-c|-2|a-b-c|+ |a+b+c|=a+b-c+2a-2b-2c+a+b+c=4a-2c.故选A. 5.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有_______对. 5.3 【解析】图中以BC为边的三角形有△ABC，△DBC，△EBC，因为每两个为一对“共边三角形”，所以可以组成3对. 6.如图，用四条线段首尾相接连成一个可拉动的框架，其中，，，，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为_______. 6.32 【解析】已知AB=12，BC=14，CD=18，DA=24.①选12+14，18，24作为三角形的边长，则三边长为26，18，24；26-24<18<26+24，能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为26；②选12，14+18，24作为三角形的边长，则三边长为12，32，24；32-24<12<32+24，能构成三角形，此时两个端点间的最大距离为32；③选12，14，18+24作为三角形的边长，则三边长为12，14，42；12<42-14，不能构成三角形；④选14，18，12+24作为三角形的边长，则三边长为14，18，36；14<36-18，不能构成三角形.故答案为32. 7.若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长. 7.【解】由，解得，∴3<c<5. ∵周长为整数，∴c=4， ∴三角形的周长为4+4+1=9. 8.如图，已知点O为△ABC内任意一点，证明：. 8.【证明】如图，延长BO交AC于点D. 在△ABD中，AB+AD>BD，① 在△ODC中，OD+CD>OC，② ①+②，得AB+AD+OD+CD>BD+OC. ∵BD=OB+OD，AD+CD=AC， ∴AB+AC+OD>OB+OD+OC， ∴AB+AC>OB+OC，③ 同理可证AB+BC>OA+OC，④AC+BC>OA+OB，⑤ ③+④+⑤，得， 即AB+AC+BC>OA+OB+OC. 拓展培优 9.如图，在△ABC中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… （1）完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 （2）若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ （3）若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 9.【解】（1） 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 （2）8个点. （3）. 课时2 三角形的高、中线与角平分线 基础巩固 题型1 三角形的高 1.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B.C. D. 1.A 【解析】选项B、C、D中三角板摆放的位置都不是△ABC的边BC上的高，故选A. 2.三角形三条高的交点在（ ） A.三角形内部 B.三角形外部 C.三角形内部或外部 D.三角形内部、外部或顶点 2.D 【解析】锐角三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形三条高的交点是直角顶点，钝角三角形三条高的交点在三角形外部.故选D. 3.如图，在△ABC中，若AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，则以AD为高的三角形的个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 3.C 【解析】∵在△ABC中，AD⊥BC，点E是BC边上一点，且不与点B，C，D重合，∴AD是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC的高，共6个.故选C. 题型2 三角形的中线 4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 4.B 【解析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义可知；三角形一边上的中线把原三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等. 5.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法错误的是（ ） A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.， D.BD是△ABC的角平分线 5.D 【解析】因为D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则AD=CD，BE=EC，所以BD是△ABC的边AC上的中线，DE是△BCD的边BC上的中线，故选项A、B、C正确，BD不一定平分∠ABC，故选项D错误. 6.如图所示，BD是△ABC的中线，，，求△ABC的周长. 6.【解】∵BD是△ABC的中线， ∴AD=CD=2，∴AC=2AD=4. ∴AB+BC=5， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=5+4=9. 题型3 三角形的角平分线 7.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是（ ） A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△DBC的角平分线 C. D.CE是△ABC的角平分线 7.D 【解析】由∠1=∠2，可知BD是△ABC的角平分线，故A选项正确；由∠3=∠4，可知CE是△BCD的角平分线，故B选项正确，D选项错误；∵∠3+∠4=∠ACB，∠3=∠4，∴，故C选项正确. 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.若∠1=30°，∠2=20°，则∠EAD=________. 8.10° 【解析】∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠EAD+∠2，∴∠EAD=∠1-∠2=30°-20°=10°. 易错点 忽视对等腰三角形的分类讨论而漏解 9.等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分，求这个等腰三角形各边的长. 莉莉的解答过程如下： 假设在△ABC中，AB=AC，BD是中线. ∵中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5cm，如图所示，AB-BC=13.5-11.5=2，∴AB=BC+2，∴2（BC+2）+BC=13.5+11.5，解得BC=7，∴AB=AC=BC+2=9，∴三角形三边的长为9cm，9cm，7cm. 请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由. 9.【解】莉莉的解法不正确.理由如下： 假设在△ABC中，AB=AC，BD是中线. 当AB>BC时，∵AB-BC=13.5-11.5=2，AB=BC+2， ∴. 解得BC=7，∴AB=AC=BC+2=9. 当AB<BC时，BC-AB=13.5-11.5=2， BC=AB+2，∴2AB+AB+2=13.5+11.5. 解得，∴， 综上，这个三角形三边的长分别为9cm，9cm，7cm或，，. 易错警示 这道题是用文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母.因此，可以先根据文字叙述画出图形，标注字母，利用图形减小题目难度.由于腰和底边不相等造成一腰上的中线把三角形的周长分成两个不相等的部分，因此既要考虑到腰比底边长，又要考虑到底边比腰长. 巩固提升 1.如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（ ） ①BG是△ABD的边AD上的中线； ②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线； ③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高. A.0 B.1 C.2 D.3 1.C 【解析】因为G为AD的中点，所以BG是△ABD的边AD上的中线，故①正确；因为∠1=∠2，所以AD是△ABC的角平分线，AG是△ABE的角平分线，故②错误；因为CF⊥AD于点H，所以CH既是△ACD的边AD边上的高，也是△ACH的边AH上的高，故③正确.故选C. 2.如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=（ ） A.30° B.45° C.20° D.60° 2.C 【解析】∠BAC=80°，AE是△ABC的角平分线， ∴.∵AD是△AEC的角平分线， ∴.故选C. 3.在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5，则△ABC的三条高之和为（ ） A.8.4 B.9.4 C.10.4 D.11.4 3.B 【解析】如图，过点B作AC边上的高BD.∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴，即，解得BD=2.4.∴△ABC的三条高之和为3+4+2.4=9.4，故选B. 4.如图，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE=2，AF=3，且△ABC的周长为15，则BC的长为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.A 【解析】∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，且AE=2，AF=3，∴AC=2AE=4，AB=2AF=6.∵△ABC的周长为15，即AB+AC+BC=15，∴BC=15-10=5. 5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为_______. 5.1 【解析】∵点D为BC的中点，根据等底同高的三角形面积相等，∴ .∵E为AD的中点，∴ ，∴ .∵点F为EC的中点，∴ . 6.如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站. （1）当汽车行驶到点D时，刚好有BD=CD，连接AD，AD这条线段是△ABC中BC边上的_______，在△ABC中，这样的线段有_______条，此时_______（填“有”或“没有”）面积相等的三角形； （2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现∠BAE=∠CAE，那么AE这条线段是△ABC中∠BAC的_______，在△ABC中，这样的线段有_______条； （3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现∠AFB=∠AFC=90°，那么AF是△ABC中BC边上的_______，在△ABC中，这样的线段有_______条. 6.（1）中线 3 有 （2）平分线 3 （3）高 3 7.如图，在△ABC中，AB>AC，AD为BC边上的中线. （1）_______（填“>”“<”或“=”）； （2）若△ABD的周长比△ACD的周长多4，且AB+AC=14，求AB，AC的长； （3）△ABC的周长为27，AB=9，BC边上的中线AD=6，△ACD的周长为19，求AC的长. 7.（1）= 【解析】∵△ABD与△ACD等底同高，∵. 【解】（2）∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD. ∵△ABD的周长比△ACD的周长多4， 即， ∴AB-AC=4. 又∵AB+AC=14，∴AB=9，AC=5. （3）由题意，得BC=27-9-AC=18-AC， ∴. ∵，∴AC=8. 拓展培优 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒. （1）当t为何值时，GP把△ABC的周长分成相等的两部分？ （2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？ （3）当t为何值时，△BCP的面积为12cm？ 8.【解】（1）在△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm， ∴△ABC的周长为8+6+10=24（cm）， ∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm.∵运动速度为每秒2cm.∴2t=12，t=6，故当t为6时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分. （2）∵当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm）， ∴2t=13，t=6.5，故当t为6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分. （3）分两种情况： 当点P在AC上时，∵， ∴.∵BC=6cm，∴CP=4cm，∴2t=4，t=2；当点P在AB上时，∵，，∴，∴点P为AB的中点，∴2t=13，t=6.5.当t为2或6.5时，△BCP的面积为. 课时3 三角形的稳定性 基础巩固 题型1 三角形的稳定性 1.下列图形中具有稳定性的是（ ） A.梯形 B.长方形 C.平行四边形 D.等腰三角形 1.D 【解析】因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以只有D符合，故选D. 2.如图所示的图形中具有稳定性的是（ ） A.①②③④ B.①③ C.②④ D.①②③ 2.B 【解析】因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，一个多边形从一个顶点出发引出的对角线将其分成个三角形，此时这个多边形就具有稳定性了，图①③便具有稳定性，故选B. 题型2 三角形稳定性的实际应用 3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里运用的几何原理是（ ） A.三角形的稳定性 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 3.A 【解析】窗户打开后，用窗钩将其固定，是利用了三角形的稳定性，故选A. 4.如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性.这样做的道理是（ ） A.两点之间的所有连线中线段最短 B.三角形具有稳定性 C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 4.B 【解析】人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性.这样做的道理是三角形具有稳定性，故选B. 5.不是利用三角形稳定性的是（ ） A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三脚架 D.学校的栅栏门 5.D 【解析】因为三角形具有稳定性，而学校的栅栏门是可以伸缩的，是利用了四边形的不稳定性，故选D. 6.如图所示，屋顶钢架常常做成三角形的形状，这是利用了___________. 6.三角形的稳定性 【解析】因为屋项钢架需要足够的稳定，长久不变形，所以利用三角形的稳定性将其做成三角形的形状. 7.如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？ 答：__________（填“稳定性”或“不稳定性”）. 7.稳定性 【解析】因为工地作业需要保证绝对的安全，所以塔吊的设计采用三角形结构，保证其在使用过程中不变形，这是利用了三角形的稳定性. 8.如图是一个四腿木椅的侧视图，椅子已经变形，请你将椅子修复加固，并用虚线在图中标明位置. 8.【解】由于四边形具有不稳定性，所以四腿木椅久坐容易变形，可以利用三角形的稳定性在两腿之间的四边形对角线处加固两根木条使其牢固，如图所示： 9.凸六边形钢架ABCDEF由6条钢管连接而成，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接，使之不能活动，方法很多，请列举三个. 9.【解】如图所示，连接对角线将其分成四个三角形即可满足要求（答案不唯一）. $$