期末复习几何填空题专题训练（三角形、全等三角形、轴对称）2024-2025学年人教版数学八年级上册

八年级上期末复习几何选择填空部分（2024版） 一．选择题（共7小题） 1．如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBES△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3． 上述结论中正确的个数是（　　） 1题2题3题 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D＝90°，∠2﹣∠1＝36°，则∠C等于（　　） A．36° B．54° C．60° D．72° 3．如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝7，BN＝5，则MN＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，∠E的度数为（　　） 4题 5题6题 A．45° B．30° C．25° D．40° 5．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 6．如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　） ①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△AGD＝S四边形AGFB． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，点C为直线AB外一动点，AB＝6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为（　　） 7题8题10题 A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共25小题） 8．如图，△ABC中，D，E分别为AB，CB延长线上的点，且∠A＝∠ABC＝70°，∠E＝∠CDE＝70°，则∠ADE的度数是 　 　． 9．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　 　． 10．如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝　 　． 11．如图所示，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于F，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DEF＝　 　． 11题12题13题 12．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影＝　 　cm2． 13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为　 　． 14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8，DE＝5，则△BCD的面积为 　 　． 14题15题16题 15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　 　s． 16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论①∠APB＝135°；②PF＝PA；③∠F＝30°；④S△ACD：S△ABD＝AC：AB；⑤AH+BD＝AB，正确的序号是 　 　． 17．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　°． 17题18题19题 18．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB∥CD，E是CD上一点，BE过AC的中点F，若CD＝10，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 　 　． 20．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　 　． 20题 21题 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，则BC的长是 　 　cm． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝6，∠B＝60°，点P为线段AC上一动点，点E是BC上一定点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，连接EF＝6，则AB的长为 　 　． 23．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△ABC＝1，则为S△DEF＝　 　． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是　 　． 22题23题24题 25．如图，CN平分△ABC的外角∠ACM，过点A作CN的垂线，垂足为点D，∠B＝∠BAD．若AC＝9，BC＝6，则AD的长为 　 　． 25题26题 26．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　 　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　 　． 27．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 　 　． 27题28题29题 28．如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝　 　度． 29．如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为 　 　． 30．如图，在△ABC中，BC＝6，点D是BC的中点，连接AD，点E在AD上，且AEDE，EF⊥BC于点F，且EF，则△ABC的面积为 　 　． 31．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝　 　． 30题 31题32题 32．在△ABC中，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，CE交AD于F，EM平分∠BEC交AD延长线于M，连接BM，CM．若∠DFC+∠ABM＝180°，5BE＝2AE，S△AEF＝5，则S△EMC＝　 　． 三．解答题（共1小题） 33．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 　（用字母表示） （2）AD的取值范围是　 　 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 34．在等边△ABC中，点D为直线BC上一点． （1）如图1，若点D为边BC上一点，连接AD．过点D作DG⊥AC于点G，若BD＝2，CG＝4，求AD的长； （2）如图2，若点D为边BC的中点，以点A为顶点作等边△AEF，连接BE，DE，CF，当∠AEB＝150°且DE∥CF时，用等式表示线段EF与CF之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D为直线BC上一点，将线段AD绕A点逆时针旋转120°至AE位置，连接CE，当CE取得最小值时，请直接写出的值． 35、已知△ABC为等边三角形． （1）如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE． （2）如图2，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F．求证：BF＝AF+DF． （3）如图3，若AB＝3，点P是边AC上一定点且，若点D为射线BC上一动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE，直接写出PE+BE的最小值． 36．在△ABC中，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，连接CD，∠BAD的角平分线AE与DC的延长线交于点E，与BC交于点F． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4，求AE的长； （2）如图2，若∠BAC＝60°，过点B作BG∥DE交AC于点G，交AE于点H，求证：AH＝EF+HG； （3）如图3，若∠BAC＝120°，连接BD，当AE＝BD时，直接写出的值． 37．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，点E是底边BC上不与端点重合的任意一点（CE＜BE），连接AE，以A为顶点、AE为腰，在AE右侧作等腰△AEF，使∠BAC＝∠EAF．过点A作AH⊥BC交BC于点H，交FE的延长线于点D． （1）如图1，连接CF，当BH＝12，CE＝7时，求CF的长度； （2）如图2，连接BF交AH于点M，当∠BAC＝∠EAF＝90°时，求证：EH+2AM＝BH； （3）如图3，连接CF，当∠BAE+∠AFC＝120°时，在线段AC上取点G，使得AG＝CE，连接BG交AE于点K，点P和点Q分别为线段BK和线段EK上的动点，且BP＝EQ．若∠CAE＝α，当BQ+PE取得最小值时，请直接用含α的式子表示出∠PBQ的度数． 八年级上期末复习几何选择填空部分及解答（2024版） 一．选择题（共7小题） 1．如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S四边形ODBES△ABC；③S△ODE＝S△BDE；④△BDE周长的最小值为3． 上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE， 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE， ∴①正确； ∵△BOD≌△COE， ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝S△OBCS△ABC， 故②正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OHOE，HEOHOE， ∴DEOE， ∴S△ODEOEOEOE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE； 故③错误； ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝2+DE＝2OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE， ∴△BDE周长的最小值＝2+1＝3， 故④正确． 故选：C． 2．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在四边形CDMN外点A′的位置，点B落在四边形CDMN内点B′的位置，若∠D＝90°，∠2﹣∠1＝36°，则∠C等于（　　） A．36° B．54° C．60° D．72° 【解答】解：延长NB′交AD于点E，设A′B′交AD于点F，如图， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠C+∠D+∠2+∠B′ED＝360°， ∠A+∠B+∠D+∠C＝360°， ∴∠2+∠B′ED＝∠A+∠B． 由折叠的性质可得：∠A+∠B＝∠A′+∠A′B′N． ∵∠D＝90°， ∴∠C＝270°﹣（∠A+∠B）＝270°﹣（∠2+∠B′ED）． 在△A′FM和△EFB′中， ∵∠A′FM＝∠EFB′， ∴∠1+∠A′＝∠FEB′+∠FB′E， ∵∠FEB′＝180°﹣∠B′ED，∠FB′E＝180°﹣∠A′B′N， ∴∠1+∠A′＝360°﹣∠B′ED﹣∠A′B′N． ∴∠A′+∠A′B′N＝360°﹣∠B′ED﹣∠1， ∴∠A+∠B＝360°﹣∠B′ED﹣∠1， ∵∠2﹣∠1＝36°， ∴∠A+∠B＝360°﹣∠B′ED﹣（∠2﹣36°）， ∴∠A+∠B＝360°﹣（∠B′ED+∠2）+36°， ∴2（∠A+∠B）＝396°， ∴∠A+∠B＝198°， ∴∠C＝270°﹣198°＝72°． 故选：D． 3．如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P，过P作MN∥AB交AC于M，交BC于N，且AM＝7，BN＝5，则MN＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：如图，过P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，连接AP， ∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P， ∴PF＝PG＝PH， ∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC， ∴∠MAP＝∠BAP， ∵MN∥AB， ∴∠BAP＝∠MPA， ∴∠MAP＝∠MPA， ∴AM＝PM， 同理可得：∠NBP＝∠NPB， ∴NP＝NB， ∴MN＝MP﹣NP＝AM﹣BN＝7﹣5＝2， 故选：A． 4．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE，∠E的度数为（　　） A．45° B．30° C．25° D．40° 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝∠DBA∠BAC＝30°， ∵DB＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， 故选：B． 5．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【解答】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PB＝PA，QA＝QC， ∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC， ∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∴∠PAB+∠QAC＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝40°， 故选：A． 6．如图，在等腰直角△ABC中，∠CBA＝90°，BA＝BC，延长AB至点D，使得AD＝AC，连接CD，△ACD的中线AE与BC交于点F，连接DF，过点B作BG∥DF交AC于点G，连接DG，FG．则下列说法正确的个数为（　　） ①∠BCD＝∠CAE；②点G为AC中点；③AF＝2DE；④AB＝BD+DF；⑤S△AGD＝S四边形AGFB． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：∵AD＝AC，AE是△ACD的中线， ∴AE⊥CD，∠DAE＝∠CAE， ∴∠CEA＝90°，AE垂直平分CD， ∴∠BCD+∠CFE＝90°，CF＝DF， ∵∠CBA＝90°， ∴∠DAE+∠BFA＝90°， ∵∠CFE＝∠BFA， ∴∠BCD＝∠DAE， ∴∠BCD＝∠CAE， 故①正确； ∵∠CBA＝90°，BA＝BC， ∴∠CAB＝∠BCA＝45°，∠FBA＝∠DBC＝90°， ∵∠BCD＝∠DAE， ∴△BCD≌△BAF（ASA）， ∴BD＝BF，CD＝FA， ∵AE是△ACD的中线， ∴CD＝FA＝2DE， 故③正确； ∵CB＝BF+CF，CF＝DF，BF＝BD， ∴AB＝BD+DF， 故④正确； ∵BD＝BF，∠DBC＝90°， ∴∠BFD＝∠BDF＝45°， ∵BG∥DF， ∴∠ABG＝∠BDF＝45°， ∴∠ABG＝∠CBG＝45°， ∵BA＝BC， ∴点G为AC中点， 故②正确； ∵BG∥DF， ∴△BGF与△BGD同底等高， ∴S△GBF＝S△GBD， ∴S△AGD＝S四边形AGFB， 故⑤正确， 故选：D． 7．如图，点C为直线AB外一动点，AB＝6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：连接BF，过C点作CH⊥AB于H， ∵D，E分别是AB、BC的中点， ∴S△ABE＝S△ACES△ABC＝S△ADC＝S△BDC，S△AFD＝S△BFD，S△CEF＝S△BEF， ∴S△CEF+S四边形BDFE＝S△CEF+S△ACF，S△AFD+S△CEF＝S△BEF+S△BFD＝S四边形BDFE＝5， ∴S四边形BDFE＝S△ACF＝5， ∴S△ABC＝S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF＝15， ∴CH•AB＝15， ∴CH＝5， ∵点到直线的距离垂线段最短， ∴AC≥CH＝5， ∴AC的最小值为5， 故选：C． 二．填空题（共25小题） 8．如图，△ABC中，D，E分别为AB，CB延长线上的点，且∠A＝∠ABC＝70°，∠E＝∠CDE＝70°，则∠ADE的度数是 　40°　． 【解答】解：在△BDE中，∠DBE＝∠ABC＝70°，∠E＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣∠DBE﹣∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故答案为：40°． 9．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　540°或360°或180°　． 【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°， 所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故答案为：540°或360°或180°． 10．如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC上任意一点，过O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，若OE+OF＝3，△ABC的面积为12，则AB＝　8　． 【解答】解：如图，连接OA． 设AB＝x，则AC＝AB＝x． ∵S△ABC＝S△ABO+S△AOC， ∴AB•OEAC•OF＝12，即x×3＝12， 解得x＝8， 所以AB＝8． 故答案为：8． 11．如图所示，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，EF⊥BC于F，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DEF＝　15°　． 【解答】解：∵B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝35°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∴∠AEF＝360°﹣70°﹣90°﹣35°＝165°， ∴∠DEF＝180°﹣165°＝15°， 故答案为：15° 12．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影＝　2　cm2． 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△ABES△ABD，S△ACES△ADC， ∴S△ABE+S△ACES△ABC8＝4， ∴S△BCES△ABC8＝4， ∵点F是CE的中点， ∴S△BEFS△BCE4＝2． 故答案为：2． 13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是BC边上一动点，则DP的最小值为　10　． 【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小， ∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°， ∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C， ∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC， ∴AD＝DP，又AD＝10， ∴DP＝10． 故答案为：10． 14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8，DE＝5，则△BCD的面积为 　　． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ECA＝90°， ∵AD⊥CE于D， ∴∠CAD+∠ECA＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE． 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴BE＝CD，CE＝AD＝8， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝8﹣5＝3， ∴S△CDBCD•BE3×3． 故答案为． 15．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　1或4　s． 【解答】解： ∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm， ∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm， 当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1， 当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4， 故答案为：1或4． 16．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论①∠APB＝135°；②PF＝PA；③∠F＝30°；④S△ACD：S△ABD＝AC：AB；⑤AH+BD＝AB，正确的序号是 　①②④⑤　． 【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， ∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， ∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． 在△APH和△FPD中， ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH＝FD， ∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故⑤正确， 若∠F＝30°，则∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠CAB＝60°，显然不符合条件，故③错误． 过点D作DR⊥AB于点R， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DR⊥AB， ∴DC＝DR， ∴S△ACD：S△ABD•AC•DC：•AB•DR＝AC：AB，故④正确． 故答案为：①②④⑤． 17．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　265　°． 【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． ∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′， ∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′ ＝2∠B+35°． ∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC ＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）， ∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′ ＝360°﹣2∠C， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC） ＝360°﹣（360°﹣2∠C） ＝2∠C． ∴∠1+∠2+∠3 ＝2∠C+2∠B+35° ＝2（∠C+∠B）+35° ＝2（180°﹣∠A）+35° ＝2（180°﹣65°）+35° ＝265°． 故答案为：265°． 18．如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　2.4　． 【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝4， ∴AC＝BE＝4， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF＝1.6， ∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4． 19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB∥CD，E是CD上一点，BE过AC的中点F，若CD＝10，BC＝5，则图中阴影部分的面积为 　25　． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠ECF，∠ABF＝∠CEF， ∵BE过AC的中点F， ∴AF＝CF， 在△ABF和△CEF中， ， ∴△ABF≌△CEF（AAS）， ∴AB＝CE， ∴DE+AB＝DE+CE＝CD＝10， ∵∠ABC是直角，BC＝5， ∴CB⊥AB， ∴S阴影（DE+AB）BC10×5＝25， 故答案为：25． 20．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　40°　． 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝70°， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）＝40°， 故答案为：40°． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，则BC的长是 　16　cm． 【解答】解：延长AE，交BC于H，延长DE交BC于G， ∵∠D＝∠DBC＝60°， ∴△BDG是等边三角形， ∴DG＝BD＝BG＝10cm， ∵DE＝6cm， ∴EG＝4cm， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴AH⊥BC，BC＝2BH， ∴GHGE＝2cm， ∴BH＝BG﹣GH＝8cm， ∴BC＝2BH＝16cm， 故答案为：16． 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE＝6，∠B＝60°，点P为线段AC上一动点，点E是BC上一定点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，连接EF＝6，则AB的长为 　18　． 【解答】解：作E关于AC的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于F，交AC于P，如图： ∵E关于AC的对称点为E'，∠ACB＝90°， ∴E'在EC的延长线上，PE+PF＝PE'+PF， 由垂线段最短知E'F⊥AB时，PE+PF最小， ∵BE＝EF＝6，∠B＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴∠BEF＝∠BFE＝60°， ∴∠EFE'＝∠BFE'﹣∠BFE'＝30°， ∴∠EE'F＝∠BEF﹣∠EFE'＝30°＝∠EFE'， ∴EF＝EE'＝6， ∴CEEE'＝3， ∴BC＝BE+CE＝6+3＝9， 在Rt△ABC中，AB＝2BC＝18， 故答案为：18． 23．如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△ABC＝1，则为S△DEF＝　18　． 【解答】解：如图，连接AE、BF、CD， ∵AF＝CA，S△ABC＝1， ∴S△ABF＝S△ABC＝1，S△ACE＝S△AFE， ∵BD＝2AB， ∴S△DBF＝2S△ABF＝2，S△DBC＝2S△ABC＝2， ∵CE＝3CB， ∴S△CED＝3S△DBC＝3×2＝6，S△ACE＝3S△ABC＝3， ∴S△AFE＝3， ∴S△DEF＝S△ABC+S△ABF+S△DBC+S△DBF+S△ACE+S△AFE+S△CED ＝1+1+2+2+3+3+6 ＝18， 故答案为：18． 24．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是　2.4　． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M'，过点M'作MN⊥BC于N'， ∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，M'N'⊥BC于N， ∴M'N'＝M'E， ∴CE＝CM'+M'E＝CM'+M'N'的最小值． ∵∠ACB＝90°， ∴AB•CEBC•AC， 即5CE＝3×4 ∴CE＝2.4． 即CM'+M'N'的最小值为2.4． 故答案为：2.4 25．如图，CN平分△ABC的外角∠ACM，过点A作CN的垂线，垂足为点D，∠B＝∠BAD．若AC＝9，BC＝6，则AD的长为 　　． 【解答】解：如图，AD的延长线交BM于点E， ∵∠B＝∠BAD， ∴AE＝BE， ∵CN平分∠ACM， ∴∠ACN＝∠ECN， ∵AD⊥CN， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°， 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（ASA）， ∴AC＝EC，AD＝ED， ∵AC＝9， ∴EC＝9， ∵BC＝6， ∴BE＝BC+EC＝15， ∴AE＝15， ∴AD， 故答案为：． 26．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在边AB上，E，F分别是射线CD上的两点，且∠AFC＝∠BEC，∠ACB+∠AFC＝180°，AF＝5，BE＝2．则EF的值是 　3　；若DF＝2CF，△AFD的面积为4，则△DEB的面积是 　　． 【解答】解：∵∠BEC＝∠AFC＝180°﹣∠ACB且∠AFC＝180°﹣∠AFD ∴∠ACB＝∠AFD 由外角定理可得∠AFD＝∠ACD+∠CAF， 又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE， ∴∠CAF＝∠BCE， ∵∠BEC＝∠AFC ∴∠EBC＝∠FCA 在△EBC和△FCA中， ∴△EBC≌△FCA（ASA）． ∴CF＝BE，AF＝CE ∵AF＝5，BE＝2 ∴EF＝CE﹣CF＝AF﹣EB＝5﹣2＝3 ∵△EBC≌△FCA ∴S△EBC＝S△FCA， ∵△AFD的面积为4，DF＝2CF＝4 ∴S△EBC＝S△FCA＝2，DE＝DF﹣EF＝4﹣3＝1 ∵CE＝5， ∴ ∴△DEB的面积是 故答案为：3，． 27．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 　9　． 【解答】解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABCBC•AD6×AD＝18，解得AD＝6， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝66＝3+6＝9． 故答案为：9． 28．如图所示，△ABC中∠C＝80°，AC边上有一点D，使得∠A＝∠ABD，将△ABC沿BD翻折得△A'BD，此时A'D∥BC，则∠ABC＝　75　度． 【解答】解：∵A'D∥BC ∴∠CBA′＝∠A′． ∵△ABD沿BD翻折得△A'BD， ∴∠A＝∠A′，∠ABD＝∠A′BD． ∵∠A＝∠ABD， ∴∠CBA′＝∠A′BD＝∠ABD＝∠A． ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+3∠A＝100°． ∴∠A＝25°． ∴∠ABC＝75°． 故答案为：75． 29．如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为 　8　． 【解答】解：∵AC＝CE，CD⊥AE． ∴AF＝EF，∠AFD＝∠EFD＝90°． ∠CAE＝∠CEA． 在△ADF和△EDF中． ． ∴△ADF≌△EDF（SAS）． ∴∠DAF＝∠DEF，AD＝ED． ∴∠CAB＝∠CAE+∠DAF＝∠CEA+∠DEF＝∠CED． 又∵∠CAB＝2∠B． ∠CED＝∠B+∠EDB． ∴∠EDB＝∠B． ∴ED＝EB． ∵AD＝3． ∴AD＝ED＝EB＝3． ∵CE＝5． ∴BC＝BE+CE＝3+5＝8． 故答案为：8． 30．如图，在△ABC中，BC＝6，点D是BC的中点，连接AD，点E在AD上，且AEDE，EF⊥BC于点F，且EF，则△ABC的面积为 　30　． 【解答】解：∵BC＝6，点D是BC的中点， ∴BD＝DCBC＝3， ∵EF⊥BC，且EF， ∴S△BDEBD•EF10， 又∵AEDE， ∴S△ABES△BDE10＝5， ∴S△ABD＝S△ADC＝S△BDE+S△ABE＝10+5＝15， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝15+15＝30． 故答案为：30． 31．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝　　． 【解答】解：如图，过点F作FG⊥BN于点G， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝45°， ∴∠DAC＝45°， ∵MN⊥FB， ∴∠FBN+∠FNB＝90°， ∵点M恰在BN的垂直平分线上， ∴MB＝MN， ∴∠ABN＝∠FNB， ∴∠ABN+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠FBN， ∵∠AFB＝∠FBC+∠C＝∠BAD+∠DAC＝∠BAF， ∴BA＝BF， 在△ABD和△BFG中， ， ∴△ABD≌△BFG（AAS）， ∴BD＝FG，AD＝BG， ∵∠BED+∠EBD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠BED＝∠ABD＝BFG， 在△BDE和△FGN中， ， ∴△BDE≌△FGN（AAS）， ∴DE＝GN， ∵DE：BN＝1：7， ∴GN：BN＝1：7， 设ED＝x， ∴DE：BG＝1：6， ∴AD＝BG＝6x， ∵∠BFG+∠GFN＝∠BFG+∠FBG＝90°， ∴∠GFN＝∠FBG， ∴∠FGN＝∠BGF， ∴△FGN∽△BGF， ∴， ∴BD＝FGx， ∵AE＝AD﹣ED＝6x﹣x＝5x， ∵S△ABD＝15， ∴BD•ADx×6x＝15， ∴x2， ∴S△ABEBD•AEx×5xx2． 故答案为：． 32．在△ABC中，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，CE交AD于F，EM平分∠BEC交AD延长线于M，连接BM，CM．若∠DFC+∠ABM＝180°，5BE＝2AE，S△AEF＝5，则S△EMC＝　　． 【解答】解：∵∠DFC+∠ABM＝180°，∠DFC+∠DFE＝180°， ∴∠MFE＝∠MBE， ∵EM平分∠BEC， ∴∠BME＝∠FME， 在△BEM和△EFM中， ， ∴△BEM≌△EFM（SAS）， ∴EB＝EF， ∵CE⊥AB于E，AD⊥BC于D， ∴∠EAF+∠ABC＝∠ECB+∠ABC，∠AEF＝∠CEB＝90°， ∴∠EAF＝∠ECB， 在△AEF和△CEB中， ， ∴△AEF≌△CEB（AAS）， ∵△BEM≌△EFM，△AEF≌△CEB， ∴BE＝EF，AE＝EC． ∵5BE＝2AE， ∴BEAE＝EF． ∴S△AEFAE•EFAE•AE＝5． ∴AE＝5． ∴BE＝EF＝2，AE＝EC＝5． ∴FC＝EC﹣EF＝5﹣2＝3． ∵， ∴S△BEM＝S△EFM． ∵， ∴S△MFCS△EFM＝5， ∴S△EMC＝S△EFM+S△FMC5． 故答案为：． 三．解答题（共1小题） 33．小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　SAS　（用字母表示） （2）AD的取值范围是　1＜AD＜6　 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长． 【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE． 在△BED和△CAD中， ， ∴△BED≌△CAD（SAS）． （2）∵△BED≌△CAD， ∴BE＝AC＝5，∵AB＝7， ∴2＜AE＜12， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6． 故答案分别为SAS，1＜AD＜6． 解决问题：如图3中， 解：延长GE交CB的延长线于M． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CM， ∴∠AGE＝∠M， 在△AEG和△BEM中， ， ∴△AEG≌△BEM（AAS）， ∴GE＝EM，AG＝BM＝2， ∵EF⊥MG， ∴FG＝FM， ∵BF＝4， ∴MF＝BF+BM＝2+4＝6， ∴GF＝FM＝6． 34、在等边△ABC中，点D为直线BC上一点． （1）如图1，若点D为边BC上一点，连接AD．过点D作DG⊥AC于点G，若BD＝2，CG＝4，求AD的长； （2）如图2，若点D为边BC的中点，以点A为顶点作等边△AEF，连接BE，DE，CF，当∠AEB＝150°且DE∥CF时，用等式表示线段EF与CF之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点D为直线BC上一点，将线段AD绕A点逆时针旋转120°至AE位置，连接CE，当CE取得最小值时，请直接写出的值． 【解答】解：（1）∵三角形ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠C＝60°， ∵DG⊥AC， ∴∠CGD＝∠AGD＝90°， ∴∠CDG＝30°， ∴CD＝2CG＝8， ∴DG4，AC＝BC＝BD+CD＝10， ∴AG＝AC﹣CG＝6， ∴AD2； （2）EFCF． 证明：过点C作CM⊥ED，交ED的延长线于点M，过点B作BN⊥DE于点N， ∵△ABC和△AEF都是等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝∠AFE＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠BEA＝∠CFA＝150°， ∴∠EFC＝90°， ∵DE∥CF， ∴∠MEF＝90°， ∵CM⊥EM， ∴四边形EMCF为矩形， ∴EF＝CM， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠BDN＝∠CDM，∠BND＝∠CMD＝90°， ∴△BDN≌△CDM（AAS）， ∴BN＝CM， ∴BN＝EF， ∵∠AEB＝150°，∠AEF＝60°，∠MEF＝90°， ∴∠BEM＝360°﹣150°﹣60°﹣90°＝60°， ∴， ∴EFCF； （3）将AC绕点A旋转120°至AK位置，连接KE，则：AC＝AK，∠CAK＝120°， ∵AD＝AE，∠DAE＝120°， ∴∠CAD＝∠EAK＝120°﹣∠CAE， ∴△ACD≌△AKE（SAS）， ∴CD＝KE，∠AKE＝∠ACB＝60°， ∴点E在射线KE上运动， ∴当CE⊥KE时，CE的长最短，如图4： 过点A作AM⊥KE，则：∠AME＝∠AMK＝90°， ∵∠K＝60°， ∴∠KAM＝30°， ∴∠CAM＝∠CAK﹣∠KAM＝120°﹣30°＝90°， 又∵∠CEM＝90°， ∴四边形ACEM为矩形， ∴AM＝CE，AC＝EM， 设AC＝a，则：AK＝a，BC＝a，EM＝a， ∵∠AMK＝90°，∠KAM＝30°， ∴KMa，AMa， ∴AEa，KE＝KM+ME＝a， ∴AD＝AE，CD＝KE， ∴BD＝CD﹣BC， ∴． 35、已知△ABC为等边三角形． （1）如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE． （2）如图2，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F．求证：BF＝AF+DF． （3）如图3，若AB＝3，点P是边AC上一定点且，若点D为射线BC上一动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE，直接写出PE+BE的最小值． 【解答】（1）证明：∵等边△ABC和等边△ADE； ∴AB＝AC，AD＝AE； ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+CAE＝60°； ∴∠BAD＝∠CAE； ∴△ABD≌△ACE（SAS）， （2）∵AC＝AD；AC＝AB， ∴AB＝AD； ∵∠CAD＝90°，∠BAC＝60°； ∴∠BAD＝150°； ∴∠ABD＝∠ADB＝15°； 即∠AFD＝∠EAD+∠ADB； ∵三角形CAD是等腰直角三角形，E为CD中点 ∴AE平分∠CAD； ∴∠EAD＝45°； ∴∠AFB＝60°； BF上取一点H，使AF＝HF； ∴△AHF是等边三角形； ∴AF＝HF； 即AF+FD＝HF+FD＝HD； ∵∠ABD＝∠ADB， AB＝AD， ∠AHF＝∠AFH＝60°； ∴△ABF≌△ADH（AAS）； ∴BF＝DH＝AF+FD； 即BF＝AF+FD． （3）如图所示，∵∠PCD＝120°，∠PED＝60°； 把△PEC绕点E逆时针旋转60°，得到△EDM； ∵∠EPC+∠EDC＝180°； ∴∠EDM+∠EDC＝180°； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，△ECM是等边三角形； ∴∠M＝ECP＝60°； ∴点E的轨迹是射线CE； 作点B关于直线CE的对称点N； ∴PE+BE＝PE+CN； ∵； ∴； 即PE+BE的最小值为． 36．在△ABC中，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，连接CD，∠BAD的角平分线AE与DC的延长线交于点E，与BC交于点F． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4，求AE的长； （2）如图2，若∠BAC＝60°，过点B作BG∥DE交AC于点G，交AE于点H，求证：AH＝EF+HG； （3）如图3，若∠BAC＝120°，连接BD，当AE＝BD时，直接写出的值． 【解答】（1）解：过点A作AG⊥DE，垂足为点G， ∵∠BAC＝90°，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝150°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE∠BAD＝75°， ∵∠CAD＝60°，AG⊥DE， ∴DGAD＝2， ∴AG， ∵∠DAE＝75°，∠DAG＝30°， ∴∠GAE＝45°， ∴△AGE是等腰直角三角形， ∴AG＝GE， ∴AE； （2）设∠CAD＝α， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+α， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝30°， ∵∠CAD＝α，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC90°， ∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADC＝60°， ∵BG∥DE， ∴∠BHE＝∠AED＝60°， ∴∠ABG+∠BAF＝60°， ∵∠CAF+∠BAF＝60°， ∴∠ABG＝∠CAF， ∵AB＝AC，∠BAG＝∠ACF＝60°， ∴△ABG≌△CAF（ASA）， ∴BG＝AF， 延长HG，使得HP＝AH，连接AP， ∵∠BHE＝∠AHP＝60°， ∴△AHP是等边三角形， ∴∠BPA＝∠AEC＝60°， ∵AB＝AC，∠ABP＝∠CAE， ∴△ABP≌△CAE（AAS）， ∴BP＝AE， ∵BG＝AF， ∴PG＝EF， ∵AH＝HP， ∴AH＝PG+HG＝EF+HG； （3）设AB＝AC＝AD＝2a， 过点A作AM⊥DE，垂足为点M， ∵AC＝AD，AM⊥DE， ∴CM＝DM，∠CAM＝∠DAM， ∵∠BAC＝120°，∠CAD＝α，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝60°， ∵∠DAM， ∴∠EAM＝∠DAE﹣∠DAM＝60°， ∵AM⊥DE， ∴∠AED＝30°， ∴AMAE， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AN⊥BD，BN＝DNBD， ∵AE＝BD， ∴AM＝DN， ∵∠AND＝∠DMA＝90°，AD＝AD， ∴Rt△ADN≌Rt△DAM（HL）， ∴∠DAN＝∠ADM， ∵∠DAN＝60°α，∠ADM＝90°﹣∠DAM＝90°α， ∴60°α＝90°α， ∴α＝30°， 延长DA，过点B作BP⊥AD，垂足为点P，过点A作AQ⊥BC，垂足为点Q， ∵∠AQB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AQ＝a，BQa， ∵AB＝AC，AQ⊥BC， ∴BC＝2BQa， ∵∠BAP＝180°﹣∠BAC﹣∠CAD＝30°，∠APB＝90°， ∴BP＝a，APa， ∴PD＝AP+ADa， ∴BD2＝BP2+PD2， ∵AMAEBD， ∴， 在Rt△ADM中， ∵AD＝2a， ∴DM， ∴CD＝2DM， ∴． 37．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，点E是底边BC上不与端点重合的任意一点（CE＜BE），连接AE，以A为顶点、AE为腰，在AE右侧作等腰△AEF，使∠BAC＝∠EAF．过点A作AH⊥BC交BC于点H，交FE的延长线于点D． （1）如图1，连接CF，当BH＝12，CE＝7时，求CF的长度； （2）如图2，连接BF交AH于点M，当∠BAC＝∠EAF＝90°时，求证：EH+2AM＝BH； （3）如图3，连接CF，当∠BAE+∠AFC＝120°时，在线段AC上取点G，使得AG＝CE，连接BG交AE于点K，点P和点Q分别为线段BK和线段EK上的动点，且BP＝EQ．若∠CAE＝α，当BQ+PE取得最小值时，请直接用含α的式子表示出∠PBQ的度数． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝12， ∴BC＝24， ∵CE＝7， ∴BE＝BC﹣EC＝17． ∵∠BAC＝∠EAF， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， ∴∠BAE＝∠CAF． 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴BE＝CF， ∴CF＝17； （2）证明：在AH上截取HN＝HE，连接BN，如图， ∵∠BAC＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF， ∴△ABC，△AEF为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵AH⊥BC， ∴BH＝AH． 在△BHN和△AHE中， ， ∴△BHN≌△AHE（SAS）， ∴BN＝AE，∠HBN＝∠HAE， ∴BN＝AF，∠HBN+90°＝∠HAE+90°， ∴∠BNM＝∠HAF， 在△BMN和△FMA中， ， ∴△BMN≌△FMA（AAS）， ∴AM＝MN， ∴AN＝2AM， ∵BH＝AH＝AN+HN， ∴BH＝2AM+EH； （3）解：由（1）知：△BAE≌△CAF， ∴∠AEB＝∠AFC， ∵∠BAE+∠AFC＝120°， ∴∠BAE+∠AEB＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝ACB＝60°． 在△ABG和△CAE中， ， ∴△ABG≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠CAE＝α，BG＝AE， ∴∠BKE＝∠BAE+∠ABG＝∠BAE+CAE＝∠BAC＝60°． ∴∠BEQ+∠EBP＝120°． 作∠RBP＝∠BEQ，使HB＝BE，连接RP，如图， 则∠RBP+∠EBP＝120°， 即∠RBE＝120°． 在△RBP和△BEQ中， ， ∴△RBP≌△BEQ（SAS）， ∴∠R＝∠EBQ，RP＝BQ， ∴BQ+PE＝RP+PE， ∴当点R，P，E三点在一条直线上时，BQ+PE取得最小值，此时，△BRE为等腰三角形， ∴∠R＝∠BER30°， ∴∠EBQ＝∠R＝30°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABQ＝∠ABC﹣∠EBQ＝30°， ∴∠PBQ＝∠ABQ﹣∠ABG＝30°﹣α． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/23 9:04:00；用户：屈南平；邮箱：rong89@xyh.com；学号：23699489 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/23 8:30:24；用户：屈南平；邮箱：rong89@xyh.com；学号：2369948 45 学科网（北京）股份有限公司 $$