专题01 三角形与多边形(7基础题型+2提升题型)-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题01 三角形与多边形 三角形的角平分线、中线和高 1．（2022秋•岳麓区校级期末）已知一个三角形的周长为15厘米，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为 　 　． 【答案】3厘米 【分析】可设这个三角形的最短边为厘米，根据三角形的周长为15厘米可列出方程求解即可． 【解答】解：设这个三角形的最短边为厘米，依题意有 ， ， ． 故这个三角形的最短边为3厘米． 故答案为：3厘米． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形的周长公式列出方程求解． 2．（2024春•长沙期末）下面四个图形中，线段是的高的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作的垂线，垂足为，则线段是的高，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：线段是的高的是． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此类问题的关键． 3．（2024春•岳麓区校级期末）在下列四个图形中，线段是中边上的高的图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：、线段不是中边上的高，不符合题意； 、线段是中边上的高，符合题意； 、线段不是中边上的高，不符合题意； 、线段不是中边上的高，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 4．（2024春•长沙期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 　 　． 【答案】19． 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：是的中线， ， 的周长为18， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：19． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 三角形的稳定性 1．（2023秋•长沙县期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的　　 A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 【答案】 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 2．（2024春•长沙期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是　　 A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】 【分析】学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【解答】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 3．（2023秋•宁乡市期末）如图，自行车的车身为三角结构，这样做根据的数学道理是 　 　． 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【解答】解：自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性的应用，解题时注意：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 三角形三边关系 1．（2024春•长沙期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．3，7，10 B．13，11，20 C．7，8，16 D．3，3，7 【答案】 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：、，长度是3，7，10的小木棒不能摆成三角形，故不符合题意； 、，长度是13，11，20的小木棒能摆成三角形，故符合题意； 、，长度是7，8，16的小木棒不能摆成三角形，故不符合题意； 、，长度是3，3，7的小木棒不能摆成三角形，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．（2024春•岳麓区校级期末）下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设第三根木棒的长为 ，再根据三角形的三边关系分析即可． 【解答】解：设第三根木棒的长为 ， 由三角形的三边关系可知，，即． 能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 3．（2024春•芙蓉区校级期末）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出的取值范围，判断各选项即可得的答案． 【解答】解：， ， 即． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 4．（2024春•开福区校级期末）在中，，，的长为奇数，的周长为　　 A．17 B．19 C．17或21 D．17或19 【答案】 【分析】首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值． 【解答】解：由题意得：， 即：， 为奇数， 或9， 的周长为17或19． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 5．（2024春•长沙期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来求出，再结合选项的值，来进行作答即可． 【解答】解：设第三边的长为， 一个三角形的两边长分别为和， ， 即， 观察、、、四个选项，只有选项的在范围内， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 三角形内角和定理 1．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　 　度． 【答案】80． 【分析】由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【解答】解：， ． 在中，，， ， ． 平分， ． 在中，，， ． 故答案为：80． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 2．（2024春•开福区校级期末）如图，已知和是的角平分线，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据角平分线的定义得出，，利用三角形内角和定理可得，再代入计算即可． 【解答】解：和是的角平分线， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查角平分线，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和是是正确解答的前提． 3．（2024春•芙蓉区校级期末）如图，在中，，分别平分和，若，则　 　． 【答案】． 【分析】由角平分线的定义可得，，再利用三角形的内角和定理可求解． 【解答】解：、分别平分和， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，关键是三角形内角和定理的应用． 4．（2022秋•宁乡市期末）在中，，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得． 【解答】解：在中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． 5．（2023春•岳麓区校级期末）在中，，，则　 　． 【分析】根据三角形内角和定理可以求得的度数． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和为． 6．（2023春•雨花区校级期末）已知，在中，，是边上的高，若，则　 　． 【答案】或20． 【分析】分为两种情况画出图形，求出的度数，即可得出答案． 【解答】解：分为两种情况：①如图1， 为边上的高， ， ， ， ， ； ②如图2， 为边上的高， ， ， ， ， ； 故答案为：或20． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 7．（2023春•岳麓区校级期末）如图，在中，，平分，若，，则　 　． 【答案】． 【分析】由平分，可得，由，，可求得的度数，在直角三角形中再利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：平分， ， ， 中，． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识，求得的度数是正确解答本题的关键． 8．（2024春•开福区校级期末）如图，、分别是的高和角平分线，，．点在的延长线上，，垂足为，与相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义即可得到结论； （2）根据高线定义得到，再根据角平分线定义，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）是的高， ， ， ， ，是的角平分线， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，垂直的定义，角平分线定义等知识，正确识别图形，理清角之间的和差关系是解决问题的关键． 9．（2024春•长沙期末）在三角形这一章的学习中我们知道：三角形的内角和是．这个结论的证明方法有很多．如图1，已知，求证：．分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． （1）证明：如图2，延长到，过点作． ， 　　（两直线平行，同位角相等）， 　　， 又（平角的定义）， （等量代换）． （2）证明的方法中主要体现了 　　的数学思想； ．转化 ．分类 ．类比 【答案】（1），两直线平行，内错角相等； （2）． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，再由（平角的定义）即可证明； （2）结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想，即可作答． 【解答】解：（1）， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 又（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等； （2）通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角， 结合（1）的过程，得出证明的方法中主要体现了转化的数学思想． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2022秋•望城区期末）如图，在中，，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用三角形外角的性质得，从而得出答案． 【解答】解：（1），，， ， ， ， ； （2），， ， ， ． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 11．（2023春•宁乡市期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，已知，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）． 【分析】（1）由平行线的性质可得，由可得，即可证明； （2）首先利用已知条件可以去求出，然后利用平行线的性质求出． 【解答】（1）证明：， ． ， ． ； （2）解：是的平分线，且， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 12．（2023春•长沙县期末）如图，在中，在边上，过点作，交于点．若为边上的动点，连接、．设，． （1）如图①，当在线段上时， ①若，，则　　． ②试证明． （2）如图②，当点在线段上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． （3）如图③，当点在延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． 【分析】（1）①过点作，利用两直线平行，内错角相等得，，则； ②由①同理解决问题； （2）设与的交点为，由平行线的性质得，且是的外角，得，从而得出答案； （3）设与的交点为，由（2）同理可得． 【解答】解：（1）①过点作， ，， ，， ，， ， ，， ， 故答案为：； ②过点作， ，， ， ，， ； （2），理由如下： 设与的交点为， ， ， 是的外角， ， ； （3），理由如下： 设与的交点为， ， ， 是的外角， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 13．（2023春•岳麓区校级期末）已知：如图，中，、分别是的高和角平分线．是的平分线，与交于，若，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的度数． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （2）依据是的角平分线．是的平分线，在中利用三角形的内角和解答； （3）先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的性质可求出，而，然后利用进行计算即可． 【解答】解：（1），． ， 是的平分线， ， ； （2）是的角平分线．是的平分线，． ，， 在中，； （3）在中，，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ， 在中，， ． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为．也考查了三角形的高线与角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理与角平分线的性质． 14．（2022秋•雨花区期末）如图，是的高，平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由三角形的内角和可求得，结合是高，可求得，再由角平分线的定义可得，从而可求的度数； （2）仿照（1）的解题过程即可求解． 【解答】解：（1）是的高，，， ，， 平分， ， ； （2）， ， 是的高， ，， 平分， ， ． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 三角形的外角性质 1．（2022秋•长沙县期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，直接可得答案． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握“三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和”是解本题的关键． 2．（2023春•雨花区校级期末）将一副三角板如图放置，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形外角的性质结合三角板中角度的特点进行求解即可． 【解答】解：由题意得，，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中角度的计算，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键． 3．（2022春•开福区校级期末）将一副直角三角板按如图所示方式放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先依据一幅直角三角板的度数得到，，，从而可求得的度数，最后，依据三角形的外角的性质求解即可． 【解答】解：如图所示： 由题意可知：，， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 4．（2024春•岳麓区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 　 　． 【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：如图， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 5.（2024春•开福区校级期末）如图，已知，，点、、在一条直线上，则　 　 度． 【答案】60． 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．据此即可获得答案． 【解答】解：，， ． 故答案为：60． 【点评】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键． 6．（2024春•长沙期末）如图，是的一个外角，若，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 7．（2024春•雨花区校级期末）将一副三角板按图中方式叠放，则等于 　 　． 【答案】． 【分析】由题意可得，，，从而可求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求的度数． 【解答】解：如图： 由题意得：，，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 8．（2022春•岳麓区校级期末）如图，，，，则的度数是 　 　． 【答案】． 【分析】根据三角形的外角性质得出，，再代入求出答案即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和是解此题的关键． 9．（2022春•开福区校级期末）如图，，，则的度数是　95　． 【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：95． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 10．（2024春•长沙期末）如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点（如图．则　 　 ； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点（如图．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若，和满足的数量关系为，请直接写出，的值． 【分析】（1）设，，根据直角三角形的两锐角互余得：，可得，由外角的性质得：； （2）根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论； （3）先根据条件画图3，设，根据三角形的内角和定理列式：，，分别表示和，代入已知可得，的值． 【解答】解：（1）如图1，平分，平分， ，， 设，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45； （2）如图1所示，平分， ， ， ①， 同理可得：， ， ②， 把②代入①得：， ， 即； （3）如图2，设， 平分， ， ， ， ， ①， ， ， ，② 把①代入②得：， ， ， 解得：，． 【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用． 11．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出，由邻补角定义得出．再根据角平分线定义即可求出； （2）先根据三角形外角的性质得出，再根据，即可得出． 【解答】解：（1）在中，，， ， ． 是的平分线， ； （2），， ． 又， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键． 12．（2022秋•望城区期末）如图①，在△中，与的平分线相交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作△外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系． （3）如图③，延长线段、交于点，△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在△中，由于，求出，，所以如果△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【解答】（1）解：． ， 点是和的平分线的交点， ， （2）外角，的角平分线交于点， ； （3）延长至， 为△的外角的角平分线， 是△的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ． 如果△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 13．（2022春•开福区校级期末）（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点，若， ①求的度数； ②求的度数． 【答案】（1）； （2）①； ②． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再代入数据计算即可得解； ②作于，于，于，根据角平分线的性质与判定可得平分，再根据角平分线的定义可求解． 【解答】解：（1），， ， 、的平分线相交于点， ，， ； （2）①在中，， 在中，， 、分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 即． ②作于，于，于， ，， ， 平分， ． 【点评】（1）本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． （2）本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出是解题的关键． 直角三角形的性质 1．（2022秋•岳麓区校级期末）在中，，，则的度数为　　 A．5 B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质计算可求解． 【解答】解：在中，，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．（2022秋•长沙县期末）中，，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由直角三角形的两锐角互余直接可得答案． 【解答】解：，， ． 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的两个锐角互余，掌握“直角三角形的两个锐角之间的关系”是解本题的关键． 3．（2023春•岳麓区校级期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质列式进行计算即可得解． 【解答】解：在一个直角三角形中，有一个锐角等于， 另一个锐角的度数是． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知中，，则 　（答案不唯一）　．（请写出一条结论） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：中，， 则（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）． 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 多边形、多边形内角与外角 1．（2023春•长沙期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是　　 A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 【答案】 【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性． 【解答】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键． 2．（2022秋•望城区期末）若一个多边形的内角和等于，则它的边数为　　 A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】 【分析】由多边形的内角和定理，即可计算． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， ， 故选：． 【点评】本题考查多边形内角和定理，关键是掌握：多边形内角和定理：且为整数）． 3．（2022秋•岳麓区校级期末）一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】根据多边形的外角和等于计算即可． 【解答】解：（条， 故选：． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键． 4．（2023秋•浏阳市期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问这个八边形的内角和是多少度？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和． 【解答】解：根据题意得：八边形的内角和是． 故选：． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，牢记“多边形内角和是 且为整数）”是解题的关键． 5．（2023秋•宁乡市期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是　　 A． B． C． D．60 【答案】 【分析】根据正多边形的内角和定义，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角． 【解答】解：设此多边形为边形， 根据题意得：， 解得：． 则这个正多边形的每一个内角为． 故选：． 【点评】本题考查了多边形内角和公式．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：． 6．（2023秋•开福区校级期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是　　 A．8 B．9 C．6 D．11 【答案】 【分析】根据正边形内角和为，列出方程即可． 【解答】解：设多边形的边数为， 则， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了正边形内角和公式，熟练掌握正边形内角和为是解题的关键． 7．（2022秋•长沙期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正五边形的性质得出和的度数，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：五边形是正五边形， ，， 是等腰三角形， ． 故选：． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握正五边形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 8．（2023秋•雨花区期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 　 　． 【答案】． 【分析】根据多边形内角和的计算方法求出五边形的内角和，再根据邻补角的定义求出五边形的一个内角，进而求出其它4个角的度数和． 【解答】解：，而， ， 故答案为：． 【点评】本题考查多边形的内角和，邻补角，掌握多边形的内角和的计算方法是正确解答的前提． 9．（2023秋•望城区期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 　 　边形． 【答案】五． 【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可． 【解答】解：设此多边形的边数为， 则， 解得：， 即此多边形为五边形， 故答案为：五． 【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 10．（2022秋•长沙期末）一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数为 　 　． 【答案】八． 【分析】利用外角和除以一个外角的度数就是正多边形的边数． 【解答】解：， ． 故答案为：八． 【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键． 11．（2022秋•长沙县期末）六边形的外角和是　 　． 【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案． 【解答】解：六边形的外角和是． 故答案为：． 【点评】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 12．（2023秋•长沙县期末）已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 【答案】（1）16； （2）5． 【分析】（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 解得． 正边形的周长为； （2）正边形每个内角的度数为， 正边形的每个外角的度数为， ， 的值为5． 【点评】本题主要考查多边形内角和外角，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2023秋•望城区期末）如图，已知五边形中，，求的度数． 【分析】先根据平行线的性质求得的值，再根据多边形内角和定理即可求得的值即可． 【解答】解：， ， 五边形内角和为， 在五边形中，， 即为80． 【点评】此题考查了平行线的性质，多边形内角和定理，注意对基础知识的熟练掌握及综合运用． 三角形的内角和问题 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和为180度，角平分线平分角，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理，求出，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）同法（1）即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果； （4）过点作，根据平行线的性质结合（2）中的结论，即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：； （4）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴； 故答案为：． 2．已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB． (1)若∠A＝48°，求∠BOC； (2)若∠A＝n°，求∠BOC； (3)若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A． 【答案】(1)114° (2) (3)80° 【分析】（1）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数； （2）由三角形内角和定理、角平分线的定义可求得∠BOC的度数； （3）由（2）的结论即可求得∠A的度数． 【详解】（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−48°=132°， ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠BOC=180°−(∠2+∠4)=180°−66°=114°； （2）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−n°， ∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， 解得：∠A=80°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解一元一次方程等知识，掌握角平分线的定义及三角形内角和定理是解题的关键． 3．（21-22八年级上·湖南益阳·期末）如图，△ABC和△ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形，∠B=30°，△ABC固定不动，将△ADE绕直角顶点A旋转，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），∠PAC和∠PCA的平分线交于点I． (1)当△ABP是等腰三角形时，求∠PAC的度数； (2)在△ADE的旋转过程中，PD的长度在不断发生变化，当PD取最大值时，求∠AIC的度数； (3)确定∠AIC度数的取值范围． 【答案】(1)60°或15° (2)135° (3)105°<∠AIC<150° 【分析】（1）分AP=BP和AP=BP两种情况讨论，计算即可求解； （2）当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直，利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解； （3）设∠BAP=α，利用角平分线的定义得到∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：当AP=BP时， ∵∠B=30°， ∴∠B=∠BAP=30°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=90°-30°=60°； 当AB=BP时， ∵∠B=30°， ∴∠APB=∠BAP=(180°-30°)= 75°， ∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=90°-75°=15°； 综上，∠PAC的度数为60°或15°； （2）解：∵AD长为定值， ∴当AP取最小值时PD取最大值，此时AP与BC垂直， ∵∠B=30°，∠BAC=90°， ∴∠ACP=60°，∠CAP=30°， ∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠ICA=∠ACP=30°，∠IAC=∠CAP=15°， ∴∠AIC的度数为180°-30°-15°=135°； （3）解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°−α， ∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA， ∴∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA) =180°− (∠PAC+∠PCA) =180°− (90°−α+60°) =α+105°． ∵0<α<90°， ∴105°<α+105°<150°，即105°<∠AIC<150°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三角形的外角的定义及性质 1．（22-23七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 3．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： (1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)Ⅰ．50；Ⅱ． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用． 根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案． Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以； Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图 连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得 ， ， 又∵， ∴； （2）解：Ⅰ． 由（1）可得，； 又∵， ∴， 故答案为：50； Ⅱ．由（1），可得， ∴， 又∵平分平分， ∴， ∴． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形与多边形 三角形的角平分线、中线和高 1．（2022秋•岳麓区校级期末）已知一个三角形的周长为15厘米，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为 　 　． 2．（2024春•长沙期末）下面四个图形中，线段是的高的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•岳麓区校级期末）在下列四个图形中，线段是中边上的高的图形是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•长沙期末）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为 　 　． 三角形的稳定性 1．（2023秋•长沙县期末）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的　　 A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 2．（2024春•长沙期末）如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是　　 A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 3．（2023秋•宁乡市期末）如图，自行车的车身为三角结构，这样做根据的数学道理是 　 　． 三角形三边关系 1．（2024春•长沙期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是　　 A．3，7，10 B．13，11，20 C．7，8，16 D．3，3，7 2．（2024春•岳麓区校级期末）下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•芙蓉区校级期末）如图，人字梯的支架，的长度都为（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•开福区校级期末）在中，，，的长为奇数，的周长为　　 A．17 B．19 C．17或21 D．17或19 5．（2024春•长沙期末）已知一个三角形的两边长分别为和，则该三角形的第三边的长可能是　　 A． B． C． D． 三角形内角和定理 1．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　 　度． 2．（2024春•开福区校级期末）如图，已知和是的角平分线，，则　 　． 3．（2024春•芙蓉区校级期末）如图，在中，，分别平分和，若，则　 　． 4．（2022秋•宁乡市期末）在中，，，则　 　． 5．（2023春•岳麓区校级期末）在中，，，则　 　． 6．（2023春•雨花区校级期末）已知，在中，，是边上的高，若，则　 　． 7．（2023春•岳麓区校级期末）如图，在中，，平分，若，，则　 　． 8．（2024春•开福区校级期末）如图，、分别是的高和角平分线，，．点在的延长线上，，垂足为，与相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 9．（2024春•长沙期末）在三角形这一章的学习中我们知道：三角形的内角和是．这个结论的证明方法有很多．如图1，已知，求证：．分析：通过画平行线，将、、作等角代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种证法． （1）证明：如图2，延长到，过点作． ， 　　（两直线平行，同位角相等）， 　　， 又（平角的定义）， （等量代换）． （2）证明的方法中主要体现了 　　的数学思想； ．转化 ．分类 ．类比 10．（2022秋•望城区期末）如图，在中，，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 11．（2023春•宁乡市期末）如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，已知，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 12．（2023春•长沙县期末）如图，在中，在边上，过点作，交于点．若为边上的动点，连接、．设，． （1）如图①，当在线段上时， ①若，，则　　． ②试证明． （2）如图②，当点在线段上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． （3）如图③，当点在延长线上运动时，与、有何数量关系？请判断并说明理由． 13．（2023春•岳麓区校级期末）已知：如图，中，、分别是的高和角平分线．是的平分线，与交于，若，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的度数． 14．（2022秋•雨花区期末）如图，是的高，平分． （1）若，，求的度数； （2）若，求的度数． 三角形的外角性质 1．（2022秋•长沙县期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则　　 A． B． C． D． 2．（2023春•雨花区校级期末）将一副三角板如图放置，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2022春•开福区校级期末）将一副直角三角板按如图所示方式放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•岳麓区校级期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 　 　． 题的关键． 5.（2024春•开福区校级期末）如图，已知，，点、、在一条直线上，则　 　 度． 6．（2024春•长沙期末）如图，是的一个外角，若，，则　 　． 7．（2024春•雨花区校级期末）将一副三角板按图中方式叠放，则等于 　 　． 8．（2022春•岳麓区校级期末）如图，，，，则的度数是 　 　． 9．（2022春•开福区校级期末）如图，，，则的度数是　 　． 10．（2024春•长沙期末）如图，在中， （1）分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点（如图．则　 　 ； （2）分别作与的平分线，且两条角平分线交于点（如图．求的度数； （3）在（2）的条件下，射线在的内部且，设与的交点为，射线在的内部且，射线与交于点，若，和满足的数量关系为，请直接写出，的值． 11．（2024春•岳麓区校级期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数； （2）若，求证：． 12．（2022秋•望城区期末）如图①，在△中，与的平分线相交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图②，作△外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系． （3）如图③，延长线段、交于点，△中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 13．（2022春•开福区校级期末）（1）如图1，在中，、的平分线，相交于点，，，求的度数； （2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点，若， ①求的度数； ②求的度数． 直角三角形的性质 1．（2022秋•岳麓区校级期末）在中，，，则的度数为　　 A．5 B． C． D． 2．（2022秋•长沙县期末）中，，，则等于　　 A． B． C． D． 3．（2023春•岳麓区校级期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是　　 A． B． C． D． 4．（2022春•岳麓区校级期末）如图，已知中，，则 　 　．（请写出一条结论） 多边形、多边形内角与外角 1．（2023春•长沙期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是　　 A．三角形的不稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形的不稳定性 D．四边形的稳定性 2．（2022秋•望城区期末）若一个多边形的内角和等于，则它的边数为　　 A．6 B．8 C．9 D．12 3．（2022秋•岳麓区校级期末）一个正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2023秋•浏阳市期末）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问这个八边形的内角和是多少度？　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•宁乡市期末）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是　　 A． B． C． D．60 6．（2023秋•开福区校级期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是　　 A．8 B．9 C．6 D．11 7．（2022秋•长沙期末）如图，在正五边形中，连接，则的度数为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•雨花区期末）如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为 　 　． 9．（2023秋•望城区期末）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 　 　边形． 10．（2022秋•长沙期末）一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数为 　 　． 11．（2022秋•长沙县期末）六边形的外角和是　 　． 12．（2023秋•长沙县期末）已知正边形的内角和为，边长为2． （1）求正边形的周长； （2）若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值． 13．（2023秋•望城区期末）如图，已知五边形中，，求的度数． 三角形的内角和问题 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）在中，，平分． (1)如图（1），于D，若，求； (2)如图（1），于D，猜想与有什么数量关系？请说明你的理由； (3)如图（2），F为上一点，于D，这时与又有什么数量关系？________；（不用证明） (4)如图（3），F为的延长线上的一点，于D，这时与又有什么数量关系？________．（不用证明） 2．已知：如图，O是△ABC内一点，且BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB． (1)若∠A＝48°，求∠BOC； (2)若∠A＝n°，求∠BOC； (3)若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A． 3．（21-22八年级上·湖南益阳·期末）如图，△ABC和△ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形，∠B=30°，△ABC固定不动，将△ADE绕直角顶点A旋转，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），∠PAC和∠PCA的平分线交于点I． (1)当△ABP是等腰三角形时，求∠PAC的度数； (2)在△ADE的旋转过程中，PD的长度在不断发生变化，当PD取最大值时，求∠AIC的度数； (3)确定∠AIC度数的取值范围． 三角形的外角的定义及性质 1．（22-23七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点P．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 3．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”． 解决问题： (1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ． Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数． ( 12 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