2025年中考数学一轮复习圆最新模拟题专题训练

2024年最新模拟题—圆专题训练 1．如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．（1）求证：；（2）若，且为的中点，求的半径长． 2．如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．（1）当时，求的度数；（2）当，时，求的长． 3．如图，是的直径，，是上异于，的两点，且，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的长． 4．已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． （1）如图①，求证：平分； （2）如图②，过作交于点，连接，若，，求的长． 5．如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的值． 6．如图，是的外接圆，直径的长为6，过点的切线交的延长线于点，连接． （1）若，求的长；（2）若，求证：． 7．如图，为的直径，弦与交于点，连接、，，． （1）求的度数；（2）若，求的长． 8．如图，点为圆外一点，过点作圆的切线，切点为，点为上一点，连接并延长交圆于点，连接，若与垂直． （1）求证：；（2）若，圆的半径为8，求的长． 9．如图，为的内接三角形，且为的直径，与相切于点，交的延长线于点，连接交于点，连接、，． （1）求证：平分；（2）若，，求的半径． 10．如图，已知是的外接圆，点是的内心，的延长线与相交于点，过作直线．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长． 11．如图，是内接三角形，是的直径，点是弦上一点，连接，． （1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求． 12．如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径． 13．如图，等腰内接于，，直径，是圆上一动点，连接，，，交于点．（1）求证：；（2）若，求的面积． 14．如图，的直角顶点在上，与斜边相切于点，交边于点、交于点，连接，，且． （1）求证：四边形为矩形；（2）若，，求的长． 15．如图，已知四边形内接于，直径与交于点，平分． （1）若，求证：；（2）若，求的值． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上，且，，弧的度数是． （1）求线段的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和． 17．如图，和是的半径，，点在上，连接并延长交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线；（2）若，的半径，求的长． 18．如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点，使得． （1）若平分，求证：；（2）试探究线段，与之间的数量关系． 19．如图1，为的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是的切线．（1）求证：； （2）如图2，取弧的中点，连接，，若，，求弦的长． 20．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且． （1）若，求的长度；（2）若半径是5，求正方形的边长． 22．如图，为的直径，为的延长线上一点，过点作的切线，切点为点，连接、，过点作交延长线于点． （1）求证：．（2）若，，求的长． 21．【问题提出】如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则　　，劣弧的长为 　　 ． （2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心． ①求的度数；②连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 23．如图1，已知是半圆的直径，是半圆的切线，平行于弦． （1）连接，若，求的度数； （2）如图2，过作于，连接与交于点，求证：． 24．如图，四边形内接于，对角线是的直径，与相切于点，连接交于点． （1）求证：；（2）若，求的值． 25．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长． 26．如图，在中，，以为直径的圆与边交于点，过点作，垂足为点，且是的切线． （1）求证：为等边三角形；（2）过点作，垂足为点，连接．若，求的长． 27．如图，内接于半圆，为直径，的平分线交于点，交半圆于点，于点，且交于点，连接，求证：（1）；（2）点是线段的中点． 28．如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点．且交于点，连接，，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 29．如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为5，求线段的长． 30．如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：；（2）若，求弧的长度． 31．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长； （3）若，，求的长． 33．如图，点在的平分线上，与相切于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）的延长线与交于点．若的半径为3，．求弦的长． 34．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． （1）求的半径长；（2）连接，作于点，求的长． 35．已知中，是直径，是弦，． （1）如图1，连接，求的度数；（2）如图2，过点作弦，为垂足，求的度数． 36．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点． （1）求证：是的切线．（2）是的切线，为切点，若，，求的长． 37．如图，是圆的直径，，是圆上的点（在同侧），过点的圆的切线交直线于点． （1）若，，求的长；（2）若四边形是平行四边形，证明：平分． 38．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． （1）求证：是的切线；（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长． 39．如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． 求证：是的切线；（2）延长交的延长线于，若，，求的半径． 40．如图，是的直径，点为上一点，连接，与相切，，分别交，于点，．（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）连接，若，，求弧的长． 41．如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长． 42．如图，以为底的等腰的三个顶点都在上，过点作交的反向延长线于点． （1）求证：是的切线．（2）若四边形是平行四边形，且，求的半径． 43．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与弦交于点． （1）求证：．（2）若，，求的长． 44．中，，为上一点，以为心，为半径的与相切于点． （1）求证：平分；（2）连接，若，求的值． 45．如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点，在的延长线上取一点，使，连接． （1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径． 46．如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长． 47．如图，在中，是内心，点，都在大边上，已知，． （1）求证：是的外心；（2）若，，求的大小． 48．问题提出：如图1，在中，，，，半径为2，为圆上一动点，连接、，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，．，，． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为　　． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为　　． （3）拓展延伸：已知扇形中，，，，，点是上一点，求的最小值． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年最新模拟题—圆专题训练 1．如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．（1）求证：；（2）若，且为的中点，求的半径长． 【解答】（1）证明：连接，的切线交的延长线于点，，，即，，，，，， ，，，；（2）解：设的半径为，则， ，为的中点，，，在中，， ，解得或（舍去），的半径长为6． 2．如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．（1）当时，求的度数；（2）当，时，求的长． 【解答】解：（1）连接，如图，为直径，．，为的切线，， ，，．，，．， ．；（2），设，则，． ，．，为的中位线，，，．，．，，，，，．． 3．如图，是的直径，，是上异于，的两点，且，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的长． 【解答】（1）解：连接，如图，，，，， ，，，，为的切线；（2）解：，， ，，，，，故的长为． 4．已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． （1）如图①，求证：平分； （2）如图②，过作交于点，连接，若，，求的长． 【解答】（1）证明：连接，如图①，是的切线，，，，， ，，，平分；（2）解：连接，，如图②，在中，，，，四边形是的内接四边形，， 又，，为的直径，，， 又，，，又，，， 又，，，即，解得． 5．如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的值． 【解答】（1）证明：如图1，连接，平分，，，， ，，且在上，是的切线；（2）连接，交于，是的直径，，，，，，，，，，，， ，，，四边形是矩形，，． 6．如图，是的外接圆，直径的长为6，过点的切线交的延长线于点，连接． （1）若，求的长；（2）若，求证：． 【解答】（1）解：直径的长为6，，为的切线，，，， ，；（2）证明：，，，，，． 7．如图，为的直径，弦与交于点，连接、，，． （1）求的度数；（2）若，求的长． 【解答】解：（1），，，在中，．（2）过点作于点，连接，，，，在中，，， ，，，，在中，，在中，，， ． 8．如图，点为圆外一点，过点作圆的切线，切点为，点为上一点，连接并延长交圆于点，连接，若与垂直． （1）求证：；（2）若，圆的半径为8，求的长． 【解答】（1）证明：，，，，，，，，与圆切于，半径，，，；（2）解：作于，，， ，圆的半径为8，，，， ，，，，， ，，，的长是． 9．如图，为的内接三角形，且为的直径，与相切于点，交的延长线于点，连接交于点，连接、，． （1）求证：平分；（2）若，，求的半径． 【解答】（1）证明：由圆周角定理得：，，，， 与相切于点，，，，，平分； （2）解：，，，，，， 在中，，即，解得：，（舍去），答：的半径为． 10．如图，已知是的外接圆，点是的内心，的延长线与相交于点，过作直线． （1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长． 【解答】（1）证明：连接，点是的内心，，，， ，，，，，为半径，是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得，，，，，， ，在中，由勾股定理得，． 11．如图，是内接三角形，是的直径，点是弦上一点，连接，． （1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求． 【解答】（1）证明：连接，是的直径，，，，，，，；（2）解：是的直径，， ，，，，，，，， ． 12．如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． （1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径． 【解答】（1）证明：，，，，平分，， ，，，是的半径，是的切线；（2）解：设．，，，，， （负根已经舍去），的半径为． 13．如图，等腰内接于，，直径，是圆上一动点，连接，，，交于点．（1）求证：；（2）若，求的面积． 【解答】（1）证明：由图可得：，，，， ，．（2）解：如图，连接并延长交于点，直径，在中由勾股定理得：，，，，，，， 是等腰直角三角形，，，，， ，即的面积是． 14．如图，的直角顶点在上，与斜边相切于点，交边于点、交于点，连接，，且． （1）求证：四边形为矩形；（2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，，，，是的直径，， 四边形为矩形．（2）解：是的切线，是的直径，，即，又， ，在中，，，，，在中，，． 15．如图，已知四边形内接于，直径与交于点，平分． （1）若，求证：；（2）若，求的值． 【解答】（1）证明：平分，在和中，，，；（2）解：过点作交的延长线于点．如图，为的直径，，平分，，和都为等腰直角三角形，，，，，在和中，， ，，，设，，，在中，，在中，，． 16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上，且，，弧的度数是． （1）求线段的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和． 【解答】解：（1）过作于，弧的度数是，，又，， ，，，，，；（2）． 17．如图，和是的半径，，点在上，连接并延长交于点，过作交的延长线于点． （1）求证：是的切线；（2）若，的半径，求的长． 【解答】（1）证明：连接，则，，，，， ，，，是的半径，且， 是的切线．（2）解：，，，，，，，，， ，的长是2． 18．如图，四边形内接于，是的直径，，延长到点，使得． （1）若平分，求证：；（2）试探究线段，与之间的数量关系． 【解答】（1）证明：是的直径，，，，， ，，，，平分，， ，，，；（2）解：，理由如下：由（1）知，，，，，，，，即，在和中，， ，，在中，，，，即，． 19．如图1，为的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是的切线．（1）求证：； （2）如图2，取弧的中点，连接，，若，，求弦的长． 【解答】（1）证明：连接，如图1，是的切线，，，即， ，，，，，； （2）解：连接交于，如图2，是直径，，， 为弧的中点，，，，， 在中，，即弦的长为． 20．如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且． （1）若，求的长度；（2）若半径是5，求正方形的边长． 【解答】解：（1）四边形为正方形，，，，，，连接，则为直角三角形，， 即的半径为，；（2）四边形是正方形，，，，，，，， ，，，在中，，即，解得：， 则正方形的边长为． 21．【问题提出】如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点满足，为了画出点所在的圆，小芳以为底边构造了一个，再以点为圆心，为半径画圆，则点在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】 （1）若，平面内一点满足，若点所在圆的圆心为，则　　，劣弧的长为 　　 ． （2）如图3，已知正方形以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点作于点，若点是的内心． ①求的度数；②连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 【解答】解：（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，，， ，，，，，， ，劣弧的长为故答案为：，；（2）①，，，点是的内心，，平分，， ，， ，，，，，；②如图，作的外接圆，圆，连接，，，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，，设优弧所对的圆心角优角为，则， ，，，，，，四边形是正方形，，，，，，，，．的最小值为． 22．如图，为的直径，为的延长线上一点，过点作的切线，切点为点，连接、，过点作交延长线于点． （1）求证：．（2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，是的切线，，，即， 为的直径，，即，，，， ，，；（2）解：设半径为，则，，在中，，，解得，，，．，， ，即，解得． 23．如图1，已知是半圆的直径，是半圆的切线，平行于弦． （1）连接，若，求的度数； （2）如图2，过作于，连接与交于点，求证：． 【解答】（1）解：是半圆的直径，，平行于弦．如图1，设，交于点，，，，即，；（2）解：连接，，如图2所示，，，，， ，，，是的半径，是的切线， ，，，，是半径，是的切线，如图3，过作的切线，交的延长线于点，则，，，，， 在中，，，，、是的切线，，，在中，，，、是的切线，，，，． 24．如图，四边形内接于，对角线是的直径，与相切于点，连接交于点． （1）求证：；（2）若，求的值． 【解答】（1）证明：是的直径，，，与相切，， ，，，；（2）解：，，，又，，，即， 设，则，，，，， 解得：或（舍，，，． 25．如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若． （1）求证：为的切线；（2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，，，，，， ，，，是半径，为的切线；（2）解：过点作于点，在中，由勾股定理得，，， ，，，，． 26．如图，在中，，以为直径的圆与边交于点，过点作，垂足为点，且是的切线． （1）求证：为等边三角形；（2）过点作，垂足为点，连接．若，求的长． 【解答】（1）证明：连接，如图，，，为等边三角形，， 是的切线，，，，，，为等边三角形；（2）解：为等边三角形，，，为等边三角形，， ，在中，，，，在中，， ，． 27．如图，内接于半圆，为直径，的平分线交于点，交半圆于点，于点，且交于点，连接，求证：（1）；（2）点是线段的中点． 【解答】证明：（1）平分，，，；（2）为半的直径，，，，，， ，，，，，， ，，， 点是线段的中点．28．如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点．且交于点，连接，，． （1）求证：；（2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，切于点，，，，， ，，，；（2）解：在中，，， 根据勾股定理得，，，，设的半径为，，， ，，答：的长为． 29．如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点． （1）求证：是的切线；（2）若，的半径为5，求线段的长． 【解答】（1）证明：，，，，，， ，是半径，，是的切线；（2）解：连接，，为的直径， ，，，，在中，，，，，在中，，， ，，，，，为的直径，，， ，，． 30．如图，是的直径，是的中点，于点，交于点． （1）求证：；（2）若，求弧的长度． 【解答】（1）证明：是弧的中点，，在中，，，，，又是弧的中点，，，．（2）解：连接，，，，， ，，是的中点，，，弧长． 31．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长； （3）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接．为的直径，，即，又， ，，，即．是圆的半径，直线是的切线；（2）解：平分，，又，，即，，，，；（3）解：设，．，，，，，，，，，，． 33．如图，点在的平分线上，与相切于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）的延长线与交于点．若的半径为3，．求弦的长． 【解答】（1）证明：连接，作于点，与相切于点，，点在的平分线上，，，，直线与相切；（2）解：设交于，连接． ，，，．与相切于点，．又，，．是直径，．设，则． 则，解得，． 34．如图，的直径垂直于弦，垂足为，，． （1）求的半径长；（2）连接，作于点，求的长． 【解答】解：（1）连接，如图，设的半径长为，，，， 在中，，，，，解得，即的半径长为5；（2）在中，，，，，，， 在中，，即的长为． 35．已知中，是直径，是弦，． （1）如图1，连接，求的度数；（2）如图2，过点作弦，为垂足，求的度数． 【解答】解：（1）是直径，，，，；（2）是直径，，，，，． 36．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点． （1）求证：是的切线．（2）是的切线，为切点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：连接，，，平分，， ，，，为的半径，是的切线；（2）解：连接，是的切线，是的切线，，，，，，，，的长为：． 37．如图，是圆的直径，，是圆上的点（在同侧），过点的圆的切线交直线于点． （1）若，，求的长；（2）若四边形是平行四边形，证明：平分． 【解答】（1）解：是圆的直径，，在中，，，， 或（舍去），的长为；（2）证明：连结，交于点，与圆相切于点， ，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，， 平分． 38．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长． 【解答】（1）证明：连接，为的直径，，，，，，，，是圆的半径， 是的切线；（2）解：平分，．又，，即，，，． 39．如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点．连接、． 求证：是的切线；（2）延长交的延长线于，若，，求的半径． 【解答】（1）证明：连接，为的中点，，，，，，，，即，， 为半圆的切线；（2）解：，，又，， ，，，，， ，的半径为2． 40．如图，是的直径，点为上一点，连接，与相切，，分别交，于点，． （1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）连接，若，，求弧的长． 【解答】（1）解：．由：连接，与相切；，即，； ，，，；，， 又，，；（2）解：是直径，，， ，，，，，即，， ，弧的长为． 41．如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长． 【解答】（1）证明：是的直径，，，，， 又，，，，是的半径，是的切线；（2）解：由（1）知，，在和中，，，，即，，在中，，，，解得， 即线段的长为4． 42．如图，以为底的等腰的三个顶点都在上，过点作交的反向延长线于点． （1）求证：是的切线．（2）若四边形是平行四边形，且，求的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接，是以为底的等腰三角形；，，， ，是的半径，是的切线；（2）解：如图，设与交于，四边形是平行四边形，，，，，，，， ，是等边三角形，，，，的半径为． 43．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与弦交于点． （1）求证：．（2）若，，求的长． 【解答】（1）证明：如图，连接，点是的内心，，，由圆周角定理得，，，，；（2）解：，，，，，，， ，，，，． 44．中，，为上一点，以为心，为半径的与相切于点． （1）求证：平分；（2）连接，若，求的值． 【解答】解：（1）连接，切于，，，，， ，，，平分；（2）设交于，连接， 为的直径，，由（1）得，，，，，，四边形内接于，，，，， ，设，则，，． 45．如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点，在的延长线上取一点，使，连接． （1）求证：是的切线．（2）若，，求的半径． 【解答】解：（1）证明：是的直径，，，，又， ，．，，，是的切线．（2）如图，连接交于， ，，，，，在中，．设的半径为，则，，，． 的半径即． 46．如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长． 【解答】解：（1）连接，，，是的切线，为切点，， ，，，；（2），， ，，，，，，设，， ，，，，，，，． 47．如图，在中，是内心，点，都在大边上，已知，． （1）求证：是的外心；（2）若，，求的大小． 【解答】解：（1）证明：连接、、、、，是的内心，， 在和中，，同理，，是的外心．（2）是的外心，，在等腰三角形，，同理，，，答：的度数是． 48．问题提出：如图1，在中，，，，半径为2，为圆上一动点，连接、，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，．，，． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为　　． （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为　　． （3）拓展延伸：已知扇形中，，，，，点是上一点，求的最小值． 【解答】解：（1）如图1，连接，，要使最小，最小，当点，，在同一条直线时，最小，即：最小值为，在中，，，，的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接，在上取点，使，，，，，，，同（1）的方法得出的最小值为．故答案为：； （3）如图3，延长到点，使，，连接、，，， ，，，，，当、、三点共线时，取得最小值为：． 一 学科网（北京）股份有限公司 $$